Назначение и классификация САР

Установившийся режим  характеризуется отсутствием, точнее, слабым проявлением переходных процессов. Воздействия на САР изменяются сравнительно медленно, так, что она успевает их отслеживать (для задания) или компенсировать (для возмущения). Но и слежение в  установившемся динамическом режиме, когда воздействия на САР относительно медленно изменяются с течением времени, САР осуществляет с ошибками, которые  в условиях нормальной работы сравнительно малы.

При пробных степенных  воздействиях вида x(t) = A_ν·t^ν·1₀(t) качество САР удобно характеризовать коэффициентами ошибок. Коэффициенты ошибок связывают ошибку слежения e(t) (см. рис. 2.4) с отслеживаемой величиной (заданием) и ее производными:

Обычно, при исследовании динамики установившегося режима в  ряде (2.1) ограничиваются двумя или  тремя членами.

Аналогичную формулу можно  записать и для канала возмущение – ошибка.

Как следует из (2.1), ошибка регулирования в установившемся режиме тем больше, чем больше отслеживаемая  величина, скорость и ускорение ее изменения, и тем меньше, чем меньше коэффициенты ошибок. Смысл формулы (2.1) состоит в том, что в общем  случае на ошибку слежения влияет не только отслеживаемая величина, но и ее младшие производные. При увеличении скорости и ускорения изменения  воздействия ошибка может возрасти настолько, что превысит допустимое значение, т.е. САР не успеет отследить  с требуемым качеством быстро изменяющийся сигнал.

Сказанное накладывает ограничения  на максимальные значения отслеживаемой  величины, ее скорости и ускорения, при которых САР осуществляет слежение с заданной точностью. Например, если задана максимально допустимая ошибка регулирования е_m, то привлекая принцип равного влияния ограничения можно записать в виде:

Отсюда, при необходимости, можно получить формулы для максимальных значений коэффициентов ошибок проектируемой  САР по заданным максимально допустимой ошибке регулирования и величинам  задания и его производных.

В статике, когда x(t) = const, ошибка слежения пропорциональна отслеживаемой (задающей) величине

поскольку первая и вторая производные константы равны  нулю см. (2.1).

Формулу, подобную (2.1) можно  написать не только для ошибки слежения, но и для ошибки стабилизации, при  этом воздействием будет возмущение.

Астатизм – косвенная характеристика качества работы САР в установившемся режиме. Порядок астатизма равен числу интеграторов в контуре, или, что эквивалентно, наименьшему индексу коэффициента ошибки, не равного нулю.

Статические САР (САР с астатизмом нулевого порядка)

У статических САР, в контуре  которых отсутствуют интеграторы, а уменьшение ошибки слежения достигается  увеличением коэффициента усиления контура (см. рис. 2.5), коэффициент ошибки по положению с₀ не равен нулю.

Для статических САР во многих случаях считается достаточным, чтобы коэффициент ошибки по положению  с₀ находился в пределах 0.01 – 0.1. В таком случае, как видно из (2.3), относительная точность слежения составит 1% – 10 %.

У статической САР (астатизм нулевого порядка) ошибка регулирования  в установившемся режиме пропорциональна  заданию. Если задание постоянно, то и ошибка постоянна. Если задание сравнительно медленно и плавно растет, то и ошибка растет по тому же закону:

Рис. 2.7 (анимация, 2 кадра). Переходный процесс заканчивается к концу  второй секунды. В установившемся режиме ошибка статической САР пропорциональна воздействию. При постоянном воздействии ошибка постоянна, при линейно растущем задании ошибка линейно растет с течением времени. В установившемся режиме ошибка регулирования (красная линия) много меньше растущего задания (салатная линия)

Попросту, у статической САР ошибка слежения меньше задания в k+1 раз, где k – коэффициент усиления контура. На рис. 2.5 k = 23.

Примечание. Здесь может возникнуть такой философского плана вопрос. На первый взгляд, управляемая величина САР, полезная вещь, повторяющая задание, получается из «вредной», «плохой» величины, из ошибки, путем домножения последней на коэффициент усиления контура. Хорошо ли то, что управляемая величина определяется ошибкой регулирования, ведь малейшее ее изменение приведет к значительно большим изменениям управляемой величины?

На самом деле постановка вопроса в таком виде не корректна. Все дело в контуре. Благодаря  отрицательной обратной связи ошибка устремляется к нулю и тем самым  достигается пропорциональность управляемой  величины задающей величине. Т.е. ошибка это не причина выходного сигнала, а следствие слежения.

Астатические САР (астатизм больше нуля)

Коэффициент ошибки по положению  астатической САР, содержащей в контуре  управления один или несколько последовательно  включенных интеграторов, равен нулю: с₀ = 0.

Астатизм САР проявляется  в том, что при отслеживании постоянных или меняющихся по степенному закону сигналов, ошибка регулирования САР  в зависимости от порядка ее астатизма  может быть нулевой. Чем выше порядок  астатизма, тем может быть выше степень  отличной от нуля производной изменения  воздействия, которую САР отследит с нулевой, или как вариант, с  постоянной ошибкой.

САР с астатизмом первого  порядка отслеживает с нулевой  ошибкой постоянный сигнал, с постоянной ошибкой линейно растущий сигнал. Если сигнал растет все быстрее с  течением времени, по квадратичной параболе, то ее ошибка регулирования линейно  растет стечением времени. Все это  следует из формулы (2.1).

Рис. 2.8 (анимация, 3 кадра). САР  первого порядка астатизма имеет  в контуре один интегратор. В данном случае он входит в состав ПИ-регулятора. Степень роста ошибки со временем на единицу меньше степени роста  задания (отслеживаемой величины)

Астатическая САР первого порядка отслеживает постоянный сигнал с нулевой ошибкой и успевает отслеживать линейно растущие сигналы с постоянной ошибкой, пропорциональной скорости нарастания сигнала. Следить за все ускоряющимся сигналом (параболой) САР первого порядка при продолжительной работе не успевает: ошибка растет линейно с течением времени. Но поскольку рост и убывание отслеживаемых сигналов обычно сравнительно не велики, и не продолжительны, то и ошибка при работе САР не успевает стать чрезмерно большой.

Астатическая САР второго порядка успевает отслеживать растущие с течением времени по параболе сигналы с постоянной ошибкой, пропорциональной ускорению нарастания сигнала.

2.3.1, б. Иллюстрация работы  САР в установившемся режиме  
Статическая модель

Проиллюстрируем работу САР  в установившемся режиме слежения, когда на нее подается задание  сложного вида:

Рис. 2. 9. Статическая САР  в установившемся режиме, воздействие  на нее и его параметры, реакция  и ошибка регулирования, режимы слежения: статика и динамика

Задание x(t) до второй секунды постоянно и равно 0.5, а затем плавно к седьмой секунде достигает уровня 2.2 и вновь становится постоянным. В рассматриваемом интервале времени САР, работая в установившемся режиме, дважды находится в статике и один раз в динамике, когда воздействие меняется, причем меняется сравнительно плавно и медленно.

Прежде всего, отметим, что  на нижней осциллограмме управляемая  величина y(t) (синяя линия) объекта управления, пусть и с некоторой ошибкой, повторяет задание x(t) (салатная линия), т.е. рассматриваемая САР осуществляет слежение – выходная величина пропорциональна заданию. Видно, что ошибка регулирования в динамике значительно, данном случае раз в пять, превышает ошибку статического режима.

Статический режим работы САР поддерживается с -1 по 2 и с 7 по 10 сек, когда воздействие не изменяется.

Поскольку, как видно, ошибка регулирования в статическом  режиме не равна нулю, рассматриваемая  САР статическая (не имеет астатизма). Второй отрезок работы в статике (Статика 2) соответствует возросшему значению задания и, как видно, пропорционально  возросла и ошибка регулирования  e(t). Коэффициент пропорциональности здесь – коэффициент ошибки САР по положению c₀ (2.3).

Динамический режим. Рассматриваемая САР работает в установившемся динамическом режиме со второй по седьмую секунды, когда воздействие плавно меняется. Переходные процессы в САР заканчиваются за время порядка 1 сек:

Рис.2.10. Переходная функция  САР, рассматриваемой в примере, имеет время регулирования примерно равное 1 сек

Поскольку изменение задания  медленное, САР (рис. 2.9) успевает отслеживать  задание и переходный процесс  на рассматриваемом динамическом отрезке  проявляется сравнительно слабо.

Тем не менее, на рис. 2.7 хорошо видно, что ошибка регулирования  существенно возрастает с возрастанием скорости, и более того, она в  существенной мере повторяет изменение  во времени скорости. Следовательно, рассматриваемая САР имеет коэффициент ошибки по скорости, который при значениях скорости изменения задания, достигающих, как видно 1.7 1/сек, оказывает существенное влияние на ошибку регулирования.

Если присмотреться, то можно  увидеть, что со второй по третью секунду  на ошибке несколько сказывается  и ускорение изменения задания, причем, ускорение несколько компенсирует ошибку, создаваемую скоростью изменения  задания. Кроме того, график ошибки содержит и слабо выраженную свободную  составляющую (см. подробнее ниже).

Статическая модель САР

При сравнительно медленных  изменениях воздействий САР в  установившемся режиме может быть достаточно точно промоделирована просто пропорциональным звеном: управляемая величина пропорциональна  заданию.

Рис. 2.11. Простейшая модель САР  в режиме квазистатического слежения это пропорциональное звено с  коэффициентом усиления, равным коэффициенту усиления самой САР. Коэффициент усиления статической САР примерно, а астатической точно, равен обратной величине коэффициента усиления звена обратной связи (датчика). Размерность коэффициента усиления САР определяется обратной размерностью коэффициента усиления датчика. Например, если размерность датчика САР температуры печи равна 0.05 В/ С⁰ , то размерность коэффициента усиления САР равна 20 С⁰/В

Более сложная модель САР  учитывает и коэффициенты ошибок по положению, скорости и ускорению (см. ниже).

2.3.1, в. Вычисление коэффициентов  ошибок 

Коэффициенты ошибок могут  быть вычислены или измерены на реальной САР или ее модели.

Вычисление коэффициентов  ошибок для САР, показанной на рис. 2.7:

Рис. 2.12. Снимок рабочего поля Маткада. Определение коэффициентов ошибок

Можете ли вы определить коэффициенты ошибок вручную, разложением передаточной функции САР по ошибке, обусловленной  заданием, в ряд Лорана с целью  проверки результатов Маткада?

Моделирование САР  по ошибке

Промоделируем САР, работающую в установившемся режиме, с помощью полученных коэффициентов ошибок и сравним ошибки модели с ошибками исходной САР. Модель основывается на уравнении (2.1)

Рис. 2.13 (анимация, 6 кадров). Простая  модель САР по ошибке, построенная  на основе ее коэффициентов ошибок, адекватна исходной САР, работающей в установившемся режиме. Учет в  модели коэффициента ошибки по скорости с₁ существенно улучшает ее точность, а учет коэффициента по ускорению с₂ в данном случае практически не влияет на ошибку. Это значит, что ускорение изменения данного сигнала для рассматриваемой САР относительно не велико

В статике совпадение полное (фиолетовая кривая повторяет красную), а в динамике в ошибках есть отличие, обусловленное вкладом переходного процесса. Но этот вклад в данном случае сравнительно мал и характер изменения ошибки модели в основном соответствует поведению ошибки САР

Смысл модели САР по ошибке, представленной рис. 2.13, для установившегося  режима состоит в том, что дифференцирование  гладкого сигнала предсказывает  его поведение на некоторый интервал времени вперед. А коэффициенты ошибок являются весовыми коэффициентами, определяющими  свойства САР воспринимать производные  воздействия, и учитывающими вклад  сигнала и его производных  в получаемую ошибку. На этой основе может быть построена и модель САР, определяющая ее выходной сигнал [2], [3] в установившемся режиме (см. ниже).

2.3.1, г. Вычисление коэффициентов  отклика 

В установившемся режиме линейная САР может рассматриваться в  виде простой модели, выходной сигнал которой определяется взвешенной суммой отслеживаемой величины и ее младших производных [2]:

Моделирование САР по отслеживаемой  величине

Модель, построенная на основе коэффициентов отклика состоятельна, т.е. адекватна, соответствует реальной САР в установившемся режиме работы:

Рис. 2.15. Модель САР, построенная  на основе коэффициентов отклика. Как видно, в установившемся режиме, когда переходные процессы слабо выражены и в задании отсутствуют шумы, модель, построенная на основе коэффициентов отклика, дает хорошее приближение к полной модели САР (фиолетовая линия покрывает синюю в статике и очень близка к ней в динамике)

2.3.1, д. Экспериментальное  определение коэффициентов ошибок 

 

Определение коэффициента ошибки по положению 

Определение коэффициента ошибки по скорости

Определение коэффициента ошибки по ускорению 

Принципы экспериментального определения коэффициентов ошибок подробно рассмотрены в [1].

Определение коэффициента ошибки по положению

Из формулы (2.3)

следует, что при постоянном воздействии, равном единице, ошибка регулирования  численно равна коэффициенту ошибки по положению с₀. Другими словами, установившееся значение ошибки при воздействии на САР ступенчатой единичной функции равно коэффициенту ошибки по положению с₀.

Пример экспериментального определения коэффициента ошибки по положению для рассматриваемой системы:

 

Рис. 2.16. С течением времени  ошибка отслеживания постоянного единичного сигнала стремится к значению коэффициента ошибки с₀ по положению

Определение коэффициента ошибки по скорости

При линейно растущем воздействии  t·1₀(t) по окончании переходных процессов для ошибки слежения можно на основе (2.1) записать: