Контрольная работа по "Физике"

Б. Волновая функция  ( - функция)

Обладающая  волновыми свойствами микрочастица описывается волновой функцией (х,y,z,t). Для стационарного, то есть не меняющегося во времени состояния,  волновая функция не зависит от времени.  Квадрат модуля - функции определяет вероятность dP нахождения частицы в малом объёме dV в окрестности точки (x,y,z).   dP =  | |² dV                           (5.3)

Квантовая механика не определяет точно положение частицы  в пространстве, а даёт вероятность  её нахождения в тех и иных областях пространства.

В. Волновое уравнение Шрёдингера

Описывает поведение  частицы с учётом её волновых и  корпускулярных свойств. Для стационарного  случая уравнение Шрёдингера имеет  вид: _{+                          (5.4)}                                                                                         

 

Е – полная энергия частицы, Е_п – потенциальная энергия частицы, m – масса частицы.

 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА  ДЛЯ ЧАСТИЦЫ В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ  ЯМЕ С БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ  СТЕНКАМИ

Из волновых свойств микрочастиц вытекает их удивительное свойство – дискретность (квантование) их энергии при ограниченных в пространстве (финитных) движениях. Покажем это на простейшем случае. Частица совершает одномерное движение по оси х от х = 0 до х = l.

При х 0 и при х l  потенциальная энергия частицы Е_п =  ,  при   0 х l    Е_п = 0 (см. рис. 5.3).

Рис. 5.3. Частицы в потенциальной  яме с бесконечно высокими стенками.

Для этого  одномерного случая для 0 х l  уравнение Шрёдингера (5.4) записывается так:         _(5.5)

Обозначим     ₌ ^{,Уравнение (5.5) примет вид:}

 

_{+ ^{= 0}}

Решением  этого уравнения будет:

 

Ψ = ∙ ⁺ )

При х=0  =0, так как при этом Е_п = 0, и вероятность обнаружить частицу на этой бесконечно высокой стенке равна 0. Отсюда sin ₀ = 0  и   ₀  = k₁ (k₁ = 0, 1, 2, 3 …)                      При х = ℓ по той же причине =0, и поэтому

Sin ( ℓ + ₀) = 0  и ℓ + ₀ = k₂ ,  или ℓ + k₁ = k₂ , ℓ= k₂ - k₁ = k , где k = k₂ –k₁ = 0, 1,2,3…

    K = 0 исключаем, потому что тогда =0 при всех значениях х и означало бы отсутствие  частицы в потенциальной яме.

Получим: =,  ²=, где k = 1, 2, 3 … Отсюда  И, наконец, получили формулу для квантования энергии       где k = 1, 2, 3 … (5.6)

Из формулы (5.6)  видно, что энергия частицы  в потенциальной яме меняется дискретно (рис.5.4), может принимать  только ряд определённых значений, частица может быть только на определённых энергетических уровнях:  Е₁ , Е₂ , Е₃  … , соответствующих целочисленным значениям k.

 

Рис. 5.4.Квантоваиие  энергии частицы в потенциальной  яме.

 

СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙНЗБЕРГА. КВАНТОВАЯ  МОДЕЛЬ АТОМА. ЭЛЕКТРОННОЕ ОБЛАКО, ОРБИТАЛЬ. КВАНТОВЫЕ ЧИЛА, ПРИНЦИП ПАУЛИ.

Соотношение неопределённостей Гейзенберга

Для частицы, обладающей волновыми свойствами, нельзя точно определить ни координату х, ни проекцию импульса  р_х. И то и другое определяется лишь с некоторыми  неопределённостями  р_х и х:   х х,  р_х р_х                                            

Согласно соотношению Гейзенберга, неопределённости координаты и импульса связаны между собой соотноением:        

                                            х р_х    1,05.10^-34 Дж.с           (5.5)

Отсюда следует, что, чем точнее определена координата х, чем меньше неопределённость х, тем больше неопределённость  проекции импульса  р_х . И наоборот, чем меньше неопределённость р_х, тем больше неопределённость х .

  Пример I. Электронно-лучевая трубка.  

В электронно- лучевой трубке телевизора скорость электронов v_х = 10⁶ 10² м/с. То есть неопределённость скорости v_х = 10² м/с. Неопределённость проекции импульса р_х = m v_х связана с неопределённостью координаты х соотношением неопределённостей: m v_х х    _{, m} 10^-30 кг.

Отсюда     х     10^-6  ( м) = 1мкм.              

То есть неопределённость координаты неизмеримо меньше размеров электронно-лучевой трубки и волновые свойства электрона в этом случае практически не проявляются. Электрон в электронно-лучевой трубке ведёт  себя как частица.

Пример II. Электрон в атоме

Размер атома  порядка 10^-10 м. Значит, неопределённость координаты электрона х  10^-10 м. Из соотношения неопределённостей: v_х 10⁶ ( м/с).

Скорость  движения электрона вокруг ядра атома v 10⁶ м/с.

Таким образом,  v_х = (10⁶ 10⁶) м/с – - полная неопределённость. Поэтому нет смысла говорить об определённой траектории орбитального движения электрона и вообще об электроне как о сосредоточенной частице. Электрон в атоме – волна!

Другой вид  соотнощения неопределённостей:

Е t _, Е – неопределённость энергии некоторого состояния системы. t – время пребывания системы в этом состоянии. Чем меньше время пребывания системы в этом состоянии, тем больше неопределённость энергии состояния. Так как никогда t , Е 0. Энергию состояния системы можно определить лишь с некоторой точностью Е Е.

 

В уравнение  Шрёдингера для стационарного случая подставляется выражение для  потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром. Наиболее простое  выражение для потенциальной  энергии одного электрона на внешнем  слое атома водорода или водородоподобного  атома или иона, когда на внешнем  электронном уровне один электрон:

Е_п =,где z – порядковый номер элемента, число протонов в ядре; е = 1,6. 10^-19 Кл – элементарный электрический заряд – заряд протона или модуль заряда электрона, ₀ = 8,85 10^-12 Ф / м – электрическая постоянная; r – расстояние электрона от ядра.

Решая уравнение  Шрёдингера, получаем в высшей степени  интересную информацию о поведении  электрона с атоме:

1. Вероятностный характер решения. Электрон может находиться в разных местах пространства вокруг атомного ядра. Говорят об электронном облаке. Но вероятность попадания электрона в одни места больше, чем в другие. Плотность электронного облака в разных местах разная. Точки, вероятность попадания в которые электрона максимальна, образуют поверхности – орбитали. Разные формы орбиталей соответствуют разным состояниям электрона: s-орбитали – сферы, р-орбитали – гантели и т. д. ( рис.5.5).
2. Дискретность  (квантование) энергии -  Е_n , момента импульса - L, проекции момента импульса на ось z -  L_z , проекции спина электрона на направление L – S_z.

Состояние электрона  в атоме определяется набором  значений четырёх квантовых чисел:

1. Главное квантовое число – n = 1,2,3….

Определяет  квантование энергии:       E_n =, h =

2. Орбитальное квантовое число -  l = 0, 1, 2…n-1.

Определяет  квантование момента импульса:

      L = h ( Момент импульса электрона в атоме L = v r – призведение его скорости на расстояние до ядра).

 

3. Магнитное квантовое число – m_l = 0, 1, 2, … l.

 

Определяет  квантование проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля:

  L_z = m_l h

4. Спиновое квантовое число m_s =  
   

Определяет  квантование проекции спина на направление  момента импульса:

  S = m_s h

(если  S     L,  S=  ; если  S    L, S=).

 В многоэлектронных атомах много электронов. И у всех электронов разные квантовые состояния, определяемые разными наборами значений квантовых чисел. Согласно принципу швейцарского физика   В. Паули ( 1925 год ) в атоме не может быть больше одного электрона в одном и том же квантовом состоянии, определяемом набором четырёх квантовых чисел.  Поэтому электроны последовательно занимают квантовые состояния по мере возрастания квантовых чисел. Правда, для атомов с большим количеством электронов это правило нарушается из-за взаимодействия между электронами. .

 

 

 

 

ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ. СПЕКТРЫ ИЗЛУЧЕНИЯ (ЭМИССИОННЫЕ) И ПОГЛОЩЕНИЯ (АДСОРБЦИОННЫЕ). ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ И СПЕКТРЫ ПТОМОВ. КВАНТОВЫЕ  ПЕРЕХОДЫ В АТОМАХ И МОЛЕКУЛАХ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ  ИМ ДИАПОЗОНЫ СПЕКТРОВ ИЗЛУЧЕНИЯ  И ПОГЛОЩЕНИЯ. ПРИМЕНЕНИЕ В ФАРМАЦИИ.

Спектры испускания (эмиссионные спектры) –  это графики зависимости спектральной плотности интенсивности  от длины  волны   I_λ ( ) (см. рис.8.1 а). Спектральная плотность интенсивности – интенсивность в узком интервале длин волн, делённая на ширину этого интервала. ll

Спектры поглощения (абсорбционные спектры)  - это графики зависимости оптической плотности от длины волны D ( )

(см. рис. 8.1 б ).

Рис. 8. 1.Спекры испускания (а) и поглощения (б)

Для возбуждения эмиссионных спектров (рис.8.1 а)требуется произвести на исследуемый  образец довольно сильное воздействие, например, нагреть его до достаточно высоких температур или пропустить через  него электрический разряд ( это, если образец в газообразном состоянии). Затем электромагнитное излучение образца при помощи дифракционной решётки (см. раздел II ,6.5.) или призмы (см. раздел II,6.11) разделяется на монохроматические составляющие. Измеряя спектральную плотность излучения на разных длинах волн, получают спектр излучения.

Для получения абсорбционных спектров не требуется производить на образец  сильных воздействий. На исследуемый  образец направляется электромагнитное излучение определённых длин волн, и на каждой  из длин волн определяется его оптическая плотность ( рис. 8.1 б)

Согласно  закону Кирхгофа равновесные  спектры  теплового излучения совпадают  со спектрами  поглощения (А люминесценция, в отличии от теплового излучения, не может быть равновесной). Для спектров люминесцентного излучения выполняется  правило Стокса (см. раздел III, 6.3). Излучение  равновесное - когда за тоже время  тело излучает столько же энергии  сколько и поглощает.

Дальше  ограничимся рассмотрением спектров теплового излучения, для них  информация, полученная при исследовании эмиссионных и абсорбционных  спектров, совпадает. Приборы для  снятия спектров излучения - спектрометры или спектрографы (см. рис. 8.2 а). Приборы, при помощи которых снимаются  спектры поглощения – спектрофотометры (см. рис. 8.2 б). На рисунках даны упрощённые схемы этих приборов.

  В простейшем спектрографе ( рис. 8.2 а) электромагнитное излучение  от исследуемого образца О  направляется в щель Щ монохроматора  М и разлагается на монохроматические  составляющие при помощи призмы  П ( или дифракционной решётки). Для наблюдения полученного спектра  – совокупности изображений входной  щели на разных длинах волн  используется либо окуляр (тогда  это спектроскоп) или фотоплёнка  Ф ( тогда это спектрограф), либо  фотоэлектрические датчики ( в  спектрометрах).

  В спектрофотометрах (рис. 8.2 б)  электромагнитное излучение от  источника И ( например, лампы  накаливания или люминесцентного  источника) через входную щель  Щ₁ монохроматора М направляется на призму П (или дифракционную решётку), в которой разлагается на монохроматические составляющие. Через выходную щель Щ₂  излучение определённой волны направляется на образец О. Поворачивая призму (или дифракционную решётку), можно направлять на образец излучение различных длин волн. Дальше прошедшее через образец излучение преобразуется при помощи фотоэлемента Ф/Э в электрический сигнал, который фиксируется гальванометром Г. Гальванометр градуируется либо по значениям оптической плотности D, либо коэффициента пропускания τ.  Определив оптическую плотность D при разных длинах волн λ, получаем спектр поглощения D(λ)

Рис.8.2. Спектрограф – а и спектрофотометр  – б.

АТОМАРНЫЕ СПЕКТРЫ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ АТОМОВ

Энергия атома  дискретна (см. раздел III, 5.5). Разные энергетические уровни: Е₁, Е₂, Е₃ … соответствуют разным состояниям электронных оболочек атома, в основном, электронов на внешних оболочках. При поглощении атомом электромагнитного излучения происходит переход с нижнего уровня Е_n  на верхний Е_m . При этом поглощается фотон с энергией ε = Е_m - Е_n . Его длина волны:

λ =                                                    (8.1)

При излучении  происходит переход с верхнего уровня на нижний, и при этом излучается фотон такой же энергии и длины  волны, как у фотона, поглощённого при обратном переходе с данного  нижнего на данный верхний уровень (см. рис. 8.3).

Рис. 8.3. Поглощение – а и излучение – б атома.

Так как  энергия  атома принимает дискретный ряд  значений, спектр излучения атома  – набор длин волн и соответствующих  интенсивностей тоже дискретен –  линейчатый ( рис 8.4 б).

Чем больше «расстояние» между энергетическими уровнями Δ Е, тем меньше длина волны  λ = D, поглощённого или испущенного излучения. Рассмотрим в качестве примера атом  водорода - атом с одним электроном.

 

      Рис. 8. 4 .   Излучение  атома водорода.  Энергетические  уровни –а, спектры  излучения  и поглощения- б. Л – серия  Лаймана,  Б – серия  Бальмера, П – серия Пашена. ( Объясния  в тексте).                                                                             

По  мере увеличения энергии Е расстояния между уровнями Δ Е уменьшаются. Расстояние между первым и вторым энергетическими уровнями больше, чем  между вторым и бесконечным, между  вторым и третьим больше, чем между  вторым и бесконечным и т. д. (рис. 8.4 а). Поэтому излучения, сопровождающие  переходы с любого верхнего на первый уровень, самые коротковолновые. Они  для атома водорода происходят в  ультрафиолетовой области – серия  Лаймана, при переходе на второй уровень  испускается более длинноволновое электромагнитное излучение – видимый  свет – серия Бальмера, а переходы на третий и так далее уровни сопровождаются невидимыми инфракрасными излучениями  – серия Пашена и т. д. (рис. 8.4 а  и 8.4 б).