Комплексная электропроводность металлов. Диэлектрическая проницаемость металлов

                                    (2.21)

(2.22)

 

 

 И для фазового угла

                                     (2.25)

Оно используется как основа метода Крамерса-Кронига для вычисления спектров оптических постоянных.

В соотношениях Крамерса-Кронига (2.21)- (2.25)  следует различать: текущую частоту ω, для которой производится вычисление значения оптической постоянной или функции; и частоту ω*, которая служит переменной интегрирования.

Соотношения Крамерса-Кронига определяют численное значение одной оптической постоянной или функции через полный спектр второй оптической постоянной или функции от нуля до бесконечности. Они носят чрезвычайно общий характер и никак не связаны с составом и структурой каких-либо конкретных веществ.

3.3 Формула Зелльмейера

Формула Зелльмейера была выведена еще в 1871 г. из физических представлений, достаточно далеких от современных. Ее первоначальный вид был:

                                   (2.26)             

где n(λ) - показатель преломления при длине волны λ, Aj - константы и λ_j  эффективные дисперсионные длины волн.

Если заменить длинны волн на частоты формула Зелльмейера примет более простой вид:

     

Отсюда имеем: 

                                              (2.27)  

где - константы, показывающие интенсивность оптических переходов.    

Формула Зелльмейера, в отличие от соотношений Крамерса-Кронига, представляет дисперсию показателя преломления (его зависимость от длины волны или частоты) уже в явном виде, то есть задает значения показателя преломления с помощью вполне конкретной математической функции текущей длины волны или частоты. Поэтому ее постоянные параметры Aj и λj могут быть вычислены из эксперимента, после чего формула Зелльмейера становится пригодной для вычисления показателя преломления при различных длинах волн. Таким образом, формула Зелльмейера явилась первой аналитической моделью дисперсии показателя преломления.

Дисперсионные уравнения для комплексной  диэлектрической проницаемости (аналитические  модели Друде и Лоренц-Лорентца)

Первая достаточно последовательная аналитическая модель дисперсии  комплексной диэлектрической проницаемости  была развита в конце девятнадцатого века в ходе разработки классической теории дисперсии.

для вынужденных затухающих колебаний осциллятора. В этом уравнении  за вынуждающую силу была принята  сила, создаваемая электрической  составляющей электромагнитного поля световой волны, а роль коэффициента трения играл коэффициент затухания  электронного осциллятора. Решение  этого уравнения для смещения зарядов использовалось далее для  вычисления наведенного дипольного момента и затем через него – поляризуемости

,                            (2.28)

е и m -заряд и масса электрона, ω - частота электромагнитного поля световой волны, - коэффициент затухания электронного осциллятора, ω₀-собственная частота электронного осциллятора, определяемая выражением:

 

 

Найденное таким образом выражение  для поляризуемости позволило получить, классическое дисперсионное уравнение для комплексной диэлектрической проницаемости. Это уравнение имело следующий вид

ԑ(                                                                                          (2.29)

 

Здесь N - число электронов, возбуждаемых световой волной в единице объема вещества.

В уравнении (2.29) все электронные осцилляторы полагаются одинаковыми, что представляет собой чрезмерное упрощение. Для набора из J осцилляторов, представляющих собой связанные электроны различных видов, уравнение (2.29) преобразуется к виду

 

ԑ(ω)                                                                                       (2.30)

 

где N_j и ω_j - числа в единице объема (N = ∑N_j) и собственные частоты различных электронных осциляторов.

Действительная и мнимая части  комплексной диэлектрической проницаемости, задаваемой уравнением (2.30), имеют вид

 

(2.31)

и

 .                        (2.32)

Классическая аналитическая модель дисперсии комплексной диэлектрической  проницаемости в виде (2.30) была впервые выведена Паулем Друде. Поэтому для краткости эта модель в виде уравнений (2.30, 2.31, 2.32) обычно именуется моделью Друде.

3.4 Связь классической модели Друде с формулой Зелльмейера.

 

В области прозрачности к(ω)≈ 0

.

 

Кроме того, в области прозрачности >> Yjω, и поэтому

 Отсюда, перенося единицу в левую часть уравнения (2.31) и модифицируя его правую часть в соответствии с вышеуказанными приближениями, получаем вариант формулы Зелльмейера для частот (2.26):

 

 Заменим ω=2, введем константы и выразим через них как , придем к первоначальному виду формулы Зелльмейера:

 

 

Таким образом, формула Зелльмейера является упрощенным частным случаем классической модели Друде для области прозрачности.

3.5 Аналитическая модель дисперсии диэлектрической проницаемости с поправкой на локальное поле.

 

Напряженность внешнего поля E и напряженность внутреннего поля в материале E_int могут, строго говоря, и не совпадать. В таком случае E_int = E + Ei_oc, где Ei_oc - собственное локальное поле в материале, величина которого неизбежно должна зависеть от особенностей состава и структуры материала.

Лорентц вывел аналитическую модель дисперсии диэлектрической проницаемости с учетом локального поля, выведенного из следующей простой физической модели. Если в толще материала, содержащего электрические заряды (например, ионного кристалла) выделить сферическую полость вокруг некоторой частицы и приложить к материалу внешнее электрическое поле, то заряды противоположных знаков вследствие поляризации материала должны сконцентрироваться на противоположных сторонах этой полости. Эти заряды создадут собственное локальное поле E_loc, направленное против приложенного внешнего поля. Для такой простой модели значение E_loc, поддается расчету; оно дается выражением:

,                                   (2.33)

где вектор поляризации. Такое значение E_loc принято называть полем или поправкой Лорентца.

В этом случае:

,                                (2.34)

и уравнение вектора поляризации будет иметь вид:

 

 

 

Это приводит к преобразованию уравнения (2.29) в:

 

                                          =                                                              (2.36)

Ранее, к аналогичному уравнению пришел и Л. Лоренц. Поэтому уравнение (2.36) широко известно как классическая аналитическая модель дисперсии диэлектрической проницаемости Лоренц-Лорентца.

 

3.6 Классическое уравнение дисперсии комплексной диэлектрической проницаемости в современной науке.

 

При дальнейшей модификации форм записи дисперсионного уравнения для комплексной  диэлектрической проницаемости  в варианте Друде было прежде всего принято во внимание, что отношение , стоящее в уравнениях (2.29) (2.30) (2.31) (2.32) перед дробью , уравнениях, фактически представляет собой абсолютную интенсивность j-го осциллятора которую удобно обозначить собственным символом S_j = 4πN_je²/m. Такая замена отношения 4πN_je²/m на символ одной переменной S_j была тем более уместна ввиду того, что в диэлектрическую проницаемость при любых частотах вносят вклады не только электронные возбуждения, но и колебательные, для которых параметры, входящие в отношение перед дробью требуют пересмотра.

Далее, вид уравнений (2.30) и (2.30) предполагает, что суммирование ведется по всем видам осцилляторов, модель Друде была модифицирована путем выделения суммы вкладов для K наиболее высокочастотных осцилляторов, собственные частоты ω_к которых чрезвычайно удалены от анализируемого спектрального диапазона:

 

 

Так как ω_к>>ω, то вклады таких осцилляторов в диэлектрическую

проницаемость при текущих частотах ω анализируемого спектрального

диапазона являются почти бездисперсионными и соответственно .

                                        Это позволяет заменить их сумму (вместе с

единицей) одной константой:

                          

 

Представляющую собой высокочастотную диэлектрическую проницаемость и которую принято обозначать символом ԑ_∞ . Тогда при переопределении числа членов суммы как J=J-К, а также с учетом сказанного выше о замене отношения 4πN_je²/m интенсивностью j-го осцилятора S_j уравнение модели Друде принимает наиболее удобную и компактную форму:

 

 

 

 

Действительная и мнимая части  комплексной диэлектрической проницаемости  при такой форме записи модели Друде приобретают вид

,                                                (2.38)

 

 

и

.                                                        (2.39)

 

 

Соответственно вышеупомянутое уравнение (2.29) также было преобразовано в:

 

                                                              (2.40)

 

 

Как видно из рисунка 5 ,вблизи резонансной частоты ω₀ имеется резкий максимум значения 2nk при этом частотная зависимость (n²-k²) , близка к зависимости .

 

 

Рисунок 5 Рассчитанные по формулам (2.38), (2.39) зависимости действительной (n²-k²) и мнимой 2nk диэлектрической проницаемости от частоты.

 

ВЫВОДЫ

Комплексная электропроводность и диэлектрическая проницаемости металлов имеют большое значение в физике металлов и оптике металлов.

В данной работе были рассмотрены  некоторые аспекты комплексной  электропроводности и диэлектрической  проницаемости в металлах.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Ашкрофт Н. Физика твердого тела. В 2т./Н. Ашкрофт, Н. Мермин – М.:               Мир, 1979 – Т.1.- 17-75.
2. Ефимов А. Оптические свойства материалов и механизмы их формирования Учебное пособие – Санкт-Петербург: ИТМО, 2008 – 45-64.
3. Либенсон М. Яковлев Е. Шандыбина Г. Взаимодействие лазерного излучения с веществом./М.Либенсон. – Санкт-Петербург: ИТМО, 2008 – 11-55.
4. Петрович В. Методические указания и лабораторная работа по курсу «Физика твердого тела» для студентов специальности 20.03 «Микроэлектроника и полупроводниковые приборы»/В.Петрович. – МРТИ, 1991 – 38с.
5. Петрович В. Оптические свойства твердых тел лабораторный практикум по курсу «Физика твердого тела» для студентов и магистрантов специальностей «Микро- и наноэлектроные технологии и системы» и «Квантовые информационные системы» всех форм обучения/ С.Волчек, В.Петрович. – Мн. БГУИР, 2006. – 52с.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

(обязательное к разделу 2)

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А

 

 

 

 

 

 

Рисунок А.1 Траектория движения электрона, рассеивающегося на ионах, в соответствии с представлениями Друде.

 

велечина статической электропроводности металлов

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок А.2 – Теорретическая и экспериментальная зависимости от температуры σ₀ для Cu.

=A/

температурнуая зависимость электропроводности

 

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

(обязательное к разделу 2.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок Б.1 - Частотная зависимость компонентов комплексной

электропроводности металлов σ' и σ''

 

;

действительная и мнимая части электропроводности металлов.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

                                         (обязательное к разделу 3)

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок Б.1 Рассчитанные по формулам (2.38), (2.39) зависимости действительной (n²-k²)  и мнимой 2nk диэлектрической проницаемости от частоты.

 

 

 

 

                                 Уравнения Максвелла

 

 

 

 

 

Соотношения Крамерса-Кронига.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

 

 

Формула Зелльмейера

 

 

 

 

 

Действительная и мнимая части комплексной диэлектрической  проницаемости

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3