Комплексная электропроводность металлов. Диэлектрическая проницаемость металлов

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Металлы занимают особое положение в физике твердого тела, обнаруживая ряд поразительных  свойств, отсутствующих у других твердых тел.

Хорошо известно, что металлы — хорошие проводники электрического тока. Причина этого заключается в том, что внешние электронные оболочки атомов, составляющих металл, в значительной степени перекрываются. Поэтому электроны этих оболочек (валентные электроны) легко перемещаются от одного атома к другому, так что даже нельзя сказать, какому атому они в действительности принадлежат. Такая коллективизация внешних электронов приводит к возникновению большой энергии связи металлов и объясняет их специфические механические свойства. Что касается внутренних электронных оболочек, то, ввиду малости их перекрытия, их можно считать примерно такими же, как и в изолированных атомах.

Таким образом, металл представляет собой кристаллическую решетку  из положительных ионов, в которую  «налиты» коллективизированные электроны валентных оболочек. Они называются также электронами проводимости или «свободными» электронами. В действительности эти электроны сильно взаимодействуют между собой и с ионами решетки, причем потенциальная энергия этих взаимодействий порядка кинетической энергии электронов.

 

 

1 ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ И ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ.

Ещё задолго до открытия электронов было экспериментально показано, что прохождение тока в металлах не связано, в отличие от тока в  жидких электролитах, с переносом  вещества металла. Опыт состоял в  том, что через контакт двух различных  металлов, например золота и серебра, в течение времени, исчисляемого многими месяцами, пропускался постоянный электрический ток. После этого  исследовался материал вблизи контактов. Было показано, что никакого переноса вещества через границу не наблюдается  и вещество по различные стороны  границы раздела имеет тот  же состав, что и до пропускания  тока. Эти опыты показали, что  атомы и молекулы металлов не принимают  участия в переносе электрического тока, но они не ответили на вопрос о  природе носителей заряда в металлах.

Электри́ческая проводи́мость (электропроводность) — способность тела проводить электрический ток, а также физическая величина, характеризующая эту способность и обратная электрическому сопротивлению. В СИ единицей измерения электрической проводимости является сименс.

Оптические свойства металлов описываются комплексной диэлектрической  проницаемостью

В  линейном  приближении,  справедливом,  когда  амплитудное  значение

напряженности  электрического  поля E    в  падающей  на  вещество  электромагнитной волне мало по сравнению с локальными внутренними электрическими полями в среде, взаимодействие электромагнитных волн с  веществом  может  быть  описано  небольшим  числом  параметров.

 

2 КОМПЛЕКСНАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ В ТЕОРИИ ДРУДЕ

 

2.1 Теория металлов Друде.

 

Начнем рассматривать  классическую теорию металлов Друде с элементарного рисунка, который бы отражал те явления и законы, которые используются для количественного описания тех или иных параметров теории.

В предисловии следует  отметить, что теория Друде создавалась  автором в тот период развития физики, когда уже экспериментально было изучено такое явление, как  электрический ток. Друде предложил свою теорию металлов всего через три года как английским физиком Джозефом Джоном Томсоном был открыт электрон в 1897 год и в 1898 году определен его электрический заряд. Поэтому у немецкого физика Пауля Друде были самые новейшие данные о природе электричества и, в частности, - частице, обуславливающей процесс электропереноса заряда - электрона. Используя достаточно хорошо изученную в тому времени теорию газов, а также явления электропроводимости газов, полученные несколько раньше Томсоном, Друде применил теорию газов к описанию процессов, происходящих в металлах.

Рассмотри элементарную модель, положенную в основу модели металлов Друде, рис. 1

 

Рис.1 Элементарная модель металлов Друде.

 

Друде предположил, что компенсирующий положительный заряд принадлежит гораздо более тяжелым частицам, которые он считал неподвижными. В то время, еще не понимали точно, почему в металле имеются подобные легкие подвижные электроны и более тяжелые неподвижные положительно заряженные ионы.

Основные предположения  теории Друде:

1. В интервале между столкновениями, электрон считается классической свободной частицей, не взаимодействующей с положительными частицами. Согласно классической механике, электрон будет двигаться прямолинейно, если на него не действует больше никаких сил (см рис. 1).

2. При отсутствии внешнего электрического поля, обуславливающего процесс электропереноса, скорости электронов распределены в объеме хаотически по величине и направлению, как и в классическом газе, хотя и подчиняются при этом статистической модели Максвела- Больцмана. Электрический ток при этом отсутствует.

3. При наличии внешнего электрического поля оно действует только на способные к перемещению частицы -  электроны.  Частицы заряженные положительно остаются неподвижными. При этом в хаотическом движении электронов начинает проявляться некоторое упорядочение. Оно проявляется в том, что появляется обусловленное направлением и величиной внешнего электрического поля направление, имеющее некоторые статистические преимущества перед остальными направле-ниями. Вдоль этого направления наблюдается избыточное движение электронов, т.е. наблюдается процесс прохождения электрического тока.

 

2.2 Статическая проводимость.

 

Рассмотрим реакцию металла  на внешнее воздействие, представляющее собой постоянное электрическое  поле. Величина, связывающее внешнее воздействие - электрическое поле Ē с реакцией на это воздействие - электрическим током ̅j, является электропроводность металла σ₀:

̅j= σ₀Ē.                                                 (1.1)

Величина электропроводности является величиной, обратной удельному сопротивлению  металла ρ0:

                                          (1.2)

Следует помнить что соотношение (1.1) выполняется для небольших плотностей тока, т.е. когда электропроводность не зависит от напряженности электрического поля. Случай больших плотностей тока и соответствующих этому нелинейных эффектов  не рассматривается в модели Друде.

Определим теперь величину плотности тока ̅j через образец на (рисунок 2) как поток заряда, пересекающий единицу площади в направлении поля за единицу времени:

 

                                           (1.3)

где e - заряд электрона; n₀ - концентрация электронов в единице объема; - средняя скорость движения электронов.

Рисунок 2 - К определению удельной электропроводности металлов

 

Когда электрическое поле Ē отсутсвует, средняя скорость движения электронов ̅V обращается в нуль. При этом электрический ток через образец ̅j  будет равен нулю.

В случае, когда электрическое  поле ̅Ē≠0, средняя скорость электронов уже будет отлична от нуля, т.е. в образце в соответствии с формулой (1.3) потечет ток. Рассчитаем его величину в соответствии с моделью Друде.

Зафиксируем какой-либо момент времени t₀ и начнем в этот момент

времени наблюдать за скоростью  одного из электронов. При этом в  момент времени t₀ скорость электрона можно записать как ̅V₀, Через некоторое время dt<τ скорость электрона изменится. Это обусловлено тем, что в течение времени dt электрон двигается под действием силы, обусловленной наличием электрическим полем Ē:

                                                     (1.4)

Электрон двигается равноускоренно по законам классической механики:

                   (1.5 )

где m_e - масса свободного электрона (m_e = 9,1*10^-31 кг).

 Пирост скорости за время dt будет равен                Суммарная скорость

электрона с учетом его начальной  скорости        будет равна:

(1.6)

Если усреднить полученный результат  по всем электронам получиться:

                                                                                                             (1.7)

Подставим полученный результат (1.7) в соотношение (1.3):

                                                       …                             (1.8)

 

Учтем соотношение (1.2) и получим:

 

 

Данная формула входит в закон  Ома и определяет велечину статической электропроводности металлов в соответствии с моделью металлов Друде.

2.3Температурная зависимость электропроводности в модели Друде

Для оценки температурной зависимости  электропроводности воспользуемся формулой (1.9)

 

Поскольку m_e и e от температуры зависеть не могут (это физические константы), то ответ будем искать в температурной зависимости n и τ .

Строго подходя к решению  этой задачи, следует учитывать изменение  n по следующим причинам. В соответствии с n является функцией плотности металла ρ,. С увеличением температуры плотность вещества, как правило, уменьшается. Однако коэффициент линейного расширения металлов находится на уровне (1-4)10^-5К^-1. Следовательно, нагрев металла от 300 К (комнатная температура) до 600 К (до 300°С) изменяет линейные размеры металлов примерно на 0,01%, что крайне незначительно. По этой причине можно считать, что N независимая величина.

Изменение валентности металлов также  не может быть привлечено для объяснения температурной зависимости электропроводности металлов.

Общим для всех металлов является следующий подход. Время релаксации τ определяется следующим соотношением:

                                                    (1.10)

Величина была определена  следующим образом:

            .                                                (1.11)

Подставляя это значение для  в выражение (1.10) для τ, а последнее в соотношение (1.9), получаем в явном виде температурную зависимость электропроводности:

=A/(1.12)

  где A - от температуры не зависит.

Таблица 2

10-6 См	Li	Ag	Cu	Zn	Al	In	Pb
σ0, Т = 273К	11,69	66,22	64,1	18,18	40,81	12,5	5,26
σ0 эксп , Т = 77К	96,1	313,3	100	55,5	333,3	55,5	21,27
σ0 расх , Т = 77К	22,02	124,53	120,4	31,13	76,92	23,4	9,90
σ0 эксп , Т = 373К	12.4	46,9	46,94	12,82	28,1	81,19	3,7
σ0 расх , Т = 373К	10,01	56,4	54,9	15,55	34,96	10,69	4,5

Таким образом, теория Друде предсказывает уменьшение порводимости металлов с ростом температуры, причем σ₀ убывает обратно пропорционально корню квадратному из температуры. В качестве примера, иллюстрирующего точность предсказаний величины σ₀ в диапазоне температур. Здесь приведены экспериментальные и рассчитанные по теории Друде величины  причем за базу приняты значения удельных сопротивлений 273 К (нуль градусов по шкале Цельсия), см. рисунок 3 и данные таблицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3. – Теорретическая и экспериментальная зависимости от температуры σ₀ для Cu.

Обращает на себя внимание то, что модель Друде предсказывает более сильную зависимость проводимости от температуры, чем экспериментальная. При этом эксперимент указывает, как правило, на линейную зависимость удельного сопротивления меди σ₀ от температуры.

2.4 Уравнение движения  электронного газа в модели  Друде

Движение любого материального  тела подчиняется закону сохранения энергии и импульса. При этом для  электрона величина энергий Е_кин связана с величиной импульса следующим соотношением:

                                                                                                         

                                                                                                                 (1.12)

Через величину и направление импульса (t) определяем плотность тока (t)

(1.13)

Значит, зная велечину импульса электрона (t) в любой момень времени можно узнать велечину его энергии, а также велечину и направление тока через образец.

Зафиксируем произвольный момент времени t: этому времени отвечает импульс электрона (t). Через некоторый промежуток времени dt << τ, dt→0 импульс электрона за счет действия внешних сил изменится на некоторую величину. Поэтому в момент времени t + dt величина импульса будет равна (t + dt). Определим (t + dt) с учетом того, что процесс столкновения с ионами является вероятностным процессом.

За интервал времени от t до t + dt вероятность того, что электрон испытает столкновение с ионом, будет равна:

(1.14)

Следовательно, к моменту времени t + dt электрон не столкнется с ионом и будет продолжать двигаться под действием внешних сил с вероятностью:

(1.15)

 

поскольку W₁ + W₂ = 1  достоверное событие.

Двигаясь в течение времени dt без столкновений, электрон приобретет дополнительный импульс