Комплексная электропроводность металлов. Диэлектрическая проницаемость металлов

(1.16)

В этой записи учтено, что электрон в модели Друде нерелятивистский и поэтому в процессе движения его масса постоянно Кроме этого, наличие неизменной в пространстве силы (t) дает возможность записать d(Ft) = (t)dt имея в виду под силой (t) среднюю внешнюю силу, действующую на электрон.

Таким образом, к моменту времени  t+dt величина среднего импульса может достичь величины:

(t + dt) = (t) + d = (t) + (t )dt.                        (1.17)

С учетом вероятностного характера изменения импульса величина среднего импульса электрона к моменту времени t + dt будет равна:

 

.                    (1.18)

                                                                             

Перенеся в соотношении (1.18) (t) в левую часть и разделив обе части (1.18) на dt+0, получим:

.                 (1.19)

 

 Учитывая вклад в величину среднего импульса электрона той его величины, которая обусловлена электронами, испытавшими за время меньшее чем dt столкновение ионами. Следует отметить, что доля таких электронов в общем их количестве равна при dt<<τ ею можно пренебречь. Кроме того, если за время dt'<dt электрон все же испытает столкновение, то вклад величину импульса к моменту t+dt' не будет превышать величины (t)dt. Следовательно, дополнительная добавка в соотношении (1.18) будет порядка:

.                           (1.20)

 

        Поэтому в итоговом состоянии (1.18) эта величина также не появится:

(1.21)

 

 

Сравним соотношения (1.16) и (1.19)

(1.22)

 

Первое из этих соотношений – уравнение движения свободного электрона, не испытывающего столкновений (второй закон Ньютона). Второе же уравнение содержит член          учитывающий “трение”

 

электронов за счет их столкновения. Именно наличие этого члена ограничивает кинетические свойства электронов в модели Друде и приводит к отличному от нуля удельному сопротивлению металлов а также появлению понятия «диэлектрическая проницаемость металлов».

 

2.5 Высокочастотная электропроводность и

диэлектрическая проницаемость  металлов.

 

Будем рассматривать воздействие  на металл синусоидальное переменное электрическое поле Запишем поле в следующем виде:

 

E(t)=E(ω)cosωt или E(t)=E(ω)sinωt,                      (1.23)

Где E(ω) – амплитуда электрического поля E(t) зависящая от частоты ω.Но более удобной формой записи будет комплексная форма записи:

                                   (1.24)

С учетом (1.23) и того что (t) = -(t), кинетическое уравнение движения электрона (1.18) примет вид:

(1.25)

Для нахождения явного вида (t), являющегося решением уравнения (1.24), будем искать (t) в виде:

(t)=(ω).                                           (1.26)

Определим фикцию путем дифференцирования (1.27):

(1.27)

Подставим (1.26) и (1.27) в (1.25):

 

   .               (1.28)

 

Произведя сокращения на левой и правой частей соотношения (1.28) и произведя перегруппировку членов, получим следующий результат:

 

(1.29)

 

С использованием соотношения (1.11), из (1.29) получим:

 

(1.30)

 

Так как коэффициентом, связывающем физические величины и , является электропроводность σ  (1.1), то, вводя понятие комплексной электропроводности σ* с учетом (1.9), получим

σ*=σ'+іσ",                                         (1.31)

где

 ;                                   (1.32)

соответственно действительная и  мнимая части электропроводности металлов.

2.6 Частотная зависимость комплексной

электропроводности  металлов.

 

Проанализируем рисунок 4, на котором изображена частотная зависимость σ' и σ'' в соответствии с соотношениями (1.32).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4 - Частотная зависимость компонентов комплексной

электропроводности металлов σ' и σ''

 

На частотах ω˂˂τ^-1 велечина ωτ и особенно ω²τ² гораздо меньше 1, поэтому ими можно пренебречь. В связи с этим в области низких частот σ' = σ₀ и σ'' = 0 и от частоты не зависят.

При ωτ = 1 значение σ' становится равным 0,5 σ₀ и при дальнейшем увеличении частоты уменьшается по закону ω^-2, и стремится в пределе к нулевому значению; σ' = σ₀ ω^-2τ^-2 при ω˂˂τ^-1 , так как единицей в знаменателе соотношений (1.31) по сравнению с ω²τ² можно пренебречь.

Сопротивление металлов по модели Друде практически не меняется и является действительной величиной до частот порядка τ^-1

При ω<τ ^-1 электропроводность уменьшается.

Величина ω~τ^-1 соответствует ИК, видимому и ближнему ультрафиолетовому диапазону электромагнитных волн, что является очень важным аспектом в вопросах изучения твердых тел, а не только металлов.

 

2.7 Оптические свойства металлов.

Диэлектрическая проницаемость  металлов.

 

Как видно из рисунка 4 численное  значение σ'' при росте ω возрастает пропорционально ω и  достигает максимума при ω=τ^-1. Значение = 0,5 σ₀. При дальнейшем увеличении ω σ" уменьшается и при ω>> τ^-1. σ"σ₀ (ωτ)^-1, т.е. убывает медленнее, чем σ', оставаясь все время больше σ',  σ" так же, как и σ' в пределе стремится к нулю при ω→∞.

Рассмотрим, мнимую часть электропроводности σ". Так как фаза σ'' опережает  фазу σ' на (это выражается тем что перед значением σ'' в соотношении (1.31) стоит + i то, если σ' носит активный характер, то σ" - емкостный. Поэтому σ" следует трактовать как емкостную электропроводность металла по аналогии  терминологии теории электрических цепей:

(1.33)

 

где ԑ_r - относительная диэлектрическая проницаемость материала (ее действительная часть), а ԑ₀ = 8,85 х 10^-12 Ф/м - диэлектрическая постоянная (вакуума).

Если сравнивать (1.32) и величину σ' в соотношении (1.31), можно записать:

.                                         (1.34)

 

Следует помнить, что соотношение(1.32) имеет смысл в области частот ω=τ^-1 В соответствии с уравнением Максвелла:

                   (1.34)

Коэффициент оптического преломления  n зависит от величины диэлектрической проницаемости материала ԑ_r , и величина его магнитной проницаемости μ_r. Если положить что μ_r = 1 т.е. материал немагнитный, то n=; n²= ԑ_r.

С учетом соотношения (1.34) можно сделать вывод, что в области частот ω=τ^-1 металлы обладают конечным значением n, а следовательно, становятся частично прозрачными для электромагнитного излучения и тем самым в совокупности с уменьшением σ' теряют металлические свойства и приобретает свойства диэлектриков.То есть, в области частот видимого диапазона а особенно ультрафиолетового, между металлами и диэлектриками разница исчезает (рисунок 4).

Этот вывод, который следует  из анализа теории металлов Друде, имеет в настоящее время большое практическое значение. Оптические свойства металлов, связанные с комплексным характером их проводимости явились базой для развития нового научного направления в области естественных наук – металлооптики.

 

 

3 ОПТИКА МЕТАЛЛОВ

В ИК- и видимой области оптического диапазона металлы сильно отражают падающее излучение характерный металлический блеск. Это объясняется преимущественным рассеянием света при его взаимодействии со свободными электронами, концентрация которых достигает в металлах 10²²-10²³ см^-3. Электроны излучают в процессе рассеяния вторичные волны, которые при сложении формируют сильную отраженную волну. Поглощение квантов света непосредственно электронами проводимости возможно только при их одновременных столкновениях с фононами, примесями, друг с другом, поверхностью металла, границами зерен и кристаллитов. Столкновения и формирование из рассеянного света отраженной волны происходит в тонком приповерхностном слое (скин-слой толщиной σ_s<<1мкм), в котором затухает проникающее в металл излучение.

Роль свободных электронов во взаимодействии электромагнитного излучения с металлами является определяющей в широком диапазоне частот.

В результате такого влияния оптические и электрические свойства металлов взаимосвязаны: чем больше статическая проводимость металла, тем сильнее он отражает свет. Отклонения возникают при низких температурах и на высоких частотах (видимая область спектра), когда важную роль играют квантовые эффекты, связанные с электронным рассеянием, межзонными переходами и др. В УФ- и более коротковолновом диапазонах с излучением взаимодействуют электроны внутренних оболочек атомов, например, в рентгеновской области спектра металлы уже не отличаются от диэлектриков по оптическим свойствам.

3.1Распространение электромагнитных волн в проводящих средах. Основные уравнения оптики металлов

Распространение электромагнитных волн в однородной и изотропной среде, обладающей проводимостью, можно исследовать  с помощью уравнений Максвелла 

 

                                              (2.1)

,                                                (2.2)

                                              (2.3)

 

с учетом материальных соотношений ,. Так же необходимо учесть, что внутри однородного проводника электрическое поле отсутствует. В этом легко убедиться, применив к уравнению (2.2) операцию дивергенции (div):

.                         (2.4)

 

  Отсюда, получим:

=0.                                                (2.5)

 

Решение этого уравнения имеет  вид:

(2.6)

Объемная плотность заряда убывает  с течением времени по экспоненциальному закону. Величина τ_e =ԑ/σ определяет тот промежуток времени, который необходим для установления электростатического равновесия. Чем больше электропроводность, тем быстрее пройдет этот процесс. Причем условие div=0 означает, что внутри однородного проводника могут распространяться только поперечные плоские электромагнитные волны. Следовательно, уравнения:

 

 

 

 

при div= 0 описывают всю оптику токопроводящих сред. Эти уравнения запишем в виде:

(

(2.8)

 Уравнения (2.7) и (2.8) называются телеграфными уравнениями. Решения этих уравнений будем искать в виде:

(2.9)

(2.10)

Решив уравнения (2.9) и (2.10) получим следующие соотношения принимая во внимание закон Ома в дифференциальной форме (1.1):

(2.11)

(2.12)

 

Эти уравнения отличаются от соответствующих  уравнений в диэлектриках тем, что в первом из них множитель ωμ₀ԑ₀ заменен множителем ωμ(ԑ-іσ/ω) а остальные члены уравнения остаются неизменными. Иначе говоря, если в уравнениях Максвелла для диэлектриков заменить диэлектрическую проницаемость ԑ комплексной диэлектрической проницаемостью:

 ԑ-іσ/ω,                                             (2.13)

то получим уравнения для  проводящих сред.

Представим в комплексной форме волновое число. Известно, что в диэлектрической среде между волновым числом к(ω), частотой ω и диэлектрической проницаемостью существует дисперсионное отношение:

,                              (2.14)

Для проводящей среды волновое число  следует заменить комплексным волновым числом.

к² (ω) = ω² ԑμ- iωσμ = (к(ω) — iк_i )² .                (2.15)

Поделив действительные и мнимые части комплексного волнового числа, получим:

(2.16)

 

 

 

Если считать волновые числа в (2.9), (2.10)

комплексными, рассмотрим случай когда электромагнитная волна распространяется вдоль оси х то:

(2.17)

Из (2.10) следует, что по мере проникновения  в глубь проводника фазы векторов и изменяются линейно, а их амплитуды убывают по экспоненциальному закону. Поэтому основная часть электрического поля сосредоточена у поверхности проводника (в скин-слое), толщина которого равна δ_s=1/к_i. Электропроводность металлов велика, поэтому для оптического диапазона можно считать σ/ԑ_rԑ₀ω≈σ/ԑω>>1, следовательно, в (2.16) можно пренебречь единицей. Выражение для δ_s примет вид:

 .                                            (2.18)

Формула (2.11) тем точнее, чем больше частота электромагнитной волны (УФ область спектра). Выразим величину к_i=1/δ_s через плазменную частоту ω_p:

    (2.19)

на практике обычно μ_r≈1, поэтому:

                                      (2.20)

Величина δ_s не зависит от магнитных свойств металла. Для диа- и парамагнетиков μ_r мало отличается от единицы. Значительно отличаются от единицы значения μ_r лишь у ферромагнитных материалов. Однако намагниченность ферромагнетиков инерционна: в переменном поле электромагнитной волны она не успевает изменяться синхронно с полем. Такое рассогласование приводит к тому, что, в отличие от стационарных полей, в перемененном электромагнитном поле намагниченность ферромагнетика в среднем оказывается незначительной, так что соответствующие этой намагниченности значения μ_r не очень отличаются от единицы.

 

3.2 Соотношения Крамерса-Кронига.

Действительная и мнимая части  и комплексной диэлектрической  проницаемости, и комплексного показателя преломления (оптические постоянные) не являются независимыми друг от друга. Наиболее общее описание внутренней взаимосвязи между ними в широком  интервале частот дается интегральными  соотношениями Крамерса-Кронига. Существуют четыре соотношения Крамерса-Кронига для оптических постоянных: