(29)

Найдем плотность тока в полупроводнике с учетом двух сортов носителей заряда по формуле:

 (30)

где

Запишем соотношение:

       (31)

Электронную составляющую тока (30) с учетом (27), (28) и (31) можно  представить в виде выражения:

    (32)

Если ввести , то . Величину электронной составляющей плотности тока с учетом (6) и (27) можно найти по формуле:

     (33)

где

          (34)

где - подвижность электронов в полупроводнике при рассеянии на тепловых атомах кристаллической решетки.

Выражение (33) с  учетом (34) можно представить в  виде:

       (35)

Проведя аналогичный  расчет для дырочной составляющей тока, получим:

      (36)

Из выражения (30) с учетом (35) и (36) получим формулу  для расчета полной плотности  тока:

  (37)

Из соотношения (37) следует, что в полупроводнике при наличии градиента температуры возникают электронный и дырочный токи, которые обусловлены действием градиента электрохимического потенциала и градиента температуры . Для нахождения термо-э.д.с. необходимо определить разность потенциалов для разомкнутой цепи. Поскольку для разомкнутой цепи j=0, то напряженность электрического поля, обусловленного градиентом температуры и называемого термоэлектрическим, можно найти из (37), приравняв ток к нулю. Но при измерении термо-э.д.с. на границах полупроводника и измерительных металлических электродах существуют контактные разности потенциалов, которые не равны друг другу вследствие существующего температурного градиента. Измерительный прибор отметит э.д.с., равную термо-э.д.с. полупроводника и разности контактных потенциалов измерительных электродов. Чтобы исключить разность контактных потенциалов измерительных электродов необходимо определить термо-э.д.с. как градиент электрохимического потенциала . Абсолютная величина будет равна разности контактных потенциалов в граничных точках, если считать, что полупроводник и металл на контакте находятся в термодинамическом равновесии.

Поэтому дифференциальную термо-э.д.с. определяют как:

          (38)

Полагая, что  ток в (37) равен нулю, получаем для  дифференциальной термо-э.д.с. полупроводника:

     (39)

Запишем выражения для определения концентрации электронов и дырок невырожденного полупроводника:

           (40)

          (41)

где , -эффективная плотность состояний в зоне проводимости и в валентной зоне.

Тогда выражение (39) с учетом (40) и (41) можно записать в виде:

    (42)

Таким образом, дифференциальная термо-э.д.с. полупроводника определяется двумя слагаемыми, каждое из которых соответствует вкладу, вносимому электронами и дырками, причем эти слагаемые имеют противоположные знаки.

Из выражения (42) следует, что дифференциальная термо-э.д.с. отрицательна для электронного полупроводника. В этом случае на горячем торце образца возникает положительный объемный заряд (положительно заряженные ионы), так как электроны диффундируют от горячего торца к холодному. В дырочном полупроводнике дифференциальная термо-э.д.с. положительна, в нем, наоборот, на горячем торце возникает отрицательный объемный заряд. Таким образом, если полупроводник примесный, то направление внутреннего электрического поля определяется знаком основных носителей заряда и, следовательно, по знаку дифференциальной термо-э.д.с. можно определить тип примесной проводимости исследуемого образца. В случае смешанной проводимости знак дифференциальной термо-э.д.с. определяется не только соотношением концентраций носителей заряда, но и их подвижностью. Величина дифференциальной термо-э.д.с. примесных полупроводников уменьшается с ростом содержания примеси. При нагревании примесного образца его дифференциальная термо-э.д.с. уменьшается.

Дифференциальную  термо-э.д.с. запишем виде:

          (43)

Запишем уравнение  компоненты плотности тока в направлении  x в стационарном случае:

 (44)

где - функция распределения по энергии.

Из (43) с учетом (44) получаем:

        (45)

где - постоянная Больцмана;

-полная подвижность с учетом  смешанного рассеяния носителей заряда.

После интегрирования обоих интегралов и перейдя к  безразмерной энергии  , получим:

       (46)

Запишем формулу  для времени жизни носителей  заряда с учетом смешанного рассеяния  носителей заряда (рассеяние носителей заряда на акустических ветвях фононов и на ионах примеси):

          (47)

где -время релаксации носителей заряда в начальный момент при рассеянии на акустических ветвях фононов;

           (48)

где -время релаксации носителей заряда при рассеянии на ионах примеси в начальный момент;

Подставим формулу (47) в (46) и получим:

         (49)

где       (50)

      (51)

Рассмотрим частные  случаи, а именно только рассеяние  на ионах ( ) и рассеяние на фононах ( ):

:          (52)

:         (53)

где -обобщенная сила в кинетическом уравнении Больцмана (зависит от подвижности носителей заряда).

Выражение (52) при  переходит в:

          (54)

Выражение (54) называется формулой Писаренко. Следовательно, выражение (53) при тех же ограничениях переходит  в:

          (55)

При данных вычислениях  были приведены аппроксимации второго  порядка интегралов Ферми, которые в общем случае имеют вид:

        (56)

Если воспользоваться  аппроксимацией, справедливую в другом крайнем случае , то выражения (52) и (53) переходят в .Нулевые значения термо-э.д.с. получились из-за грубости аппроксимации, в которой учтен лишь первый член разложения подынтегральной функции в . Если воспользоваться более сложной аппроксимацией с учетом второго члена разложения, то получаем соответственно:

         (57)

         (58)

1.3 Эффект фононного увлечения

Большое возрастание  термо-э.д.с., которое иногда обнаруживается в чистом веществе, при низких температурах называется эффектом фононного увлечения. Данное явление определяется особым видом электрон-фононного взаимодействия.

При наличии  градиента температуры в полупроводнике имеет место анизотропия в  распространении фононов, так как  градиент концентрации фононов вызывает их движение в направлении от горячего к холодному краю образца. При каждом акте электрон-фононного рассеяния, которое сопровождается поглощением фонона, электрон приобретает энергию и квазиимпульс фонона. Поскольку фононов с квазиимпульсом, направленным от горячего к холодному краю образца, больше, чем с противоположно направленным квазиимпульсом, то электроны, поглощая фононный квазиимпульс, будут увлекаться фононным потоком. Вследствие этого электроны станут дрейфовать к холодной части образца. Дрейф электронов будет продолжаться до тех пор, пока в связи с их перераспределением не возникнет электрическое поле, которое уравновесит силу, действующую на электроны со стороны фононного потока. Эта разность потенциалов и представляет собой дополнительную термо-э.д.с., которая добавляется к термо-э.д.с., рассчитанной для случая отсутствия электрон-фононного взаимодействия. Эффект фононного увлечения приводит к значительному росту термо-э.д.с. только при низких температурах, так как из-за взаимных столкновений распределение фононов медленно возвращается к равновесному. При более высоких температурах рассеяние фононов на фононах быстро восстанавливает равновесие распределения фононов и эффект увлечения исчезает.

2. Аппаратура  и методика эксперимента

Изучение температурной  зависимости дифференциальной термо-э.д.с. проводится на монокристаллических образцах германия в диапазоне температур 20-300° С.

Измерения осуществляются на установке, состоящей из кристаллодержателя, нагревательных элементов, регуляторов  питания нагревателей, переключателей измерительных цепей, тумблеров и компенсационного потенциометра КП. Кристаллодержатель, рис.4, состоит из двух зажимов 1 и 2, смонтированных на вертикальной стойке 3.На графитовом стержне верхнего зажима намотан небольшой нагреватель 4, создающий вдоль образца необходимый перепад температур .

 
 

Температура регулируется внешней цилиндрической печью 5 термопар (хромель-алюмель), с помощью которых измеряются температуры торцов образца и .Вторые холодные спаи термопар термостатированны в сосуде с маслом. Температура масла измеряется ртутным термометром. Кристаллодержатель, нагреватели и сосуд смонтированы в одном выносном блоке. С помощью переходной колодки блок подключается к стенду питания.

Принципиальная  схема установки показана на рис.5. 

 

 
 

Тумблером T₁ включается автотрансформатор, с которого снимается напряжение U₁ для внешней печи. Напряжение U₂ для внутреннего нагревателя снимается с понижающего трансформатора и регулируется потенциометром R. С помощью переключателей П₁ и П₂ осуществляется коммутация измерительных цепей. Переключатель П₁ имеет четыре положения, которым соответствует измерения э.д.с. верхней термопары E₂, э.д.с. нижней термопары Е₁, термо-э.д.с. германия относительно алюмеля ∆U(Ge-Ал) и относительно хромеля ∆U(Ge-Хр. Переключатель П₂ используется для изменения направления измеряемых токов в случае изменения знака термо-э.д.с. образца. Измерения э.д.с. термопар и термо-э.д.с. полупроводника осуществляются с помощью потенциометра КП.

Измерение температурной  зависимости термо-э.д.с. заключается  в определении температур торцов исследуемого образца и возникающей  на них э.д.с. Температура измеряется с помощью термопар, горячие спаи которых помещены вблизи торцов образца и имеют температуры T₁ и T₂. Холодные спаи этих термопар имеют температуру T₀. По показаниям термопар E₁(T₀,T₁) и E₂(T₀,T₂) находят перепад температур ∆T=T₂-T₁ вдоль образца. Э.д.с. образца ∆U  измеряется относительно металла зондов и соответствует измеренной ∆Т. Электродвижущие силы Е₁ и Е₂ термопар соответствуют разности температур их спаев Т₁-Т₀ или Т₂-Т₀. Поэтому, чтобы найти истинную температуру T₁ или T₂ надо ввести поправку на температуру холодного спая термопары T₀ . Температура T₀ равна комнатной.

Термо-э.д.с. α равна отношению и это значение следует отнести к температуре считая α постоянной в интервале температур ∆T=T₂-T₁.

Зондами при  измерении  служит проволока самих термопар, горячие спаи которых имеют электрический контакт с образцом. Таким образцом, с помощью двух термопар и соответствующей схемы переключения можно последовательно измерить все необходимые величины: E₁, E₂ и ∆U.

3. Исследование  математической модели эффекта Зеебека и результаты этого исследования

Построим график зависимости ширины запрещенной зоны германиевого полупроводника от температуры:

 
 
 

 
 

Рост амплитуды тепловых колебаний атомов решетки приводит к уменьшению ширины запрещенной зоны полупроводника. Также при увеличении температуры изменяются межатомные расстояния, что также влияет на ширину запрещенной зоны. Построим графическую зависимость концентрации свободных носителей заряда в германиевом полупроводнике от температуры при различных степенях легирования:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Построим  графики зависимостей собственной концентрации носителей заряда от температуры и полной концентрации носителей заряда от температуры:

Построим графики зависимостей подвижности электронов и дырок при смешанном рассеянии (учитывается рассеяние на ионах примеси и акустических ветвях фононов) от температуры: