Исследование электромагнитного поля в прямоуголньном волноводе

     3.1  Характеристическое сопротивление Е и Н-волн в волноводе

     Характеристическое  сопротивление собственных волн равно отношению взаимно перпендикулярных поперечных составляющих векторов и этих волн.

     Обратившись к системе уравнений для Е-волн (2.19), находим:

=Ε_x /Η_y = –Ε_y /Η_x = K/ωε_a = (1 – (λ / λ_кр)²)^0.5 = (1 – (λ / λ_кр)²)^0.5  (3.2)

     где   – характеристическое сопротивление  плоской однородной волны в свободном  пространстве.

     Обратившись к системе уравнений для Н-волн (2.21), находим:

= Ε_x /Η_y = –Ε_y /Η_x = ωμ_a /K = / (1 – (λ / λ_кр)²)^0.5 = (1 – (λ / λ_кр)²)^0.5  (3.3)

     Как следует из выражений (3.2) и (3.3), характеристические сопротивления собственных волн волновода, в отличие от Ζ0 , изменяются при изменении частоты возбуждающего  генератора.

     3.2  Волна основного типа в прямоугольном волноводе

     Собственные волны могут распространяться по волноводу не при любых частотах, а лишь при соблюдении условия  f > f_КР или λ > λ_КР. Следовательно, возможно такое соотношение между поперечными размерами волновода и частотой возбуждающего генератора, при котором в волноводе будут одновременно распространяться несколько собственных волн (теоретически – любое количество).

     В то же время, возможно такое соотношение  между названными выше параметрами, при котором в волноводе не сможет распространяться ни одна из собственных  волн.

     И, наконец, можно выдержать такое  соотношение между размерами  волновода и частотой возбуждающего  генератора, при котором в волноводе  может распространяться только одна собственная волна, имеющая наибольшую из всех собственных волн критическую  длину волны. Эта собственная  волна называется «основной волной волновода» или «волной низшего  типа».

     Для стандартного прямоугольного волновода, у которого a>b, волной основного  типа будет собственная волна  Н₁₀. Критическая длина волны для собственной волны Н₁₀ равна 2a. По отношению к волне Н₁₀ все прочие собственные волны называются волнами высших типов.

     На  рис.2 показано соотношение между критическими длинами волн критическими частотами нескольких собственных волн прямоугольного волновода, имеющего поперечные размеры 23х10 мм. Этот рисунок наглядно демонстрирует наличие такого диапазона частот возбуждающего данный волновод генератора, в пределах которого волна Н10 является единственно возможной собственной волной данного волновода, так как только для нее выполняется условие. На практике, при разработке различных волноводных узлов и блоков, очень часто оказывается необходимым создать в волноводе именно такой режим работы.  

Рис. 2 Критические длины волн (а) и критические частоты (б) собственных волн прямоугольного волновода, имеющего поперечные разрезы 23x10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     4  Физический смысл  индексов m и n

     Знакомство  со структурой полей собственных  волн высших типов облегчает понимание  физического смысла индексов m и n, входящих обозначения этих волн.

     Во  всех собственных волнах поле в поперечном сечении волновода представляет собой стоячие волны, пространственные периоды которых вдоль осей 0x и 0y равны λx и λy соответственно. Индекс m показывает сколько полуволн стоячей волны укладывается вдоль  широкой стенки волновода, а индекс n – сколько полуволн стоячей  волны укладывается вдоль узкой  стенки волновода.

     Формально это заключение можно сделать  на основании следующих математических выкладок:

                           λx= 2π/k_x= 2 π / (mπ/a) = 2a / m,             (4.1)

     λy= 2π/k_y= 2 π / (mπ/b) = 2b / m.

     Отсюда: 

                                          m = a / (λ_х/2);                             (4.2)

     n = b / (λ_y/2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

     5  Потери энергии в волноводах

     При передаче энергии от генератора сверхвысоких частот к нагрузке, например к антенне, всегда добиваются наилучшего согласования нагрузки с генератором. Для этой цели применяются специальные согласующие  устройства.

     При согласованной нагрузке в волноводе  существует только бегущая электромагнитная волна, переносящая энергию от источника  к потребителю. Если бы волновод был  идеальным, то вся энергия, подводимая от генератора к волноводу, доходила бы  до нагрузки. В этом случае коэффициент полезного действия волноводного тракта был бы равен 1.

     Реальные  волноводы, однако, выполняются из неидеального проводящего металла. Поэтому возбуждаемые электромагнитным полем токи в стенках  волновода обусловливают тепловые потери энергии. В результате  интенсивность  электромагнитных волн уменьшается, по мере их удаления от источника по экспоненциальному закону. Так, если в волноводе существует бегущая волна типа H₁₀, то амплитуды колебаний компонент E_y и H_x  на разных расстояниях z от источника определяются выражениями:

                        

                      (5.1)

     где a – коэффициент затухания.

     Величина  коэффициента затухания зависит  от критической длины волны, размеров волновода, материала, из которого он выполнен, и длины волны колебаний, применяемых  для возбуждения. Внутренняя поверхность  волноводов  часто   покрывается  серебром   или   золотом.  Это делается   в основном не с целью уменьшения потерь энергии, а для предотвращение коррозии, которая  может привести к существенному  возрастанию потерь, а также искрению и пробоям. 
 
 

 

     6  Структуры полей  волн H₁₀, H₂₀, H₁₁ и E₁₁ в   волноводе

     Волна H10 в волноводе прямоугольного сечения  имеет самую простую структуру  поля и представляет собой основной тип волны. Все другие типы волн называются высшими.

     На  рис. 3 приведены картины полей для волн типа H₂₀, H₁₁ и E₁₁. Для волны H₂₀ вдоль широкой стенки имеются два максимума интенсивности полей. Это по сути дела картина поля волны типа H₁₀, повторенная дважды со сдвигом фаз в соседних ячейках поля на 180°. Для волны H₁₁ поля изменяются и вдоль узкой стенки, так что в поперечном сечении волновода электрическое поле имеет сложную структуру. Конфигурация поля волны E₁₁ относительно простая. Магнитные силовые линии расположены в поперечной плоскости и представляют собой замкнутые кривые, а электрическое поле имеет максимальную продольную составляющую на оси волновода. Это простейшая волна типа Е. В прямоугольном волноводе волны типа E₁₀ и E₀₁ не могут существовать, так как магнитное поле таких волн должно было бы быть направлено перпендикулярно стенкам волновода, что, как уже указывалось, невозможно.

Рис. 3 Структуры полей волн H10, H20, H11 и E11 в волноводе

прямоугольного  сечения 

     В случае Е-волн в стенках волновода  могут течь только продольные токи. Следовательно, нет необходимости  обеспечивать хороший контакт в  углах волновода.

     7  Токи в прямоугольном волноводе на волне H₁₀

     В волноводах текут два вида токов: токи смещения — между стенками волноводов и токи проводимости —  по внутренним поверхностям металлических  стенок волновода. Система токов  смещения и проводимости определяется структурой поля в волноводе. Токи смещения в прямоугольном волноводе на волне H₁₀ проходят между широкими стенками, вдоль линий электрического поля. Вектор плотности этих токов равен:

                                   

                             (7.1)

     Величина  поверхностных токов проводимости определяется из граничного условия  H_τ = J_s , в соответствии с которым плотность тока на поверхности проводника численно равна тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля у этой поверхности. В соответствии с этим, используя:

                    

и ,              (7.2)

     можно вычислить плотность токов проводимости:

           -текущих вдоль широких стенок  волновода,

           -поперек широких стенок;

           -вдоль узких стенок;

           -поперек узких стенок.

     Картину распределения токов в волноводе  представлена на рис. 4. в продольном и в поперечном сечении

       
 
 
 
 
 

Рис. 4. Распределение токов в волноводе а) в продольном сечении волновода, б) в поперечном сечении

     8  Условие распространения  электромагнитного  поля

     Поле  каждого типа Е_mn и Н_mn характеризуется критической длиной волны: 

                        

                          (8.1)

     Определим согласно значению λ_кр интересующего нас типа поля и найдем длину волны в безграничной среде, аналогичной заполнению волновода, 

            l = cT = c/f                    (8.2)

     где - скорость волны, свободно распространяющейся в безграничной среде (в случае волновода, заполненного воздухом, c = c₀ =3•10⁸ м/с).

     Если λ < λ_кр, то поле рассматриваемого типа представляет собой распространяющуюся плоскую бегущую волну, которая переносит вдоль волновода энергию. Если же λ > λ_кр, то поле рассматриваемого типа представляет собой местное экспоненциально затухающее вдоль волновода поле, которое не может переносить энергию.

     Необходимо  помнить, что наиболее важным для  практики является основной тип поля, который имеет наибольшую критическую  длину волны. Для существования  при заданном значении λ (т.е. частоты f = c/λ) в волноводе бегущей волны только основного типа и местных затухающих полей всех остальных типов необходимо выбрать размеры поперечного сечения таким образом, чтобы одновременно выполнялись следующие неравенства: 

                                    λ_кр1 < λ < λ_кр0                  (8.3)

     λ_кр0 и λ_кр1 – критические длины волн полей основного и первого высшего типа  
 
 
 

 

     9  Расчет характеристик  электромагнитного  поля в прямоугольном волноводе

     а) Рассчитаем диапазон длин волн прямоугольного волновода при:

          a=23(мм)=2,3*10-2(м);

          b=10 (мм)=1*10-2(м);

      ,

     с- скорость света в вакууме,

     ƒ – краевые значения диапазона  частот

        ;

      .

     б) Рассчитаем критические длины волн  Е₁₁, Н₁₀,Н₀₁: