Исследование электромагнитного поля в прямоуголньном волноводе

     Заметим, что в линиях передачи ось OZ совпадает с направлением движения распространяющихся вдоль этих линий электромагнитных волн. Т-волны могут существовать только в двухсвязных или многосвязных линиях передачи (причем как в открытых линиях, так и в волноводах). Е- и Н-волны могут существовать в односвязных и многосвязных волноводах различного поперечного сечения. Гибридные волны могут существовать в неоднородных линиях передачи различных типов.

     В любой направляющей системе возможно существование большого числа типов  волн (из классов Е и Н), количество которых зависит от выбора рабочей  длины волны l_р. Однако существует область длин волн, при которой распространение электромагнитных волн в волноводе невозможно (область отсечки), то есть когда рабочая длина волны l_р больше или равна критической длине волны основного типа волны l_кр (l_р ³ l_кр). Основным типом волны в волноводе называется волна, обладающая максимальной критической длиной. 
 
 
 
 
 
 

     2  Системы уравнений для Е и Н-волн в прямоугольном волноводе

     Уравнения связи получаются в результате преобразования уравнений Максвелла и граничному условию для тангенсальной составляющей вектора напряженности электрического поля ( ) на поверхностях идеальных проводников:

     

                                                                              _(2.1)

     

     

     Для декартовой (прямоугольной) системы  координат (x, y, z) уравнения связи  для Е- и Н-волн выглядят следующим  образом:

     Е-волны

                                                   

                                  (2.2)

     Н-волны

                                    

                            (2.3)

     где    K – продольное волновое число для E и H-волн в волноводе,

              x -  поперечное волновое число.

                                           

                                                 (2.4)

                                           

                                              (2.5)

     2.1 Система уравнений для Е-волн в прямоугольном волноводе

     Распределение полей в волноводе может быть найдено путем решения системы  уравнений Максвелла при заданных граничных условиях на стенках волновода.

     

     Рис. 1. Система координат прямоугольного волновода 

     Разместим прямоугольную систему координат  так, как показано на рис. 1. В этом случае верхняя и нижняя стенки волновода находятся в плоскостях y=0 и y=b, а боковые – в плоскостях x=0 и x=a.

     Уравнение

                                       

                          (2.6)

     в декартовой системе координат имеет  следующий вид:

                             

          (2.7)

     При интегрировании уравнения (2.7) воспользуемся  методом Фурье. Представим функцию  Ψ(x,y) в виде произведения двух функций X(x) и Y(y), каждая из которых зависит только от одной пространственной переменой:

                                         Ψ(x,y) = X(x)Y(y)                                    (2.8)

     Подставим (2.8) в (2.7) и выполним частное дифференцирование:

                                  (2.9)

     Перейдя в (2.9) от частных дифференциалов к  обыкновенным и поделив его почленно на произведение X(x)Y(y), имеем:

                                       (2.10)

     Приравняем  первый член уравнения (2.10) постоянному  коэффициенту , а второй – постоянному коэффициенту . В этом случае уравнение (2.10) может быть представлено в виде системы из трех более простых уравнений:

                                                                  (2.11)

                                                                   (2.12)

                                                                                    (2.13)

     Уравнения (2.11) и (2.12) являются обыкновенными однородными  дифференциальными уравнениями  второго порядка, решениями которых  являются комбинации показательных  либо тригонометрических функций и  постоянных коэффициентов.

     Решение уравнения (2.11) для рассматриваемого случая будет иметь следующий  вид:

                           

           (2.14)

     В выражение (2.14) входят постоянные коэффициенты C, D и k для определения которых необходимо воспользоваться граничным условием

.

     Граничное условие  для выбранного расположения декартовой системы координат относительно стенок волновода преобразуется в следующие условия для составляющей при x=0, x=a, y=0 и y=b. Применительно к уравнению (2.14) это означает, что при x=0 и при x=a правая часть уравнения должна обращаться в ноль.

     Первое  условие может быть выполнено  только в том случае, если C = 0, а второе – если , где m – любое целое положительное число; a – поперечный размер широкой стенки волновода. Используя граничные условия, уравнение (2.14) принимает следующий вид:

                                                         (2.15)

     Проведя аналогичные операции с уравнением (2.12), получаем

                                                           (2.16)

     где B – постоянный коэффициент,

           – постоянный коэффициент,

            n – любое целое положительное число,

            b – поперечный размер узкой стенки волновода.

     Подставив (2.15) и (2.16) в (2.8), имеем:

                                                   (2.17)

     Подставив (2.17) в  и обозначив произведение коэффициентов B, D и A как , получим окончательное решение волнового уравнения для продольной составляющей вектора напряженности электрического поля Е-волн в прямоугольном волноводе

                                   (2.18)

     Чтобы воспользоваться уравнениями связи  для определения поперечных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей Е-волн в прямоугольном  волноводе, необходимо найти частные  производные  и . Вычислим их, проведя частное дифференцирование выражения (2.18) по переменным x и y:

     

     

     Анализ  уравнения (2.18) и его частных производных  показывает, что для Е-волн целые  числа m и n, входящие в выражения для коэффициентов и , не должны равняться нулю, так как в противном случае все составляющие векторов E и H этих волн будут равняться нулю.

     Подставляя  значения вычисленных частных производных  в уравнения связи, получим систему  уравнений для составляющих векторов и поперечно-магнитных волн (Е-волн) в прямоугольном волноводе:

     

     

     

                                                 

                                           (2.19)

     где , , , , – амплитуды векторов и , – максимальные значения этих амплитуд.

     2.2  Система уравнений  для Н-волн в  прямоугольном волноводе

     Отличие решения уравнения (2.6) для Н-волн от решения для Е-волн заключается  в применении граничных условий. Дело в том, что уравнение  , которое  в случае Е-волн непосредственно  трансформируется в граничные условия  для составляющей E_z, в данном случае может быть использовано лишь опосредованно с помощью системы уравнений связи. Причем граничные условия могут быть получены не непосредственно для составляющей HZ, а лишь для ее частных производных ∂H_z /∂y и ∂H_z /∂x. Так как Ex  является касательной составляющей при y=0 и при y=b, а Ey является касательной составляющей при x=0 и при x=a, то получаем

     ∂H_z /∂y=0  при y=0 и при y=b,

     ∂H_z /∂x=0  при x=0 и при x=a.

     Используя эти граничные условия при  решении уравнения (2.6) находим выражение  для составляющей H_z магнитных волн (Н-волн) в прямоугольном волноводе H_z.

                    

         (2.20)

     Анализ  уравнения (2.20) показывает, что, в отличие  от уравнения (2.18), в данном случае целые  числа m и  n порознь могут равняться  нулю.

     Найдя частные производные ∂H_z/∂y и ∂H_z/∂x, подставляя полученные значения в уравнения связи, получаем систему уравнений для векторов E и H магнитных волн (Н-волн) в прямоугольном волноводе:

       

     

                         (2.21) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     3  Анализ решений уравнений Максвелла для прямоугольного волновода

     Полученные  выше системы уравнений ((2.19), (2.21)) являются решениями уравнений Максвелла, удовлетворяющих физическим условиям рассматриваемой задачи и граничным  условиям. Следовательно, в соответствии с теоремой единственности, эти решения  однозначно описывают законы изменения  в пространстве и во времени векторов E и H внутри волновода. Попробуем на основе этих математических выкладок описать физическую картину электромагнитных процессов, происходящих внутри волновода.

     Прежде  всего запишем развернутую формулу  для критической длины волны  Е- и Н-волн:

           λкр = 2π/æ = 2π/(kx2+ ky2)0.5 = 2 / ((m/a)2 + (n/b)2) 0.5          (3.1)

     где m и n – целые положительные числа, которые для Н-волн могут порознь  равняться нулю, а для Е-волн начинаются с единицы.

     Каждой  паре целых чисел m и n соответствуют  разные значения векторов E и H, а также  разные значения λкр, Vф и Λ. Физически  это означает, что при выполнении определенных условий в волноводе  могут одновременно существовать различные  по своей структуре и фазовой  скорости Е- и Н-волны. Эти волны  носят название «собственных волн»  волновода и обозначаются Еmn или  Нmn, где латинские заглавные буквы  определяют принадлежность собственной  волны к классу Е- или Н-волн, а  нижние индексы m и n определяют тип  собственной волны (т.е. структуру  электрического и магнитного полей  этой волны).