Гидравлика и пневмосистемы

 

 

 

r = r (x, y, z, t); p = p (x, у, z, t).

 

 

                                    (2.1)

где и_х, и_y , u_z — составляющие вектора скорости .

 

 

Гидравлический  радиус R_г

                                                     R_г = s/c.                                              (2.2)

 

 

В живом сечении 1 — 1 (рис. 2.1) равномерного потока выполняется гидростатический закон распределения давления, т.е.

                             (2.3)

где р_А, р_B — соответственно давления в произвольных точках А и В (с вертикальными координатами z_a, z_b) этого сечения;

g — ускорение свободного падения.

 

 

Объемный расход Q, массовый  расход Q_М > весовой расход q_G определяются по формулам

,            (2.4)

где и_n — проекция скорости на нормаль к поверхности s.

Если s — живое сечение, то и_п = u. Для однородной жидкости

Q_m = rQ                                        (2.5)

 

 

 

Рис. 2.1.  Живое сечение  равномерного потока

 

Средняя скорость u  определяется из равенства

u=Q/s.                                                 (2.6)

 

Уравнение неразрывности  для потока несжимаемой жидкости имеет вид

Q = u ₁ s₁ = u₂s₂,                                       (2.7)

где u ₁ , u₂ — средние скорости в сечениях 1 - 1 и 2 - 2.

 

Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой несжимаемой жидкости при установившемся движении в поле силы тяжести имеет вид

            (2.8)

где z₁, z₂ - расстояния от центров выбранных живых сечений 1 — 1 и     2 - 2 до некоторой произвольной горизонтальной плоскости z = 0 (рис. 2.2); 

u₁, u₂  - скорости;

P₁,P₂ -давления в этих сечениях;

 h_1-2 — потери напора на участке между выбранными сечениями.

 

Величина

                               (2.9)

 

z — геометрический напор или удельная потенциальная энергия положения; p/(rg) — пьезометрический напор или удельная потенциальная энергия давления;

u²/(2g) - скоростной напор или удельная кинетическая энергия;

h_1-2 — потери напора, т.е. часть удельной механической энергии, израсходованной на работу сил трения на участке между сечениями 1 — 1 и 2 — 2 (см. рис. 2.2).

В случае идеальной  жидкости h_1-2 =0.

Для плавно изменяющегося  потока при установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости в поле силы тяжести уравнение Бернулли имеет вид

 

        (2.10)

 

где p₁, p₂ — давления в произвольно взятых точках сечений 1 — 1 и     2 — 2 с координатами z₁ и z₂ соответственно (обычно берутся точки на оси потока);

u ₁ , u₂  — средние скорости в этих сечениях;

а₁ , а₂ — коэффициенты Кориолиса, учитывающие неравномерность распределения скоростей частиц жидкости в сечениях;

при течении  по круглой цилиндрической трубке a = 2 для ламинарного режима течения и a » 1,1 — для турбулентного; при решении практических задач обычно принимается      a = 1.

 

Потери напора h_1-2 , отнесенные к единице длины трубопровода, называются гидравлическим уклоном:

 

                     (2.11)

 

В случае равномерного движения несжимаемой жидкости

 

i = h_l-2 / l,                                        (2.12)

 

где l — расстояние между выбранными сечениями.

 

Вопросы по теме 2.

 

1. Что называется  линией тока?

2. Может ли  жидкость протекать сквозь боковую  поверхность трубки тока?

3. Что называется  живым сечением потока?

4. Чем отличается  уравнение Бернулли для струйки  тока от уравнения Бернулли для потока?

5. Что такое  гидравлический уклон?

6. Как определяется  средняя скорость потока?

7. Какая связь  между объемным, массовым и весовым  расходами?

8. Как изменяются  по длине неравномерного потока  несжимаемой жидкости расход  и средняя скорость?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Режимы движения жидкости и  основы гидродинамического подобия

 

Размерность [а] любой физической величины а выражается через основные единицы измерения в виде степенного одночлена. В частности, в СИ размерность любой механической величины А имеет вид

[A] = L^a M^b T^g ,

где L, M, Т — единицы измерения длины, массы и времени соответственно.

Размерные физические величины

a₁, a₂, ... , a_k                                      (3.1)

называются величинами с независимыми размерностями, если размерность ни одной из них не может быть выражена через размерности остальных k - 1 величин из (3.1) .

В противном  случае, т.е. если выполняется равенство

                            (3.2)

где не все р_i   равны нулю, величины (3.1) будут размерно зависимы.

Если число  основных единиц изменения равно т, то k £ т.

Для описания многих явлений в гидромеханике  достаточно трех основных единиц измерения: длины, массы, времени. В этих случаях число величин с независимыми размерностями не может быть более трех.

П-теорема теории размерностей.

Всякая зависимость  вида

A = ¦ (a₁, a₂, … ,a_k, a_k+1, … ,a_n),

имеющая физический смысл, в которой величины a₁, a₂, ... , a_k   обладают независимыми размерностями, может быть представлена в виде

П = F (П₁, п₂, … , П_{n – k}),                            (3.3)

где величины П, П₁ , П₂, ..., П_n-k — обладают нулевыми размерностями и определяются по формулам

                                      

………………….

                                (3.4)

 

Два явления  подобны, если по заданным характеристикам  одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который  аналогичен переходу от одной системы  единиц измерения к другой системе.

Необходимые и достаточные условия подобия  двух явлений, условно называемых "модель" и "натура", имеют вид

П_1м = П_1н П_2м = П_2н , … , П_{(n – k)м} = П_{(n – k)н},             (3.5)

где П_iм — безразмерные параметры (3.4), рассчитанные для "модели", а П_iн — для "натуры".

Величины П_i называются критериями подобия, а условия (3.5) —условиями подобия.

Основными критериями подобия при установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости являются:

при течении  по трубам число Рейнольдса

Re = ruL/m

при течении в открытых каналах число  Фруда

Fr = u²/(gL)  или                        (3.6)

где r, m — соответственно плотность и вязкость жидкости; u — средняя скорость течения; L — характерный линейный размер; g — ускорение свободного падения.

В случае круглых  труб обычно принимают L равным диаметру трубы.

Если живое  сечение потока имеет некруговую форму, то числа Рейнольдса и Фруда обычно рассчитываются по формулам

 

Re = ru 4R_Г/m, Fr = u²/(gL),                        (3.7)

 

где R_Г — гидравлический радиус.

Если Re < 2320, то режим течения ламинарный. Если Re > 2320, режим турбулентный.

 

Вопросы по теме 3.

 

1 . Что такое  параметры с независимыми размерностями?

2.  Чему  равно максимально возможное  число параметров с независимыми размерностями?

3. В чем  заключаются условия подобия  двух явлений?

4. Какой вид  примет формула (3.3) при n = k?

5. Как вычислить  число Рейнольдса для некруглой трубы?

 

 

 

 

4. Основные законы движения газа

 

Закон сохранения массы при установившемся течении  газа в трубке тока выражается в постоянстве массового расхода Q_M:

 

Q_М = r₁u₁s₁=r₂u₂s₂ = const.                      (4.1)

 

 s₁, s₂ - площади сечений,

u₁, u₂ p₁, p₂ — средние в этих сечениях скорости и плотности соответственно.

Закон изменения  количества движения для установившегося  течения газа в трубке тока при  равномерном распределении параметров по сечению имеет вид

              (4.2)

 

где — главный вектор сил давления, действующих в сечениях 1 и 2 со стороны окружающей жидкости;

— главный вектор сил трения, действующих по поверхности объема газа между сечениями 1 и 2;

  — главный вектор массовых сил, приложенных к тому же объему; — главный вектор реакции твердых тел, с которыми соприкасается выделенный объем.

Закон сохранения полной энергии при установившемся течении газа в трубке тока с равномерным    распределением параметров в сечениях 1 и 2 записывается в виде

 

(4.3)

где z₁, z₂ — вертикальные координаты центров сечений; i₁, i₂ — энтальпии в тех же сечениях; К ^(е) - подведенная  извне  тепловая  мощность; N^(е)) — подведенная механическая мощность. Для совершенного газа при пренебрежении действием силы тяжести уравнение (4.3) имеет вид

         (4.4)

или

       (4.5)

 

Для энергетически  изолированной системы К ^(е)=0, N ^(е)=0, и уравнения (4.4) , (4.5) принимают вид

                            (4.6)

                  (4.7)

 

Обозначим через T₀, р₀, r₀, i₀ параметры торможения, т.е. значения соответственно температуры, давления, плотности и энтальпии в данном поперечном сечении, получаемые при воображаемом изэнтропическом (при отсутствии трения и теплообмена) уменьшении скорости потока до нуля.

Закон сохранения полной энергии для энергетически  изолированного потока совершенного газа, записанный с помощью параметров торможения, имеет вид

                  (4.8)

или

                           (4.9)

 

Для адиабатического  изэнтропического потока газа все параметры торможения остаются постоянными по длине потока. Для адиабатического потока с трением, для которого энтропия вдоль потока меняется, параметры торможения р₀ , r₀ будут различными в разных сечениях, а температура торможения Т₀, энтальпия торможения i₀ и отношение р₀ /r₀  остаются вдоль потока постоянными.

Для энергетически  неизолированного потока при N^(e) = 0 подведенная внешняя теплота, рассчитанная на единицу массы, равная                q = К^(е)/Q_M, определяется из уравнения (4.4):

 

     (4.10)

 

Уравнение закона сохранения энергии в механической форме для элемента струйки сжимаемой  вязкой среды между двумя сечениями, расположенными на бесконечно малом  расстоянии друг от друга, имеет вид

 

                  (4.11)

 

где dh — потеря удельной энергии за счет трения.

Мощность  идеального компрессора и идеальной  турбины (К^(е) = 0) определяется по формуле

                  (4.12)

или

                   (4.13)

 

где индексом "01" обозначены параметры  торможения до машины; индексом "02" - после машины; μ - 1 кмоль газа.

Отклонение  от изэнтропического процесса в машине учитывается обычно при помощи дополнительного множителя, представляющего собой к.п.д. машины η. В случае компрессора получим

L_K = L/h;

в случае турбины

L_T = hL.

Полезная   мощность   компрессора   или   затрачиваемая   мощность турбин