Математический интуиционизм

     Эти утверждения, как подчеркивает автор, тоже не типично интуитивистские, имея в виду философское понимание интуитивизма. Мало кто станет отрицать, что математика в процессе ее становления представляет собой деятельность разума.

     Содержательный  и конструктивный подход представителей интуиционизма к проблеме существования математических объектов имел определенное положительное значение в развитии математики и логики.

     Интуиционистские  ограничения оказались плодотворными  в другом отношении: они стимулировали  поиски новых, прямых доказательств  хорошо известных теорем математики, а также реконструкцию ранее установившихся понятий (например, понятия действительного числа). [1, стр.86]. Новые доказательства всегда желательны, особенно если они выявляют новые связи, и новые способы образования понятий тоже желательны, особенно если они содействуют их выяснению.

     Автор считает, что интуиционистское понимание проблемы существования приносит определенный ущерб развитию математики. Он пишет: «Интуиционистская методология в корне ограничивает свободу математического творчества. Исключая из теории совокупность теорем, рассматривавшихся обыкновенно как «интуитивные», математический интуиционизм сам себя подрывает» [1, стр.85].

     М. Бунге не отрицает познавательной ценности за теоремами существования, даже если они лишь утверждают, что, например, всякое уравнение с любыми числовыми коэффициентами, рациональными, действительными или комплексными имеет корни среди комплексных чисел, но не указывают способы нахождения этих корней. Он пишет, «что теоремы существования, даже если они не дают нам возможности индивидуализировать те объекты, существование которых устанавливают, позволяют делать умозаключения, которые, быть может, приведут в конце концов к эффективному, пусть даже только приблизительному вычислению» [1, стр.64]. В интуиционистском понимании существования он видит опасность снесения «немало полезных и прекрасных сооружений», таких, как теория функций действительного переменного.

     Интуиционистское  понимание существования привело  к мысли об ограниченности применимости закона исключенного третьего только к конечным совокупностям, и отказу от применений метода от противного в  доказательствах существования.

       «Надо отказаться от использования закона исключенного третьего, не отказываясь от самого закона. Он – не самоочевидное и не доказанное утверждение и в качестве методологического вспомогательного средства несовместим с принципом конструктивности или позитивности, так как любое утверждение истинно, только если это конструктивно безопасно; в противном случае оно может оказаться как ложным, так, и временно - или даже принципиально – недоказанным» - пишет М. Бунге [1, стр.69].

     Для интуициониста логика - не формальное исчисление, но методология; «логика  познания», занимающаяся упорядочением  и преобразованием наших умозаключении. А в системе логики, понимаемой таким образом, не уместны утверждения истинные или ложные независимо от процесса придания им достоверности.

     Следует обратить внимание, что интуиционистская логика не отвергает закон исключенного третьего, она показывает со всей строгостью, что «абсурдно, чтобы закон исключенного третьего был абсурдным».

     Интуиционистская  логика принимает не третье значение истины, как часто полагают, но скорей третью категорию утверждений, кроме  истинных и ложных, а именно таких  утверждений, относительно которых  бессмысленно утверждать, что они  истинны или что они ложны. Подобные неопределенные утверждения  могут со временем оказаться либо истинными, либо ложными, либо по существу недоказуемыми при помощи предписанного  комплекса приемов.

     Любая попытка исключить из науки экспериментирование  несовместима с духом научного исследования и с самим представлением о  теориях.

     Научная работа - исследовательская, а обычная  логика предоставляет исследованию большую свободу, чем логика интуиционистская. Необходимо отметить, что предложение  Канта и Брауэра рассматривать  истинность утверждений математики в качестве результата деятельности ума, а не как свойство, которым  они обладают или не обладают, более  приемлемо и ближе к жизни, чем позиция Платона, занимаемая логицистами и многими математиками.

     Существование формально недоказуемых истинных утверждений  не подтверждает ни существования чистой интуиции, ни необходимости принятия логики, основанной на теории познания.

     М. Бунге пишет: «Существование формально недоказуемых истинных утверждений не подтверждает ни существования чистой интуиции, ни необходимости принятия логики, основанной на теории познания» [1, стр.79].

     При рассмотрении проблемы интуиционизма  следует четко, как многократно  подчеркивает и М. Бунге, различать  математический и философский аспекты  этой проблемы, хотя они и тесно  связаны между собой. Математический интуиционизм не является философским  направлением. Вполне правомерно в  определенных пределах признание в  математике понятия интуиции как  непосредственного, логически необоснованного  усмотрения ума. Оставаясь в рамках математики, они имеют право поступать таким образом. Но когда они начинают истолковывать интуицию, отрывая ее от целостного познавательного процесса и противопоставляя ее этому процессу, они действительно, подобно интуитивистам, превращают интуицию в основу абсолютно достоверного и незыблемого знания.

     Современное конструктивное направление в математике, продолжая некоторые идеи интуиционизма, вместе с тем не приемлет его философские  основы. В частности, отрицается попытка  интуиционистов считать единственным источником математики первоначальную «интуицию», а критерием истинности в математике - интуитивную ясность. Представители советской школы конструктивного направления подчеркивают решающее значение практики как источника формирования математических построений и методов умозаключений.

     Тот, кто выполнял какую-нибудь математическую работу, согласится, что движущие силы математики конструктивны, что математик  не берет готовыми платоновские идеи и что аксиоматика почти всегда представляет собой апостериорную  реконструкцию [7, стр. 291-306].

     «С другой стороны, интуиционисты заблуждаются, отыскивая надежность в «чистой интуиции», поскольку не существует ни чистой интуиции, ни совершенной надежности» - отмечает М. Бунге [1, стр.79].

     Практический  математик, если его вообще интересует философия математики, интуитивизму не симпатизирует – потому ли, что тот ищет априорные основы или оправдания, или потому, что он превозносит непонятную «исходную интуицию» в качестве источника математического творчества, или потому, наконец, что он утверждает, будто подобная интуитивная основа – единственная гарантия достоверности. Математический и логический интуиционизм расценивается довольно высоко, несмотря на его своеобразные догмы, потому что он внес вклад в разрушение альтернативных догм, в особенности формалистических и логических. Математические теории начинают не с достоверностей, но с допущений, то есть с утверждений, предполагающих внесение в них поправок или по меньшей мере таких, которые можно переформулировывать и переставлять в интересах последовательности, глубины и плодотворности теории.

     Математическому интуиционизму присуще достоинство всякого нового исповедания, именно – внушение исподволь недоверия прежнему исповеданию. «Еще один повод, – пишет М. Бунге, – для оказания уважения интуиционистам – их отношение к законам логики и проблеме истины, отношение экспериментаторов и исследователей. И это отношение, вместе с оппозицией догматам, казавшимся нерушимыми, не характерное как раз для философского интуитивизма, сближает логический интуиционизм с материализмом, эмпиризмом и прагматизмом». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2. Интуиция ученого

     Проблема  интуиции в книге «интуиция и  наука» рассматривается в неразрывной  связи с важнейшими гносеологическими  и логическими проблемами развития современной науки. Будучи физиком, М. Бунге рассматривает проблемы интуиции главным образом в рамках физико-математических наук, хотя в  отдельных случаях он обращается к биологическим и общественным наукам.

     Гносеологические  проблемы науки, проблемы методологии  и логики исследования волнуют автора как крупного специалиста и исследователя. Широкая философия и специально научная эрудиция М. Бунге, активное участие в разработке отдельных  вопросов физики, дающее возможность  взглянуть на роль интуиции, так  сказатъ, «изнутри» науки, позволили ему глубоко раскрыть многие аспекты роли интуиции в развитии научного познания.

     Рассматривая  роль интуиции в познании, М. Бунге  исходит из понимания научного исследования как сложного диалектического процесса. «В любой научной работе, - пишет он, от выбора и формулирования проблемы до проверки решения и от придумывания ведущих гипотез до дедуктивной их обработки мы обнаруживаем чувственное восприятие вещей, явлений и знаков, образное или наглядное представление их, формирование в различной степени абстрактных понятий, сравнение, ведущее к аналогии, и индуктивное обобщение бок о бок с непридуманной догадкой, дедукцию - как формальную, так и неформальную, приближенный и детальный анализ и, вероятно, много других способов образования, сочетания и отклонения идей» [1, стр.93]. Такое понимание механизма научного исследования дает возможность автору глубоко рассмотреть роль интуиции в науке, поставить новые проблемы перед теорией познания.

     Все свои неосознанные возможности, способность  представления и чувственное  восприятие вещей, помогающие выводить умозаключения, М. Бунге относит  к интуиции, как к «коллекции хлама, куда мы сваливаем все интеллектуальные механизмы, о которых не знаем, как  их проанализировать, или даже как их точно назвать, либо такие, анализ или наименование которых нас не интересует» [1, стр.93-94].

     Рассматривая  интуицию как восприятие, М. Бунге  обращается к понятию чувственная  интуиция, подразумевая под ним «процесс постижения всякого рода физического  объекта» [1, стр.94].

     Автор говорит об ограниченности чувственной  интуиции, отмечая, что она является лишь сырьем для познания через описание и встречается только в деятельности ученого, но не в науке, как результате этой деятельности. М. Бунге пишет: «Научное познание представляет собой не восприятие, а переработку и дальнейшее развитие ощущения» [1, стр.95]. Тем самым, он подчеркивает донаучный характер чувственной  интуиции.

     Помимо  чувственной интуиции М. Бунге говорит  о таких важных способностях, как  ясное понимание значения или  взаимоотношений последовательности знаков, их правильной интерпретации.

     Следует отметить, что отчетливое улавливание  значения совокупности символов будет  зависеть не только от самих символов, но также, и даже в основном, от наших  собственных способностей и подготовки.

     Вопреки бытующему среди семантиков мнению, автор данной книги думает, что способность интерпретации нельзя механизировать или лишать значения, просто-напросто сформулировав все правила обозначения и постулаты интерпретирования, придающие значения соответствующим символам. «Причина этому то, что такие правила и постулаты не исчерпывают значения символов. Помимо того, каждый символ окружен некоторым ореолом » - поясняет М. Бунге [1, стр.99].

     Таким заключением он делает вывод, что  процесс интерпретации, «хотя он и не вполне дедуктивен, можно описывать  как логический, вплоть до использования  в нем логических отношений, существующих между терминами данной части  рассуждения» [1, стр.99].

     Взгляд  М. Бунге на роль интуиции в процессе творческого воображения определяется, во-первых, отрицательным отношением к сведению процесса получения нового знания только к дедуктивному выводу или индуктивным обобщениям. «Одна логика, - утверждает он, - никого не способна привести к новым идеям, как одна грамматика сама никого не способна вдохновить на создание поэмы, а теория гармонии - на создание симфонии» [1, стр.109]. Во-вторых, его взгляд на эту роль определяется признанием рационального характера творческого воображения. «И в науке и в технике новое порождается наблюдением, сравнением, проверкой, критикой и дедукцией» [1, стр.110].

     Обращаясь к роли интуиции в процессе воображения, М.Бунге, прежде всего,  говорит о способности представления или геометрической (пространственной) интуиции, определяя её, как «умение наглядно представить или изобразить отсутствующие объекты, а также создавать изображения, наглядные или действующие модели или схемы абстрактных сущностей» [1, стр.100].

     Данную  интуицию он определяет, как неотъемлемую часть, математических и физических трудов ученых.

     В то же время, М. Бунге подчеркивает, что образное представление или  наглядное воображение полезная подпорка для чистого разума, но не замена ему. Оно подкрепляет рассуждение  психологически, не логически. «Наглядные модели не очень-то полезны,  к примеру, в теории поля и в статистической механике, а упрямое следование за наглядным образом часто препятствует обобщению и улавливанию не поддающихся  визуализации качеств и отношений» - пишет М. Бунге [1, стр.105].