Математический интуиционизм

1. Математический  интуиционизм.

     Одной из центральных проблем книги  М. Бунге [1] является проблема интуиционизма в математике.

     Анализ  интуиционистского направления  в обосновании математики он связывает  с обсуждением коренных философских  и собственных проблем математики.

     Интуиционизм  характерен отказом от понятия актуальной бесконечности, основного понятия классической математики и логики, отвержения логики как науки, предшествующей математике, и рассмотрением интуиции как последнего основания математики.

      В своей книге М. Бунге обстоятельно анализирует все положительные и отрицательные стороны интуиционизма как направления в математике.

     Прежде  всего, он отделяет интуиционизм как направление в обосновании математики от философии интуитивизма.

     М. Бунге рассматривает математический интуиционизм как течение, возникшее  среди математиков «в качестве реакции на преувеличения логицизма и формализма», а также «в качестве попытки спасти математику от катастрофы, которую, по-видимому, предвещало в начале нашего столетия открытие парадоксов в теории множеств» [1, стр.45].

     Математический  интуиционизм, как полагает автор, ближе  к концептуализму, чем к философскому интуитивизму. То, что обычно называют математическим интуиционизмом, не основано на чувственной интуиции.

     Не  все математические величины, отношения  и действия берут начало в чувственной  интуиции. «Усвоено, что они представляют собой понятийные построения и могут  вообще не иметь эмпирических коррелятов. Признается также, что самоочевидность  не пригодна в качестве критерия истинности и что доказательства не могут  ограничиваться одними чертежами, потому что аргументы бывают невидимыми», - пишет М. Бунге [1, стр.44].

     М. Бунге поддерживает интуиционистов в том, что они рассматривают  всю логику в целом как то, что  может быть пересмотрено впоследствии. «Законы логики надлежит считать не непреложными регулирующими принципами, но допускающими внесение в них исправлений гипотезами, которые могут оказаться неприемлемым по отношению к новым классам объектов, таким, как бесконечные множества», - пишет автор [1, стр.50]. Однако он не хочет принимать существование математических утверждений, которые объявляются интуитивными, представляя собой самоочевидные и более достоверные утверждения, чем утверждения логики.

     Наука основывает большую или меньшую  достоверность своих выводов  на законах логики. «Доброкачественные схемы вывода умозаключений - это те, которые и плодотворны в науке, и освящены логикой», - уточняет М. Бунге [1, стр.51].

     В своей книге автор развивает интересные мысли о соотношении развития формальной логики и развития других наук, раскрывая их взаимное влияние.

     Между логикой и другими науками  существуют отношения не односторонней  зависимости, но взаимного и прогрессирующего приспособления.

     «Достоверность логики основывается на высокой ее эффективности в математике и в фактуальных науках, а достоверность математики заключается в соответствии ее законам логики», - говорил М. Боше [2].

     Что касается чистой или априорной природы  математики, М. Бунге определяет её как «продукт человеческого ума» [1, стр.52]. Она независима от опыта, хотя и приложима к нему. Конечно, связь математических понятий с опытом более сложная, чем в эмпирических науках, но тем не менее она существует. Кроме того, математика автономна, то есть не зависит от других наук, и, в частности, автономна по отношению к логике. Но все эти особенности математики, как и другие ее особенности, не делают математику априорной, полностью внеопытной наукой.

     Давид Гильберт, ведущая фигура формалистического лагеря, писал, что математика, точно так же как и любая другая наука, не может строиться на одной логике, но требует допущения существования дологических объектов [3]. Он также рассматривал логику как приложение математики.

     Интуиционизм, таким образом, согласен с формализмом  относительно психологического (и даже логического) приоритета математики перед  логикой. Утверждать, что математическое исследование совершенно независимо от логики, - значит высказывать положение, «относящееся к психологии математики»  [1, стр.53]. Верность этого положения можно принять лишь условно в том смысле, что «математики обычно не отдают себе отчета» об использовании логики [1, стр.53].

     Каждый  математик подтвердит, что он пользуется логическими законами, такими, как  законы тождества, противоречия и исключенного третьего. «Но, конечно, работа его не заключается в чисто логических выкладках, в конце концов кто-то должен видеть проблему, придумывать адекватные посылки, догадываться о подходящих отношениях», - отмечает М.Бунге [1, стр.52].

     Следует принять, что математика прилагается  не к действительности и не к опыту, но к некоторым из теорий, относящихся  к действительности. Другими словами, математика может появляться в качестве формального инструмента в теориях, дающих схематическую картину объектов, предполагаемых реальными.

     Когда речь идет об отношении интуиционизма  к логическим и формальным основам математики, то речь идет не об их отрицании, а об их абсолютизации. Представители интуиционизма утверждают, что математика как наука свободна от логических предпосылок. Отсюда только интуиция может служить единственным источником математики.

     Они не отрицают логику и даже создают, так называемую, интуиционистскую логику, на которой основывается интуиционистская математика. Но, выступая против абсолютизации логических и формальных основ математики, представители интуиционизма, при анализе определенного этапа математического творчества, вообще отрывают интуитивное от логического.

     Рассматривая  роль интуиции в математике, М. Бунге  указывает на наличие противоречий и уязвимых сторон во взглядах интуиционистов на ее роль, которые появились в результате отрыва интуиции от логики и опыта.

     Всё сводится в следующий тезис: «Так как математика не выводится ни из логики ни из опыта, она должна порождаться особой интуицией,  преподносящей нам исходные понятия и выводы математики в непосредственно ясной и незыблемой форме. «Математическое построение должно быть для ума настолько непосредственным, а следствия его настолько ясными, что оно не нуждается в каких бы то ни было основах» [4, п.6]. Поэтому в качестве исходных следует выбирать понятия самые непосредственные, такие, как понятия натурального числа и существования» [1, стр.56].

     Приведенный тезис математического интуиционизма, по мнению автора, определенно интуитивистский. И именно он очень уязвим.

     Интуиционисты не одиноки, когда утверждают, будто  математика зиждется на доматематической интуиции. Тот же Гильберт признавал существование не только сверхлогических объектов, которые даны в восприятии до того, как о них подумали, но и интуитивных и надежных методов, таких, как опознание некоторого символа, впервые появляющегося в последовательности знаков, и даже основной схемы логического вывода умозаключения.

     Надо оговориться, что интуиция Гильберта не мистическая чистая интуиция, независимая от повседневного опыта. Это чувственное восприятие в специфическом применении к восприятию и опознанию знаков на бумаге либо на школьной доске и к представлению в уме геометрических соответствий аналитическим объектам.

     И когда Гильберт провозглашает «Вначале есть знак» » [3] и заявляет о своем доверии к чувственным операциям (усмотрению и написанию) с физическими знаками (символами), дающим нам возможность получить доказательство теоремы, он проявляет ту же тенденцию к фундаментальности и непогрешимости, которая породила философский интуитивизм и математический интуиционизм.

     Какой-нибудь метаученый отрицал бы существование  фундаментальных в абсолютном смысле математических объектов. Он решительно отказал бы в признании существованию понятий, по природе своей самоочевидных или ясных. Ему было бы известно, что самоочевидность – психологическое отношение, а не логическое свойство, и, кроме того, он отметил бы, что степень самоочевидности в значительной мере зависит от опыта или подготовки каждого субъекта.

     Автор возражает против крайностей интуиционизма  относительно доказательств существования. Сведение доказательств существования  только к эффективному построению сковывает  возможности математики.

       «Эффективное построение - единственный допустимый метод доказательства теорем существования, так как позволяет нам «видеть», к чему оно в целом относится. С другой стороны, доказательство того, что предположение, противоположное принятому, приводит к противоречию, указывает только на возможность существования или истинности, не подтверждая их. Следовательно, все утверждения, в которых бесконечные классы рассматриваются в качестве совокупностей, должны быть исключены из математики» [1, стр.60].

     В таком виде М. Бунге формулирует «конструктивистское» правило интуиционистской математики.

     Интуиционист  не считает существование числа  доказанным просто потому, что установлена  последовательность операций, необходимая  для его вычисления. Ему нужна  действительность, а не простая возможность.

     Интуиционист  прав, когда настаивает, что доказательство существования меньше говорит, то есть доставляет меньше информации, чем  эффективное построение, действительно  показывающее объект, существование  которого доказано. Теорема существования, не дающая возможности точно определить то, что она объявляет существующим, напоминает, по словам Вейля, документ, подробно описывающий сокровище, не упоминая, где оно находится [5, п.50-51].

     «С другой стороны, оправдана высокая оценка этого документа неинтуиционистом», - подчеркивает М. Бунге [1, стр.64]. Не от всех утверждений требуется максимальная содержательность. А теоремы существования, даже если они не дают нам возможности индивидуализировать те объекты, существование которых устанавливают, позволяют делать умозаключения, которые, быть может, приведут в конце концов к эффективному, путь даже только приблизительному, вычислению.

     Требование конструктивности нельзя охарактеризовать как интуитивистское с философской точки зрения. Гейтинг называет требование конструктивности «принципом позитивности» и излагает его в следующей форме: «Всякое математическое или логическое утверждение (приемлемое для интуиционизма) выражает результат построения» [6, п.223].

     Верно, что Кант смотрел на математику как  на рациональное знание, выведенное из «построения понятий». Для Канта  «построить понятие - значит дать соответствующую  ему априорную интуицию», что, если окажется возможным, будет психологической  операцией, тогда как для интуиционизма  это построение может быть полностью  логическим, вплоть до того, что может  заключаться в дедукции противоречия. Совсем другое дело первичные начала всех понятий математики, которые  и по Канту, и по Брауэру одинаково  должны быть интуитивными. В отличие  от Канта интуиционист требует, чтобы  интуитивными были только основные идеи.

     Правило конструктивности равносильно семантическому тезису: «Значение какого-нибудь, выражения - это последовательность операций, дающих возможность его построить или проверить», - тезису, который защищал Вейль и Витгенштейн.

     Вейль писал: «Всякий раз, когда доказывается возможность построения, мы не получаем содержательного утверждения только на основании действительного построения, доказательства, доведенного до конца, теорема существования (такая, как «существует некоторое четкое число») приобретает значение» [5, п.51].

     Интуиционизм  привлек внимание к проблеме существования  математических объектов, которые некритически толковалась рядом математиков. Отождествление существования математических объектов с существованием физических объектов приводило к возрождению  пифагореизма, платонизма во взглядах на существование математических объектов, к его чисто спекулятивному рассмотрению, что, конечно, не могло удовлетворить  математику.

     Как реакция на такое рассмотрение возникло формалистское истолкование проблемы существования математических объектов,  которое сводит эти объекты к  символам, знакам, начерченным на бумаге. Интуиционисты исходят из содержательного  характера понятий математики. Но содержание этих понятий сводится к мысленным конструкциям на основе исходных интуиций.

     «Математические символы не лишены смысла – они указывают на математические объекты, а последние, в свою очередь, обозначают объекты мысленные (понятия и суждения), каким-то образом отражающие явления. Другими словами, математические объекты далеки от того, чтобы существовать самостоятельно (как утверждают логицисты), и образуют «области конструктивных возможностей», а законы математики суть априорные законы природы,» - пишет М. Бунге [1, стр.55].