Методика введения новых понятий в курс математики V – VI классов

Другой пример использования этого метода. Для  введения понятия пропорции можно  использовать следующий материал, приведенный  в учебнике Виленкина Н.Я. за 6 класс:

Слово "пропорция" (от лат.) означает "соразмерность", "определенное соотношение частей между собой".

Учение об отношении  и пропорции особенно успешно  развивалось 

в IV в до н.э. в  Древней Греции, славившейся произведениями искусства, архитектуры, развитыми  ремеслами. С пропорцией связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке. Теория отношения и пропорции была подробно изложена в "Началах" Евклида, там в частности, приводится и доказывается основные свойства пропорции.

С глубокой древности люди пользовались различными рычагами. Весло, лом, весы, ножницы, качели, тачка и т.д. – примеры рычагов. Выигрыш, который дает рычаг в прилагаемом усилии, определяется пропорцией L и l – "плечи" рычага.

Пропорциональность  в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растений, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Анализируя данный текст можно заметить, что использование  его при введении совершенно нового понятия позволит не только понять школьникам суть понятия, но и показать области применения данного понятия на практике и подготовить учащихся к решению задач, связанных с пропорциями.

§4 Методы введения определений

Одним из существенных моментов обучения математике по новой программе является усилением внимания к сознательному пониманию учащимися изучаемого материала. Значительную роль здесь играют вводимые в курсе определения понятий. В зависимости от того, как дается определение, меняется понимание учащимися материала.

В курсе математики V – VI классов учащиеся сталкиваются с предложениями (обычно учитель  все предложения называет определениями), но четкого отличия одних предложений  от других (закон, теорема, определение, свойство) не дается. Хотя, во многих случаях, для понимания логики материала и места каждого конкретного предложения среди остальных, необходимо чтобы учитель обращал внимание учащихся на их отличия.

Среди определений  изучаемых в V – VI классах некоторые  авторы выделяют следующие несколько видов:

1. Часто встречаются,  так называемые, генетические определения.  Например, определение равных углов  данное Виленкиным Н.Я. в учебнике  для 5 класса: "Если один угол  можно наложить на другой так,  что они совпадут, то эти углы равны". В учебнике Нурака Э.Р. и Тельгмаа А.Э. приводится подобное определение: "Два угла называются равными, если их можно наложить один на другой так, чтобы они совпали". Эти определения указывают на процесс получения кого-то объекта.

2. Определения-соглашения широко распространены в курсах алгебры и арифметики. Например, определение произведения двух дробей, данное в "Учебнике-собеседнике": "Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель равен произведению знаменателей". Кроме того, такие определения часто даются в виде привил, как, например, в учебнике за 6 класс Виленкина Н.Я.: "Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.

Этот вид определений  наиболее трудно воспринимается, т.к. они  не подготавливаются предварительно, а именно благодаря ним вводится принципиально новое понятие. Обычно, такие определения требуют обоснования.

3. Определения  "через род и видовые отличия". Например, определение биссектрисы  угла: "Биссектрисой угла называется  луч, который выходит из вершины  угла и делит его пополам". Этот вид является наиболее  распространенным и для учащихся V – VI классов и вводится проще остальных.

Чтобы определить понятие (дать его определение), выполняется  логическая операция, при помощи которой  раскрывается содержание вводимого  понятия. "Содержание понятия –  это совокупность существенных признаков, отраженных в данном понятии. Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов этого же рода

Рассмотрим метод  введения понятий имеющих определение  вида "через род и видовые отличия". На примере биссектрисы угла, сформулируем ее определение. В учебнике математики для V класса даны три примера: первый пример – луч делит угол на две конгруэнтные части; второй пример – луч не делит угол пополам; третий пример – луч делит угол пополам, но начало луча не совпадает с вершиной угла. На этих примерах показываются все свойства, которые должны определять вводимое понятие.

Рассмотрим введение определений-соглашений на примере  определения суммы двух отрицательных чисел. Для начала нужно ответить на вопросы:

1. Что представляет  собой сумма натуральных чисел?

2. Каким законом  подчиняется действие сложения  натураль-

ных чисел?

3. Какое число  получается при сложении десятичных  дробей?

и другие подобные вопросы, подводящие к новому понятию. На основе такой работы возможно дальнейшее введение этого определения и его пояснения на координатной прямой.

Если формируется  генетическое определение, необходимо показать конструкцию определения, заключающуюся в последовательном соблюдении этапов процесса, приводящих к определенному понятию.

§5 Роль самостоятельной  работы учащихся по изучению новых  понятий

Изложение любого теоретического вопроса курса математики опирается на ранее пройденный материал, известных учащимся фактах, правилах, выводах, которые являются частью новой информации. Это позволяет начать урок не с объяснения учителя, а с самостоятельной работы. Упражнения должны быть составлены так, чтобы в процессе их выполнения школьники:

а) повторили  определения, правила, математические факты, знания, которые являются составной частью нового правила;

б) выполнили  ранее изученные вычисления и  преобразования, которые являются составной  частью нового правила;

в) предугадали  существование неизвестного для  них алгоритма, формулы, правила, понятия.

Во время работы учитель делает обобщения, вводит новое  понятие или правило. Использование  самостоятельной работы учащихся при  введении нового материала может  сочетаться со всеми выше перечисленными методами введения новых понятий. Особенно удачно использование компьютерных программ (смотрите ниже) содержащих задания и демонстрационные модели для введения новых понятий, когда методика преподавания включает самостоятельную работу учащихся.

Как пример, рассмотрим изучение пункта "Сравнение дробных чисел" (за основу возьмем учебник "Учебник-Собеседник"):

Изучение начинается с самостоятельной работы. Учитель  раздает учащимся задания:

1) Начертите  отрезок АВ. Отметьте  и  отрезка  АВ. Какая дробь больше? Запишите  это с помощью знака ">".

2) В первый  день скосили сено с  участка,  за два дня – с  участка.  Какая из этих дробей меньше? Ответ запишите с помощью знака  "<".

Во время выполнения задания формируется правило  сравнения дробей. Из двух дробей с  одинаковым знаменателем меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.

Методику проведения работ, в которой теоретический  материал изучается самими учащимися  можно подразделить на два вида:

а) работы, начинающиеся с объяснительного текста, т.е. небольшого по объему фрагменту теоретического характера;

б) работы, которые  начинаются с системы упражнений, содержащих новую информацию.

Рассмотрим подробнее  пункт а). Объяснительный текст самостоятельной  работы раскрывает новые для учащихся понятия, правило, математический факт и заканчивается разъяснительными примерами. Выполнение упражнений, следующих за теоретическим текстом, должно способствовать сознательному изучению теории. Поэтому в каждой работе есть разнообразные по своему характеру упражнения. Разберем для примера работу "Сложение десятичных дробей", которая проводится в V классе.

Вариант 1 (по учебнику Виленкина Н.Я. за 5 класс).

Найдем сумму  дробей: 4,38 + 5,07. Запишем эти дроби  со знаменателем и выполним сложение:

Этот результат  можно получить проще, если записать одно слагаемое под другим так, чтобы запятая оказалась под запятой. Тогда натуральные числа будут записаны под натуральными, десятые доли под десятые, сотые – под сотыми и т.д.

А теперь будем  складывать десятичные дроби так  же, как складывали натуральные числа, т.е. поразрядно:

Вариант 2 (подготовленный на основе учебника Нурка Э.Р. и 

Тельгмаа А.Э. за 5 класс).

Найдем сумму  чисел 5,68 и 4,96. Напишите слагаемые одно под другим так, чтобы единицы  были подписаны под единицами, десятые  доли – под десятыми, сотые – под сотыми. Начнем сложение с долей низшего порядка (с сотых долей): 8 сотых плюс 6 сотых равняется 14 сотых, т.е. 1 десятая и 4 сотых. Четыре сотых в запишем под чертой в столбце, где записаны сотые доли, а 1 десятую запоминаем. Теперь сложим 6 десятых и 9 десятых. Получим 15 десятых. Прибавим к этому числу 1 десятую, которую запоминали, получим 16 десятых, или 1 целую и 6 десятых. Цифру 6 записываем под десятыми, а 1 запоминаем. Теперь сложим натуральные числа: 5+4=9, 9+1=10. Запишем результат. Мы видим, что сложение десятичных дробей выполняется так же, как и сложение натуральных чисел, поразрядно.

Упражнение для  самостоятельного изучения подбираются  таким образом, чтобы по мере выполнения заданий они переходили от общих  случаев к частным, таким образом, показывая учащимся схожесть и различия разных случаев.

Рассмотрим подробнее  пункт б). В работе отсутствует  объяснительный текст, она начинается системой упражнений. Упражнения подбираются  так, чтобы в процессе их выполнения учащиеся подмечали новое правило, свойство, усматривали необходимость введения нового понятия.

"Сложение  и вычитание дробных чисел".

Если ученик не может приступить к выполнению задания, то учитель дает дополнительные разъяснения.

Метод самостоятельного изучения учащимися новых понятий во многом помогает изучению и новых жизненных ситуаций. В сочетании с другими приведенными в главе методами он позволяет углубить понимание нового материала и повысить познавательную активность учащихся не только к отдельной теме, но и к изучению самого предмета математики.

§6 Анализ учебников  по математике, используемых в V - VI классах

В данной работе мы рассматривали все приведенные  выше методы на примерах, взятых и построенных  на основе 4-х учебников математики (Виленкин Н.Я., Чесноков А.С. и др. Учебник для 5 кл. средней школы; Виленкин Н.Я., Чесноков А.С. и др. Математика. Учебн. для 6 кл. средней школы; Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика: Учебник для 5 кл. средней школы; Шеврин Л.Н, Гейн А.Г. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5 кл. средней школы).

При проведении сравнительного анализа этих учебников  можно выделить различия в методах  введения новых понятий. Это объясняется  различиями в структуре учебников, последовательности изложения материала, а также определяется личным восприятием авторов излагаемых тем.

Например, рассмотрим введение понятия о сравнении  дробей с равными знаменателями. В учебнике Виленкина Н.Я. эта  тема объясняется при помощи объяснительно-иллюстративного  метода на примерах разбора задач  по теме. Совершенно иной подход был выбран в учебнике Нурка Э.Р. Это понятие преподносится как тема для самостоятельного изучения. Учащимся предлагается выполнить ряд заданий приводящих их к рассматриваемому понятию, а в заключении делаются выводы, которые должны были сделать школьники при правильном выполнении заданий.

Таким образом  мы видим, что одно и то же понятие  можно ввести совершенно различными способами.

Кроме того, можно  отметить, что в рассматриваемых  учебниках по-разному вводятся некоторые  определения. Так, например, определение произведения двух дробей, данное в "Учебнике-собеседнике": "Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель равен произведению знаменателей" отличается от определения данного в учебнике Виленкина Н.Я.: "Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем, а второе знаменателем. Это также повлияло на содержание учебного текста в учебниках, так как понятие разъясняется на основе данного определения. Если использовать определение Шеврина Л.Н., то нужно разъяснять на примерах как получается дробь произведения. При использовании определения Виленкина Н.Я., сформулированного как правило, нужно разъяснить, что получается в результате выполнения указанных действий.