Метод золотого сечения

Своего  рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения  золотого сечения); через него уже  выражаются другие действительные числа.

В такой  системе счисления любое натуральное  число всегда представимо в виде конечной – а не бесконечной, как  думали ранее! – суммы степеней любой  из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.

 

 

7. Принципы формообразования в природе

 

Все, что  приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в  пространстве и сохранить себя. Это  стремление находит осуществление  в основном в двух вариантах –  рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина  закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая  раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом  сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Рис. 12. Спираль  Архимеда

 

Форма спирально  завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение  спирали. Спираль, вычерченная по этому  уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее  время спираль Архимеда широко применяется  в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы  к спиральности. Винтообразное и  спиралевидное расположение листьев  на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков  пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что  в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд  Фибоначчи, а стало быть, проявляет  себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается  ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой  жизни».

Среди придорожных  трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся  к нему внимательно. От основного  стебля образовался отросток. Тут  же расположился первый листок.

Рис. 13. Цикорий

 

Отросток  делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей  силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый  – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В  росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались  в пропорции золотого сечения.

 

 

Рис. 14. Ящерица  живородящая 

 

 

В ящерице  с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции  – длина ее хвоста так относится  к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается  формообразующая тенденция природы  – симметрия относительно направления  роста и движения. Здесь золотое  сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению  роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В  частях проявляется повторение строения целого.

 

 

Рис. 15. Яйцо птицы

 

Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный  обиход термин морфология.

Пьер  Кюри в начале нашего столетия сформулировал  ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию  какого-либо тела, не учитывая симметрию  окружающей среды.

Закономерности  «золотой» симметрии проявляются  в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических  системах, в генных структурах живых  организмов. Эти закономерности, как  указано выше, есть в строении отдельных  органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах  и функционировании головного мозга  и зрительного восприятия.

 

 

8. Золотое сечение и симметрия

 

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с  симметрией. Великий русский кристаллограф  Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение  одним из проявлений симметрии.

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии  Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная  симметрия. В науку о симметрии  вошли такие понятия, как статическая  и динамическая симметрия. Статическая  симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая  симметрия представлена строением  кристаллов, а в искусстве характеризует  покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны  равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно  выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.  Методы одномерной оптимизации

 

 

Правила, по которым ведется поиск  экстремума функции, называются стратегиями. Поскольку в рамках одной и  той же задачи можно применять  различные стратегии поиска, естественно  попытаться найти ту из них, которая  является наилучшей в смысле уменьшения объема необходимы вычислений, поэтому  наряду с главным требованием  – найти точку экстремума –  возникает дополнительно (но не менее  важное) требование выбора стратегии  поиска, обладающее нужными свойствами.

Существует два вида стратегий: пассивные, в которых еще до начала эксперимента назначены все  , и активные, в которых выбор очередных значений зависит от результатов предшествующих экспериментов (имеет место накопление и активное использование информации о свойствах целевой функции). Всякая стратегия, предусматривающая последовательно (пошаговое) проведение опытов и оценку возникающих ситуаций, представляется более прогрессивной, так как позволяет экономить средства и время, с расходованием которых неизбежно связана постановка эксперимента. Именно это характерно для активных стратегий, рассматриваемых в данном разделе.

Простейшей и наиболее трудоемкой активной стратегией является метод  общего поиска, согласно которому интервал делят на несколько равных частей с последующим вычислением значений целевой функции в узлах полученной сетки. Ясно, что эффективность метода при уменьшении интервала неопределенности быстро падает.

В методе дихотомии (половинного деления) выбираются два эксперимента и размещаются на исходном интервале неопределенности  наилучшим образом (симметрично относительно середины отрезка на расстояниях от нее). В результате сравнения полученных величин и становится возможным указать новый интервал неопределенности.  Применяя к новому интервалу вышеописанную процедуру, процесс продолжают до тех пор, пока длина требуемого интервала не будет меньше заданной величины . Метод прост, однако требуемых вычислений функции можно проводить меньшее количество раз.

К методам, в которых при ограничениях на количество вычислений значений достигается в определенном смысле наилучшая точность, относятся метод Фибоначчи и метод золотого сечения.

 

1. Метод золотого сечения.

 

 

В методе золотого сечения на каждой итерации вычисляется только одно значение целевой функции.   

Сущность этого метода состоит  в следующем. Интервал неопределенности делится на две равные части так, что отношение длины большого отрезка к длине всего интервала  равно отношению длины меньшего отрезка к длине большего отрезка. На рисунке 1.1 точки отстоят от граничных  точек интервала на расстоянии t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При таком симметричном расположении точек длина остающегося после  исключения интервала всегда равна t независимо от того, какие из значений функции в пробных точках оказались меньшим. Предположим, что  исключается правый подынтервал. На рис 1.2 показано, что оставшийся подынтервал длины t  содержит одну пробную точку, расположенную на расстоянии (1-t) от левой граничной точки.

 

 

 

 

 

 

Отношение длин отрезков определяется правилом золотого сечения:

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая это  квадратное уравнение, получаем

откуда положительное решение t=0.61803…. Таким образом, деление интервала неопределенности в этом отношении позволяют уменьшить его в раза. Начиная с , приходят в конце концов к интервалу неопределенности:

 

Алгоритм  поиска с помощью данного метода выглядит следующим образом.

         Шаг 1. Положить x0=a, x3=b.

         Шаг 2. Положить x1=x0+t1∙(x3-x0). Вычислить значение φ(x1).

         Шаг 3. Положить x2=x0+t2·(x3-x0). Вычислить значение φ (x2).

        Шаг 4. Сравнить φ(x2) и φ(x1). Если φ(x1)> φ(x2), исключить интервал (x0, x1), положив x0=x1. Перейти к шагу 5. Если φ(x1)< φ (x2), исключить интервал (x2, x3), положив x3=x2. Перейти к шагу 5.

         Шаг 5. Сравнить длину интервала с заданной точностью : . Если неравенство выполняется, то перейти к шагу 4. В противном случае закончить поиск и искомая точка .

 

Блок-схема  алгоритма нахождения экстремума методом  золотого сечения:

 

 

 

3. Практическая реализация метода золотого сечения

 

3.1. Характеристика объекта автоматизации

 

Объектами автоматизации  являются учебные заведения, оснащенные компьютеризированной аудиторией. Автоматизация  учебного процесса для решения задач  по предмету – численные методы.

Темпы научно – технического прогресса, усиление роли науки в значительной степени  определяются качеством и номенклатурой  средств вычислительной техники  и их программным обеспечением. Именно развитие этих средств обеспечивает успехи в автоматизации производственных процессов, в разработке новых технологий, в повышении эффективности труда  и управления, в совершенствовании  системы образования и в ускорении  подготовки кадров. Использования компьютера в процессе обучения математики позволяет  реализовать возможности новейших педагогических технологий личностно-ориентированного обучения. Благодаря математическому  программированию появилась возможность  расширить учебный план благодаря  быстрому и качественному решению  математических задач на компьютере.

Решая проблему использования компьютера в процессе обучения математики, следует исходить не столько из функциональных возможностей компьютера и желания использовать его в учебном процессе, сколько  из методической системы обучения математики, анализ которой должен показать, какие  учебные задачи могут быть решены только средствами компьютера, ибо  другие дидактические средства менее  эффективны или вообще не применимы.

Обучение  с использование компьютерной техники  носит диалоговый характер, при котором  учитель в любой момент может  внести коррективы. На занятиях хорошо сочетаются индивидуальная и групповая  форма работы. Ученики находятся  в состоянии комфорта при работе на компьютере.

Компьютер может  быть использован на самых различных  этапах обучения математики, и это  применение основано, прежде всего, на его графических возможностях. Использование  информационно-обучающей программы  «Уроки алгебры и геометрии» Кирилла  и Мефодия позволяют моделировать и наглядно демонстрировать содержание изучаемых тем. Табличный процессор  Excel и математический пакет Mathcad являются удобным инструментом для решения различных математических задач.

Неоценим  компьютер и при комплексном  тестировании. Можно использовать любые  обучающие программы или контролирующие упражнения. Всегда необходимо тщательно  подбирать соответствующие упражнения, так как они должны соответствовать  целям тестирования. Применение тестирующих  программ позволяет учителю получить объективную информацию о владении учащимися определенным набором  знаний, умений и навыков для продолжения  образования, а также об уровне этих знаний.

Таким образом, применение новых технологий в образовании  должно рассматриваться как стратегическое, управленческое решение, ориентированное  на формирование и развитие новой  образовательной системы, направленной на повышение качества образования, повышать мотивацию обучения, способствовать углублению межпредметных связей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Разработка  программы

 

 

Определить координаты точки экстремума функции вида:

 

а) x⁴-14x³+60x²-70x

б) –e^-xln(x)

в) 2x²-e^x

 

Начальный интервал [0;2].

Относительная погрешность e=10^-5.

 

 

Описание  метода золотого сечения

 

Пусть дана некоторая функция f(x) и начальный отрезок (a,b).

Рассмотрим  алгоритм метода золотого сечения: