Метод золотого сечения

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

 

Рис. 7. Динамические прямоугольники

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом  делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона  присутствуют золотые пропорции. При  его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы  и скульпторы античного мира. В  Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

 

Рис. 8. Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое  деление впервые упоминается  в «Началах» Евклида. Во 2-й книге  «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида  исследованием золотого деления  занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились  по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты  золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они  были известны только посвященным.

В эпоху  Возрождения усиливается интерес  к золотому делению среди ученых и художников в связи с его  применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в  архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских  художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал  писать книгу по геометрии, но в это  время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил  свою затею. По мнению современников  и историков науки, Лука Пачоли был  настоящим светилом, величайшим математиком  Италии в период между Фибоначчи  и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых  называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука  Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает  в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга  Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди  многих достоинств золотой пропорции  монах Лука Пачоли не преминул назвать  и ее «божественную суть» как  выражение божественного триединства  бог сын, бог отец и бог дух  святой (подразумевалось, что малый  отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).

Леонардо  да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными  пятиугольниками, и каждый раз получал  прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое  сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к  первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы  тот, кто что-либо умеет, обучил этому  других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя  по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций  человеческого тела. Важное место  в своей системе соотношений  Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых  пропорциях линией пояса, а также  линией, проведенной через кончики  средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль  Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое  сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер  называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, –  писал он, – что два младших  члена этой нескончаемой пропорции  в сумме дают третий член, а любые  два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция  сохраняется до бесконечности».

Построение  ряда отрезков золотой пропорции  можно производить как в сторону  увеличения (возрастающий ряд), так  и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Если  на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем  шкалу отрезков золотой пропорции  восходящего и нисходящего рядов

 

Рис. 9. Построение шкалы отрезков золотой пропорции

В последующие  века правило золотой пропорции  превратилось в академический канон  и, когда со временем в искусстве  началась борьба с академической  рутиной, в пылу борьбы «вместе с  водой выплеснули и ребенка». Вновь  «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь  золотого сечения профессор Цейзинг  опубликовал свой труд «Эстетические  исследования». С Цейзингом произошло  именно то, что и должно было неминуемо  произойти с исследователем, который  рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной  для всех явлений природы и  искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о  пропорциях «математической эстетикой».

Рис. 10. Золотые  пропорции в частях тела человека

Рис. 11. Золотые  пропорции в фигуре человека

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил  около двух тысяч человеческих тел  и пришел к выводу, что золотое  сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа –  важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции  женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении  других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев  и т.д.

Справедливость  своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие  вазы, архитектурные сооружения различных  эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что  они составляют ряд Фибоначчи, который  можно продолжать до бесконечности  в одну и в другую сторону. Следующая  его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический  закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая  книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся  под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании  не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о  применении золотого сечения в произведениях  искусства и архитектуры. С развитием  дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и  т.д.

 

5. Ряд Фибоначчи

 

С историей золотого сечения косвенным образом  связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его  математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время  задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной  пары родится». Размышляя на эту  тему, Фибоначчи выстроил такой ряд  цифр:

Месяцы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	и т.д.
Пары кроликов	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	и т.д.

 

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность  последовательности чисел состоит  в том, что каждый ее член, начиная  с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и  т.д., а отношение смежных чисел  ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это  отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 –  дает непрерывное деление отрезка  прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так  относится к большему, как больший  ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно  взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая  система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

 

 

6. Обобщенное золотое сечение

 

Ряд Фибоначчи  мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в  животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому  ряду как арифметическому выражению  закона золотого деления.

Ученые  продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел  Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения  ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи  и обобщенных золотых сечений.

Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с  самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущх  чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой  получаются и «двоичный» ряд, и ряд  Фибоначчи? А может быть, эта формула  даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными  свойствами?

Действительно, зададимся числовым параметром S, который  может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен  сумме двух членов предыдущего и  отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим  через φS (n), то получим общую формулу  φS (n) = φS (n – 1) + φS (n – S – 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим  «двоичный» ряд, при S = 1 – ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые  получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем  виде золотая S-пропорция есть положительный  корень уравнения золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0.

Нетрудно  показать, что при S = 0 получается деление  отрезка пополам, а при S = 1 –знакомое  классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают  в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми  инвариантами S-чисел Фибоначчи.

Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений  в природе, приводит белорусский  ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными  свойствами (устойчивы в термическом  отношении, тверды, износостойки, устойчивы  к окислению и т. п) только в  том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это  позволило автору выдвинуть гипотезe о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное  значение для развития синергетики  – новой области науки, изучающей  процессы в самоорганизующихся системах.

С помощью  кодов золотой S-пропорции можно  выразить любое действительное число  в виде суммы степеней золотых S-пропорций  с целыми коэффициентами.

Принципиальное  отличие такого способа кодирования  чисел заключается в том, что  основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы  счисления с иррациональными  основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся  иерархию отношений между числами  рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты»  числа натуральные; затем их отношения  – числа рациональные. И лишь позже – после открытия пифагорийцами  несоизмеримых отрезков – на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных  системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные  числа – 10, 5, 2, – из которых уже  по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также  рациональные и иррациональные числа.