Метод золотого сечения

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

 

 

 

 

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

 

Кафедра программирования и вычислительной математики

 

Направление: информатика

Курс V

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

метод Золотого сечения

 

 

Научный руководитель:

____________________________

 

 

Дата представления_________________

Дата защиты_______________________

Оценка____________________________

 

 

 

 

Уфа 2012

 

Содержание

 

 

				стр.
Введение				3
1	Понятие о Золотом сечении			6
	1.1.	Золотое сечение – гармоническая  пропорция		6
	1.2.	Второе золотое сечение		8
	1.3.	Золотой треугольник		9
	1.4.	История золотого сечения		11
	1.5.	Ряд Фибоначчи		17
	1.6.	Обобщенное золотое сечение		18
	1.7.	Принципы формообразования в природе		20
	1.8.	Золотое сечение и симметрия		24
2.	Методы одномерной оптимизации			25
	2.1	Метод золотого сечения		26
3.	Практическая реализация метода золотого сечения			30
	3.1.		Характеристика объекта автоматизации	30
	3.2.		Разработка программы	32
	3.3.		Обоснование выбора языка программирования	37
Заключение				39
Список использованных источников				41
Приложения				42

 

 

Введение

 

Несмотря на то, что безусловная  оптимизация функции одной переменной наиболее простой тип оптимизационных  задач, она занимает центральное  место в теории оптимизации как  с теоретической, так и с практической точек зрения. Это связано с  тем, что задачи однопараметрической  оптимизации достаточно часто встречаются  в инженерной практике и, кроме того, находят свое применение при реализации более сложных итеративных процедур многопараметрической оптимизации.

На первый взгляд кажется, что задача минимизации функции одного переменного  является довольно элементарной. В  самом деле, если функция  (целевая функция), которую нужно минимизировать на отрезке , дифференцируема, то достаточно найти нули производной, присоединить к ним концы отрезка, выделить из этих точек локальные минимумы и, наконец, среди последних найти ту точку, в которой достигается абсолютный минимум.

Однако для широкого класса функций  эта задача не так уж проста. Во-первых, задача решения уравнения  может оказаться весьма сложной. С другой стороны, в практических задачах часто не известно, является ли дифференцируемой функцией.

В силу этого существенное значение приобретают методы минимизации, не требующие вычисления производной.

Задачу одномерной оптимизации  можно поставить следующим образом. Значения искомого параметра x должны быть заключены в интервале . Назовем этот интервал интервалом неопределенности. В начале процесса оптимизации этот интервал имеет длину . Вычисляя последовательно значения функции в крайних точках,  интервал сужают. Таким образом, большинство детерминированных методов состоит в построении последовательность отрезков , стягивающихся к точке . Однако всегда можно указать такую непрерывную функцию , что для любого конечного номера отрезок , построенный любым методом, не будет содержать точку , даже если известен отрезок , которому принадлежит . В связи с этим гарантировать принадлежность точки отрезку можно лишь для определенных классов минимизируемых функций. Обычно ограничиваются классов строго унимодальных функций.

Непрерывную функцию  называют строго унимодальной, если существует единственная точка ее минимума и

для любых  ,

 для любых  .

Таким образом, с возрастанием x функция слева от точки минимума монотонно убывает, а справа от этой точки монотонно возрастает.

Длина интервала неопределенности при известном экспериментов, дающего номер , и самих , выбранных их тех или иных соображений, то есть ( ).

Чтобы определить рациональную стратегию (или ее начальную фазу) заранее, не приступая к экспериментам, достаточно рассмотреть следующие условия: если выбраны и тем самым задан ряд интервалов , то какой-то из них имеет наибольшую (по сравнению с остальными) длину . Приняв в качестве в качестве характеристики выбранной совокупности , можно быть уверенным в том, что реальный результат поиска при этих , оцениваемый величиной , будет лучше (или по крайней мере не хуже) . Очевидно, , заданная как , является функцией только (принятая ориентация на худший случай дает гарантию от непредвиденных осложнений, которые могут возникнуть в ходе проведения экспериментов). Если теперь рассмотреть множество стратегий с показателями , то лучшей из них следует признать ту, которой соответствует наименьшая величина (преимущество  такого выбора в том, что, во-первых, сохраняется гарантия получить реальную длину интервала неопределенности, не превышающую , и во-вторых, эта гарантированная длина минимальна). Обозначив рассматриваемый минимум как , получим

Величина  определяет единственную стратегию, называемую минимаксной. Всякое отклонение от нее приведет лишь к опасности ухудшения результат будущего поиска. Большое преимущество использования критерия заключается в возможности априорного выбора оптимального поиска экстремума.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Понятие о Золотом сечении

 

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован  жизненной необходимостью, а может  быть вызван красотой формы. Форма, в  основе построения которой лежат  сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному  восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к  целому. Принцип золотого сечения  – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

 

 

2.1. Золотое сечение – гармоническая пропорция

 

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство  двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две  части следующими способами:

на две  равные части – АВ : АС = АВ : ВС;

на две  неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или  деление отрезка в крайнем  и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так  относится к большей части, как  сама большая часть относится  к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится  к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или  с : b = b : а.

 

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое  знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в  золотой пропорции с помощью  циркуля и линейки.

 

Рис. 2. Деление  отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки  В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка  С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается  отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит  отрезок АВ в соотношении золотой  пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной  иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для  практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок  АВ принять за 100 частей, то большая  часть отрезка равна 62, а меньшая  – 38 частям.

Свойства  золотого сечения описываются уравнением:

x2 – x –  1 = 0.

 

Решение этого уравнения:

Свойства  золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол  таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

 

 

2.2. Второе золотое сечение

 

Болгарский  журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал  статью Цветана Цекова-Карандаша  «О втором золотом сечении», которое  вытекает из основного сечения и  дает другое отношение  44 : 56.

Такая пропорция  обнаружена в архитектуре, а также  имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального  формата.

 

Рис. 3. Построение второго золотого сечения

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции  золотого сечения. Из точки С восставляется  перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится  точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится  пополам. Из точки С проводится линия  до пересечения с линией AD. Точка  Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

Рис. 4. Деление  прямоугольника линией второго золотого сечения

 

На рисунке  показано положение линии второго  золотого сечения. Она находится  посередине между линией золотого сечения  и средней линией прямоугольника.

 

 

3. Золотой треугольник

 

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего  и нисходящего рядов можно  пользоваться пентаграммой.

 

 

Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и  пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить  правильный пятиугольник. Способ его  построения разработал немецкий живописец  и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка  на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу  ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь  циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в  окружность правильного пятиугольника  равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек  для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через  один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника  делят друг друга на отрезки, связанные  между собой золотой пропорцией.

Каждый  конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его  стороны образуют угол 36° при  вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции  золотого сечения.

 

 

Рис. 6. Построение золотого треугольника

Проводим  прямую АВ. От точки А откладываем  на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку  Р проводим перпендикуляр к линии  АВ, на перпендикуляре вправо и влево  от точки Р откладываем отрезки  О. Полученные точки d и d1 соединяем  прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем  на линию Ad1, получая точку С. Она  разделила линию Ad1 в пропорции  золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

 

 

4. История золотого сечения

 

Принято считать, что понятие о золотом  делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ  и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян  и вавилонян. И действительно, пропорции  пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов  быта и украшений из гробницы Тутанхамона  свидетельствуют, что египетские мастера  пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский  архитектор Ле Корбюзье нашел, что в  рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур  соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные  инструменты, в которых зафиксированы  пропорции золотого деления.