Вклад нобелевского лауреата Джона Нэша в развитие теории игр

Федеральное государственное образовательное  бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

 

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ  ПРАВИТЕЛЬСТВЕ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

Кафедра

«Математическое моделирование экономических процессов»

 

 

 

 

 

 

 

Теоретико-практическая работа

 

по  дисциплине «Теория игр»

на  тему: «Вклад нобелевского лауреата Джона Нэша в развитие теории игр»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

студентка группы ФК 2-2

Королева  Е.В.

 

Научный руководитель:

проф. Лабскер  Л.Г.

 

 

 

 

 

Москва 2012

 

 

План.

 

Введение..............................................................................................................................3

1.Теоретическая часть......................................................................................................4

1.1. Развитие теории игр  в годы жизни Дж. Нэша

1.2. Биография Джона Нэша............................................................................................5

1.3 Равновесие по Нэшу.....................................................................................................7

2.Практическая часть.......................................................................................................8

2.1. Математическая задача

2.2. Экономическая задача........................................................................................9

Заключение.......................................................................................................................12

Список литературы.........................................................................................................13 

Введение.

 

Теория  игр относится к современному разделу теории принятия решений  и имеет разнообразные приложения в политических, социально-экономических,  экологических и организационных  процессах.  Предмет ее изучения  - это конфликтные ситуации,  где  сталкиваются интересы участников. Если мыслить масштабно, то все аспекты  человеческой деятельности в той  или иной степени затрагивают  интересы разных сторон и поэтому  относятся к области теории игр.

С одной  стороны теория игр — это математическая дисциплина, которая применяется  во многих областях человеческой деятельности (экономика, военное дело, биология и др.). С другой стороны теория игр — это раздел современной  экономической теории, что подтверждается большим количеством Нобелевских  премий в области экономики, присужденных самым выдающимся представителям данной науки. И именно как строго математизированный раздел экономической теории и рассматривается  теория игр в данном вводном курсе.

Применительно к экономике, теория игр изучает  функционирование экономических систем в условиях «несовершенного рынка». Игровые модели олигополий и аукционов  являются примерами успешного применения игрового подхода в экономике.

В наши дни методы теории игр в реальных процедурах управления широко не используются.  Это происходит из-за отсутствия теоретико-игровой  подготовки у специалистов по управлению,  а так же по той причине, что  классические игровые модели слишком  абстрактны и с трудом адаптируются к реальным процессам управления и принятия решений.

В данной работе особое внимание уделено работе нобелевского лауреата Джона Нэша и  его вкладу в развитие теории игр. В связи с чем, главной целью  работы является определение важности вклада ученого в данную науку.

 

 

 

 

1.Теоретическая часть

1.1. Развитие теории игр в годы  жизни Дж. Нэша

 

        В качестве раздела математики теория игр возникла сравнительно недавно, хотя ещё в восемнадцатом веке предлагались стратегии или оптимальные решения в математическом моделировании: А. Курно и Ж. Бертран рассматривали задачи производства в условиях олигополии, позже ставшие примерами теории игр. А уже в начале двадцатого века Э. Ларкеном, Э.Цермелом и Э.Борелем была выдвинута идея теории конфликтов интересов.

Математическая теория игр взяла  начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты  и приложения этой теории были изложены Джоном фон Нейманом и Оскаром  Моргенштерном в книге «Теория  игр и экономическое поведение» в 1944 году.

В 1949 году Джордж Нэш написал диссертацию  о теории игр. Спустя 45 лет он получил  Нобелевскую премию в области  экономики. В своих трудах профессор  представил принцип «управленческой  динамики». Нэш генерирует методы анализа, благодаря которым все игроки либо выигрывают, либо проигрывают. Данный метод получил название «равновесие  по Нэшу»¹. В этой ситуации соперники используют стратегию, которая и приводит к основанию устойчивого равновесия.

Большой вклад в применения теории игр стала работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». Шеллинг рассматривал различные «стратегии» поведения  участников конфликта. Эти стратегии  совпадают с тактиками управления конфликтами и принципами анализа  конфликтов в конфликтологии, а точнее в управлении конфликтами в организации.

Во время Перестройки в СССР основатель Московского Методологического  Кружка Г. П. Щедровицкий провел множество  игр с советскими управленцами. По психологическому накалу ОДИ (организационно-деятельностные игры) были так сильны, что служили мощным катализатором изменений в СССР.

Математическая теория игр сейчас бурно развивается, рассматриваются  динамические игры. Однако, математический аппарат теории игр слишком затратен. Его применяют для оправданных  задач: политика, экономика монополий  и распределения рыночной власти и т. п. Например, с помощью теории игр делегация США моделировала поведение участников торговых переговоров  с СССР, а потом с Россией. Результатом  этих переговоров стали договоры крайне выгодные американцам и невыгодные России. Великолепный пример с играми мы видели в 2007-2008 годах в Украине  при формировании и развале в  Верховной Раде Украины коалиций.

Пока ещё культурологические и  бизнес-игры не интерпретируются с  помощью математической теории игр, но это дело ближайшего будущего.

 

1.2. Биография Джона Нэша

 

Математик и нобелевский лауреат Джон Форбс  Нэш младший родился 14 июня 1928 года в Блуфилде, Западная Вирджиния. Его  отец был электротехником, мать –  преподавателем английского языка. Будучи подростком, Джон проводил много  времени за книгами и проводил различные эксперименты в своей  комнате, которая вскоре стала лабораторией. В возрасте 14 лет Джон Нэш без  посторонней помощи доказал малую  теорему Ферма.

С июня 1945 по июнь 1948 Джон Нэш учился в Политехническом  институте Карнеги в Питсбурге, намереваясь стать инженером, как  его отец. Вместо этого Джон глубоко  “влюбился” в математику и особенно был заинтересован такими темам, как теория чисел, Диофантовы уравнения  квантовой механики и теории относительности.

В институте  Карнеги, Нэш заинтересовался “проблемой переговоров”, которую Джон фон  Нейман оставил нерешенной в своей  книге “Теория игр и экономическое  поведение” (1928).

После Питсбурга Джон Нэш младший отправился в Принстонский университет, где  он работал над теорией равновесия. Он получил степень доктора философии  в 1950 году, защитив диссертацию по некооперативным играм. Диссертация содержала определение и свойства того, что позже будет называться “Равновесие по Нэшу”, и что 44 года спустя, она принесет ему Нобелевскую премию. Его исследования по этому вопросу привели к трем статьям, первая, под названием "Точки равновесия в играх с N-числом участников", опубликованная в Трудах Национальной академии наук (1950), а остальные в “Эконометрике” о задаче переговоров (1950) и "Некооперативные игры с двумя участниками” (1953).

Летом 1950 Джон Нэш работал в корпорации "РЭНД" в Санта-Монике, Калифорния, куда возвращался на более короткие периоды в 1952 и 1954 годах. В 1950-1951 Нэш  преподавал курсы исчисления в Принстоне, учился и сумел “откосить” военной  службы. За это время он доказал  теорему Нэша о регулярных вложениях, которая являться одной из важнейших  в дифференциальной геометрии о  многообразиях. В 1951-1952 Джон стал научным  ассистентом в Массачусетском технологическом  институте в Кембридже, штат Массачусетс.

С 1958 года в жизни Джона Нэша началась черная полоса: впервые проявились признаки психического заболевания. Он стал параноидальным и был принят в больницу Маклин, где ему был поставлен диагноз  “параноидная шизофрения”. После проблематичного  пребывания в Париже и Женеве, Нэш  вернулся в Принстон в 1960 году. Он скитался по психиатрическим больницам до 1970 года и проводил исследования в  Университете Брандейс с 1965 по 1967.  В  период с 1966 по 1996 год Джон Нэш не опубликовал ни одной научной  работы. В 1978 году он был удостоен премии Джона фон Неймана за “Анализ  равновесия в теории некооперативных  игр”.

Психологическое состояние Джона Нэша медленно но постепенно улучшалось. Его интерес  к математическим проблемам постепенно возвращался, а с ним и способность  к логическому мышлению. Кроме  того, он увлекся программированием. 1990-ые годы его гений вернулся. В 1994 году Джон Нэш получил Нобелевскую  премию по экономике в результате его работы по теории игр в Принстоне, которую он поделил с Реинхардом Селтеном и Джоном Харсаньи

В период с 1945 по 1996 Нэш опубликовал 23 научные  работы, а также автобиографию "Les Prix Nobel" (1994).

1.3 Равновесие по Нэшу

Равновесие  Нэша — так в теории игр называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша.

Концепция равновесия Нэша впервые использована не Нэшем; Антуан Огюст Курно показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно. Соответственно, некоторые авторы называют его равновесием Нэша-Курно. Однако Нэш первым показал в своей диссертации по некооперативным играм в 1950-м году, что подобные равновесия должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1947).

Формальное  определение.

Допустим,   — игра n лиц в нормальной форме, где  — набор чистых стратегий, а  — набор выигрышей. Когда каждый игрок   выбирает стратегию   в профиле стратегий  , игрок   получает выигрыш  . Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком  , но и от чужих стратегий. Профиль стратегий   является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии не выгодно ни одному игроку, то есть для любого 

Игра  может иметь равновесие Нэша в  чистых стратегиях или в смешанных. Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

 

 

 

 

 

 

2.Практическая часть

Для понимания смысла функционирования равновесия по Нэшу, рассмотрим решение  приведённых ниже задач: математической и экономической.

2.1. Математическая задача

Необходимо найти нижнюю, верхнюю  и чистую цену игры, а также привести оптимальную стратегию игроков  в данной задаче:

Для определения нижней цены игры (α) нужно найти минимальный элемент  в каждой строке и записать их в  отдельный столбец. После этого  необходимо найти максимальный элемент, в том столбце, который мы только что создали. Этот элемент и будет  нижней ценой игры.

Для определения верхней цены игры необходимо найти максимальный элемент  в каждом столбце и записать его  в отдельную строку. После этого, необходимо найти минимальный элемент  в строке, которую мы только что  создали. Это и будет верхняя  цена игры.

После определения верхней и  нижней цены игры, находим чистую цену игры. Для этого сравниваем верхнюю  и нижнюю (в нашем примере они  совпадают), а значит α = β = 4.43. Это  и есть «чистая» или минимаксная  стратегия. То есть для игрока А оптимальной  стратегией будет А3, найденная выше. Для игрока В оптимальной стратегией будет В2, найденная выше. При пересечении  этих элементов мы видим значение, которое называется седловым. Оно  совпадает с чистой ценой игры v.

Таким образом мы получаем ответ  α = β = v = 4.43; Оптимальными значениями являются А3 и В2.

2.2. Экономическая задача

На рынке товаров есть 2 фирмы: Петрова и Сидорова. Они имеют  возможность отказаться от всяких попыток  нарушить установившееся равновесие, сохраняя нормальные цены. Но они могут  также попытаться поднять свои цены, чтобы получить монопольную прибыль. Для начала обратим внимание на то, что максимум общей прибыли достигается  в ячейке А.

При таком исходе магазины будут  зарабатывать в совокупности 300 руб. Поведение фирм, назначивших высокие  цены (ячейка А), не будет отличаться от действий монополии. Но фирмы могут  избрать и противоположную линию  поведения, назначив нормальные цены. Фирмы будут зарабатывать по 10 руб., и этот исход будет в большой  степени напоминать результат деятельности конкурентного рынка.

Промежуточное положение между  рассмотренными стратегиями занимают еще два возможных образа поведения. К примеру, ячейка А представляет случай, когда «Петров» назначает  высокую цену, а «Сидоров» решил  «подставить ему ножку», придерживаясь  прежней цены. «Сидоров» остается в большом выигрыше, заняв лидирующее положение на рынке, в то время  как «Петров» терпит убытки. В ячейке В «Сидоров» отважился на высокую  цену, однако более спокойное поведение  «Петрова» обходится ему явными потерями.