Автор: Пользователь скрыл имя, 01 Декабря 2011 в 19:07, лекция
I. События и их вероятности.
I.1. Пространство элементарных событий.
(Пространство исходов случайного эксперимента)
Опр.: Возможные исходы случайного эксперимента - w. Совокупность всех исходов случайного эксперимента называется пространством элементарных событий и обознача-ется
P (АВС)=P (А) + P (В) + P (С) – P (А + В) – P (В + С) – P (А + С) + P (А + В + С)
Наконец,
выражение вероятности
Предварительно введем понятия о независимых и зависимых событиях.
Опр.: Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет.
Опр.: Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.
Примеры: 1) Опыт состоит в бросании двух монет:
А – появление герба на первой монете.
В – появление герба на второй монете.
В данном случае событие A не зависит от В.
В урне два белых и один черный шар. Два человека вынимают из урны по одному шару. Рассматривается событие:
А – появление белого шара у первого.
В – появление белого шара у второго.
Вероятность события A до того, как что-то стало известно относительно B, равна 2/3. Если известно, что B произошло, то P(А) = 1/2.
Событие A зависит от B.
Опр.: Вероятность события A, вычисляется при условии, что имело место другое событие B, называется условной вероятностью события A и обозначается:
P (А|В) или РВ (А).
В последнем примере P (А) = 2/3, P (А|В) = 1/2.
Условие независимости A от B можно записать
P (А/В) = P (А),
А условие зависимости P (А|В) ¹ P (А).
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
Проведем доказательство для классической схемы.
Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям.
Событию A – благоприятны m случаев. Событию B – k случаев.
Так как мы не предполагали несовместность A и B, то существует l случаев благоприятных A, B. Тогда . Найдем РА (В).
Если известно, что A произошло, то из возможных n случаев остаются возможными m, благоприятны A. Из них l случаев благоприятны B
Тогда: .
Теорема доказана.
Следствие 1. Если событие A не зависит от B, то и B не зависит от A.
Доказательство:
А не зависит от B Þ P (А) = P (А|В), (P (А) ¹ 0).
Надо показать P (В) = P (В|А),
Используем теорему умножения: P (АВ) = Р(А) . Р(В/А)
Р(АВ) = Р(В) . Р(А/В)
Þ P(А) Р(А|В) = Р(В) . Р(А|В) или
Р(А) Р(В|А) = Р(В) . Р(А) | : P(А)
Р(В/А) = Р(В).
Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий.
Опр.: Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.
Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий .
Опр.: Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:
В случае независимых событий теорема имеет вид:
то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Опр.: Полной группой независимых гипотез называется набор попарно несовместных событий, образующих полную группу:
Докажем, что в этом случае
Это формула полной вероятности.
Доказательство:
Так как ,…, образуют полную группу, то А может появиться только в комбинации с какой-либо гипотезой:
Так как ,…, - несовместны, то и А ,… , А – несовместны, тогда:
Применяя к событию A теорему умножения, получим
То есть:
Пример.
Имеем три урны. В первой два белых
и один черный шар, во второй – три белых
и один черный шар, в третьей – два белых
и два черных шара. Найти вероятность того,
что шар, вынутый из наудачу выбранной
урны – белый.
- выбор первой урны.
- выбор второй урны.
- выбор третьей урны.
P( ) = P( ) = P( ) = 1/3
Условия вероятности А при этих гипотезах равны:
,
Тогда, применяя формулу полной вероятности, получим:
.
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса или т.н. формула гипотез.
Рассмотрим задачу:
Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2,…, Нn. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны P(Н1),…, P(Нn). Произведен опыт, в результате которого произошло событие A. Спрашивается, как следует изменить вероятность гипотез в связи с появлением этого события?
Речь идет о нахождении условной вероятности P( | ):
Из теоремы умножения имеем:
i=1…n.
Следовательно ;
Или используя формулу полной вероятности:
Это формула Байеса
(теорема гипотез). Она позволяет
переоценить вероятности
Пример. Производится наблюдение за некоторым объектом с помощью двух наблюдательных станций. Объект может находиться в двух состояниях S1 и S2, случайно переходя из одного в другое. Установлено, что около 30% времени объект находится в состоянии S1 и около 70% - в S2. Первая станция передает ошибочные сведения в 2% случаев, а вторая - в 98%. В какой-то момент времени первая станция сообщила, что объект находится в состоянии S1, а вторая, что в S2. Какому сообщению верить?
Решение.
H1 – объект находится в состоянии S1;
H2 – объект находится в состоянии S2;
А: {I сообщила, что объект в S1, II – в S2}.
Вероятность состояния до опыта: , , (первая станция сообщила верное сообщение, а вторая нет).
Тогда, применяя формулу Байеса, имеем: , ;
Таким образом, более правдоподобно сообщение первой станции.
В практике часто встречаются задачи, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно. В результате каждого опыта событие A может произойти или нет, причем нас интересует не результат отдельного опыта, а общее число появлений A в результате серии опытов.
Рассмотрение таких задач проводится в зависимости от того, будут ли опыты являться зависимыми или независимыми событиями.
Естественно, случай независимых опытов проще. Он и будет здесь рассмотрен.
Независимые опыты
могут проводиться в одинаковых
или разных условиях, при этом вероятность
события A в каждом опыте будет одинаковой
или разной. Схема Бернулли описывает
случай, когда вероятность A во всех опытах
одинакова.
Пример 1. Производится 3 выстрела по мишени, вероятность попадания в которую при любом выстреле равна p. Найти вероятность того, что в этих трех выстрелах мы получили 2 попадания.
Решение.
Обозначим через B событие, состоящее в том, что по мишени попали 2 раза из трех. Это возможно тремя способами:
Следовательно , где - попадание при i-м выстреле;
- промах при i-м выстреле. Так как при любом i , а , то , или, если обозначить : .
Решим теперь общую задачу.
При некоторых условиях вероятность появления события A в каждом испытании равна р. Найти вероятность того, что серия из n независимых испытаний даст m появлений и (n-m) непоявлений события A.
Событие, вероятность которого надо найти, распадается на ряд разновидностей, в зависимости от того в каких именно m опытах произошло A. Для получения одной разновидности мы должны произвольным образом выбрать из данной серии какие-либо m испытаний и допустить, что именно при них произошло A, а при остальных (n–m) – не произошло. Таким образом, каждая определенная разновидность требует наступления n определенных результатов, в том числе m появлений и (n–m) непоявлений A. По теореме умножения мы получаем, что вероятность такой разновидности равна . Число различных разновидностей равно числу различных групп по m испытаний в каждой, которые можно составить из n опытов то есть . Применяя теорему сложения вероятностей, имеем:
- формула Бернулли.
При
больших значениях n и m вычисление
по этой формуле затруднительно, поэтому
используют некоторые приближенные формулы.
Пример 2. В результате наблюдений, продолжавшихся многие годы, найдено, что на 1000 новорожденных в среднем приходится 515 мальчиков и 485 девочек. В семье 6 детей. Найти вероятность того, что девочек не больше двух.
Решение.
Не больше двух: 0, 1, 2.
0: (все мальчики)