I. События и их вероятности.

I.1. Пространство элементарных  событий.

   (Пространство  исходов случайного эксперимента)

   Опр.: Возможные исходы случайного эксперимента - w. Совокупность всех исходов случайного эксперимента называется пространством элементарных событий и обозначается

   Пример 1. Бросание монеты.

1. однократное Г или Р,
2. двукратное
3. n-кратное , e_i = Г V Р
4. монета бросается до выпадения Г

   

   2. Бросается игральная кость.

1. однократное бросание
2. n-кратное,  e_i=1,6

   

   3. Стрельба по мишени.

     
 
 

           

   4. Броуновское движение.

   w - траектория, W - все траектории. 

   Опр.: Событием называется любое подмножество пространства элементарных событий: А Ì W Þ A – событие. Если wÎA, то говорят, что исход эксперимента w благоприятствует событию A. Если wÏA, то – не благоприятствует.

   Пример 1. Пусть событие A={оба раза выпадает одна сторона}: тогда A={ГГ, РР}.

   Опр.: Если A = W, то A называет достоверным, т.к. оно происходит при любом исходе эксперимента.

   Если  , то A называют невозможным, т.к. оно не происходит не при каком исходе эксперимента.

   Если  , то говорят, что из события A вытекает событие В.

   Если  - сумма событий A и B (А + В).

   Если  – произведение событий A и B.

   Если  , то события A и B называют несовместными.

   Если  имеется A, то определим - событие, противоположное А.

   А и  - несовместные (" w или из A, или из ).

I.2. Определения вероятностей.

I.2.1. Определение вероятности в не более чем счетном случае.

   Пусть W конечное или счетное, тогда можно записать . Поставим в соответствие каждому элементарному событию w_n число:

   P_n - вероятность элементарного события w_n.

   Если  А Ì W, то вероятность события А – Р(А). 

      0£Р(А)£1

   Пример 1. Классическая модель.

   Пространство  элементарных исходов содержит n равновероятных исходов:

     

а) однократное бросание монеты  

     в) n-кратное бросание монеты  

   

   А_k – гербы выпадают k раз:

   Пример 2. Неклассическая модель – пространство элементарных событий счетное.

   Монета  бросается до первого выпадения  герба.

   

   

   

   Пример 3. Два игрока I, II бросают по очереди монету до первого выпадения герба. У кого больше шансов выиграть?

   Событие A – выигрывает I.

   Событие B – выигрывает II.

     

   

   Свойства  вероятности в  конечном или счетном  случае.

   

I.2.2. Определение вероятности в неформальной теории вероятности.

   W - пространство элементарных событий; .

Проведем  эксперимент n раз и подсчитаем, сколько раз при этом произошло событий А.

   Тогда число  , называют частотой появления событий A в n опытах.

   Свойства  частоты:

   0£g_n(А)£1;

   g_n(Æ)=0;

   g_n(W)=1.

   Опр.: Вероятность события A (P(A)) понимается как предельное значение частоты g_n(А), при :

   

   В классической системе  вероятность равна частоте.

I.2.3. Геометрическое определение вероятности.

1)  
 

   На  отрезок бросается наугад точка  , Р(W)=1. В соответствии с классическим определением вероятности, вероятности всех w должны быть одинаковыми. Следовательно, p(w)=0.

   Возьмем отрезок  Очевидно, что .

   Возьмем произвольный отрезок 

2) Рассмотрим область в R²: W Ì R². 

   А – подмножество W.

   Тогда  
 

     

3. WÎRⁿ: W- измеримое множество, а – его подмножество: .

   Свойства: 

   

   Задача  о встрече. Два человека условились встретиться в промежуток времени . Пришедший первым ждет не более, чем t: t £ Т. Какова вероятность встречи?

   Решение.

    Пространство элементарных событий , где x – время приходаI, y – время II, событие A – встреча произошла: . Тогда:   

    Вероятность события A:

   

   Пусть Т = 1 час. Если t = 15 минут, то  

I.3.Основные  теоремы теории вероятности.

   Основных  теорем теории вероятности две: теорема  сложения вероятностей и теорема  умножения вероятностей.

   Предварительно  введем некоторые основные понятия.

I.3.1.Теорема  сложения вероятностей.

   Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:   P(А + В) = Р(А) + Р(В).

   Доказательство  Теоремы проиллюстрируем для  следующей схемы: пусть возможные  исходы  опыта сводятся к совокупности случаев, которые мы изобразим в виде точек:

   

   Предположим, что из этих случаев m благоприятны событию. A и k – событию B. Тогда:

   

 

   Так как событие A и B несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны A и B вместе. Следовательно, событию A+B благоприятны m+k случаев и

   С другой стороны  . Итак P(А) + P(В) = P(А + В).

   Обобщим теорему сложения на случай трех событий.

Обозначая события A+B буквой D и присоединяя к сумме еще одно событие C, легко доказать, что P(А+В+С) = P(D+C) = P(D) + P(C) = P(А+В) + P(С) = P(А) + P(В) + P(С).

   Очевидно, методом математической индукции можно  обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Тогда  справедлива формула:

     или   

   Следствие 1. Если события А₁, … , А_n образуют полную группу несовместимых событий, то сумма их вероятностей равна 1:

     

   Доказательство:

   Т.к. А₁, …, А_n образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие.

   

   Т.к. А₁, … , А_n – несовместимы, то к ним применима теорема сложения вероятностей

   

   Отсюда 

   Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

   Это следствие является частным случаем  следствия 1. Оно выделено особо ввиду  его большой важности в практическом применении в теории вероятностей. На практике иногда легче найти а после вычислить P(А), как .

   Теорема о сложении вероятностей справедлива  лишь для несовместных событий. В  случае, когда события A и B совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой:

   P (А + В) = P (А) + Р (В) – Р (АВ)

   Справедливость  этой формулы наглядно иллюстрируется при помощи диаграммы Эйлера:

     

     
 
 
 

   Аналогично, для трех событий сумма выражается по формуле:

   Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С)- Р(АВ) - Р(ВС) - Р(АС) + Р(АВС) 
 
 
 

     

     
 
 
 
 
 
 

   Методом полной индукции можно доказать общую формулу для вероятности суммы любого числа совместных событий:

   

   где суммы распространяются на различные  значения индексов i; i; j; I, j, k.

   Аналогичную формулу можно записать для произведения событий. Действительно:

   P (АВ) = P (А) + P (В) – P (А + В).

   Из  формулы для суммы трех событий  можно получить: