Критерий Гермейера

Федеральное государственное  образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ»

Кафедра «Математическое  моделирование экономических процессов»

 

 

Теоретико-практическое задание

по учебной дисциплине

«Теория игр»

 

 

на тему:

«Критерий Гермейера»

 

 

 

 

 

Выполнила:

студентка группы ФК 2-2

Научный руководитель:

 

 

 

 

МОСКВА

2012

 

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

В ряде случаев деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. Игра с природой представляет собой модель теории принятия решений в условиях частичной неопределенности.   Оптимальную стратегию статистика можно определить, используя ряд критериев. Критерии Вальда, Сэвиджа, Лапласа, Гурвица, Гермейера, Ходжа-Лемана  уже давно и прочно вошли в теорию игр.

Российскому ученому  Ю.Гермейера удалось создать критерий, учитывающий вероятностный фактор принятия решений.

Критерий Гермейера широко применяется в современных исследованиях по экономике. В процессе развития теории игр подходы, предложенные Ю.Гермейером, совершенствовались. Они получили развитие   в трудах отечественных ученых. Таким образом, применение критерия Гермейера   в процессе принятия решений в условиях неопределенности является актуальной задачей, что и определило тему работы.

Цель работы – проанализировать существующие подходы к применению критерия Гермейера.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1.Рассмотреть сущность  игр с природой;

2.Описать классический  критерий Гермейера оптимальности чистых; 

3.Привести примеры  задач, которые решаются на  основе классического критерия Гермейера и его комбинации с  обобщенным критерием Гурвица.

 

1.СУЩНОСТЬ ИГР С ПРИРОДОЙ

На практике же количество экономических решений, принимаемых в похожих условиях, жестко ограничено. Нередко практическая ситуация является уникальной, и решение должно приниматься однократно и в условиях неопределенности. Она заключалась в том, что ни один из игроков не обладал информацией о действиях противника. Но эта неопределенность в антагонистических играх в некоторой степени компенсируется предположением о том, что игроки действуют осознанно, выбирая стратегии, наиболее выгодные для себя и наименее выгодные для противника.

«Однако во многих задачах принятия решений существенно важным элементом является неопределенность другого вида. Эта неопределенность не связана с сознательным целенаправленным противодействием противника и заключается в том, что лицо, принимающее решение, недостаточно информировано об объективных внешних условиях, в которых будет приниматься решение. Неопределенность такого вида может порождаться различными причинами: нестабильностью экономической ситуации, рыночной конъюнктурой, курсами валют, уровнем инфляции, налоговой политикой, изменяющимся покупательским спросом и т. д» [7,C.45].

То есть в задачах  подобного рода выбор решения  зависит от состояний объективной  действительности, называемой в модели «природой», а математические модели подобных конфликтных ситуаций называются «игрой с природой».

Таким образом, в игре с природой осознанно действует  только один игрок, а именно, лицо, принимающее  решение. «Природа» является вторым игроком, но не противником первого  игрока, так как она осознанно  против первого игрока не действует, принимая то или иное свое состояние неопределенным образом, конкретных целей в игре не преследует и безразлична к результату игры. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную реальность, которую не следует понимать буквально, хотя иногда это действительно характеризует состояние природы.

Для решения игр с  природой используется критерии Вальда, Сэвиджа, Лапласа, Гурвица, Гермейера, Ходжа-Лемана, критерия произведений и их модификации.  Значение этих критериев для принятия решений приведено в  книге   [6].

Одним из авторов критерия решения игры с природой является Юрий Борисович Гермейер. Ниже приведена его биография.

2.БИОГРАФИЯ АВТОРА КРИТЕРИЯ

Гермейер Юрий Борисович, род. 18 июня 1918 г., в городе Аткарск  Саратовской обл. в семье военного врача и медсестры.

Его отец — Борис Александрович  — умер в том же году от тифа. Мать, Елена Васильевна (урожд. Тихомирова-Покровская), в тяжелейших условиях гражданской  войны и послевоенной разрухи  вырастила и воспитала детей.

«После смерти матери в 1933 году Юрий переехал в Москву к старшей сестре и продолжил образование в 1-й опытно-показательной школе имени А. М. Горького. В это время выявились его математические способности. Он был членом школьного математического кружка при Математическом институте Академии Наук, весной 1935 г. стал лауреатом первой Всесоюзной математической олимпиады. Окончив среднюю школу (1935 год), Ю. Б. Гермейер поступил на механико-математический факультет МГУ. Специализировался по кафедре теории функций и функционального анализа под научным руководством Д. Е. Меньшова» [8].

После окончания механико-математического  факультета МГУ в июле 1941 г. Ю. Б. Гермейер был направлен инженером-расчетчиком на завод № 490 наркомата авиационной промышленности в г. Сталинград.

В 1942 году он вернулся в Москву, где продолжал работать инженером-расчетчиком на заводе № 482 НКАП.

В 1943–1946 годах Ю. Б. Гермейер -аспирант механико-математического факультета МГУ (научный руководительД. Е. Меньшов). В 1947 году защитил кандидатскую диссертацию на тему «Производные Римана и Валле-Пуссена и их применения к некоторым вопросам из теории тригонометрических рядов».

В 1963 году защитил докторскую диссертацию, которая содержала методику оценки эффективности авиационных систем в сочетании с решением некоторых оптимизационных задач и задач теории случайных процессов.

С 1966 г. Ю. Б. Гермейер работал в ВЦ АН СССР: заведующий сектором (1966–1974 годы), заведующий созданной им лаборатории исследования операций (1974–1975 годы).

«Работал по совместительству в Московском университете на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета с 1966 г., с 1968 г. - в должности профессора. С 1970 г., когда был создан факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ, - профессор, основатель и первый заведующий кафедрой исследования операций (1970–1975 годы).

Награжден орденами Трудового Красного Знамени (1957 год), «Знак Почета» (1975 год), медалями «За доблестный труд в Великой  Отечественной войне» (1946 год), «В память 800-летия Москвы» (1948 год), «За доблестный труд. В ознаменование 100-летия со дня рождения Ленина» (1970 год)» [8].

В научных исследованиях Ю. Б. Гермейера гармонично сочетались фундаментальные и прикладные аспекты. Он изучал свойства обобщенных производных и связь их с суммируемостью тригонометрических рядов. Полученные результаты послужили отправной точкой многих исследований по этим вопросам, особенно по свойствам симметрической производной второго порядка.

Занимался проблемами эффективности  авиационных торпед. Провел фундаментальные научные исследования по разработке универсального метода оценки эффективности воздушной стрельбы. Существенно продвинул прикладные вопросы оценки схем вооружения боевых самолетов, эффективности и надежности образцов и систем авиационной техники.

Ю. Б. Гермейер сделал важный шаг в теории надежности, перейдя от чисто вероятностных постановок задач к максиминным. Предложил возмещать недостаток сведений о законах распределения использованием «принципа гарантированного результата». Получил первые результаты по аихудшим законам распределения, по-новому осветившие роль стандартных законов теории надежности. Ю. Б. Гермейером существенно развита теория игр с непротивоположными интересами. Им был выделен практически важный класс игр с иерархической структурой, характерной для большинства экономических систем. Разработана и обоснована «стратегия наказания». Было дано решение некоторых игр с неточно известными интересами партнеров и игр с запрещенными ситуациями. Совместно с Н. Н. Моисеевым он заложил основы теории иерархических систем. Установил неустойчивость классических решений в кооперативных играх, дал обобщение понятия ситуаций равновесия.

Ю. Б. Гермейер является одним из основателей отечественной школы исследования операций.

В Московском университете он читал курсы «Математические и методологические основы исследования операций» (1966–1973 годы), «Теория игр с непротивоположными интересами» (1972–1974 годы).

Автор более 100 научных работ.

3.СУЩНОСТЬ КРИТЕРИЯ ГЕРМЕЙЕРА

 

 Сущность критерия рассмотрена в источнике [5].

Пусть известны вероятности q_i=p(П_j)  состояний природы П_j, 

Таким образом А находится в ситуации принятия решений в условиях риска

 

 Показатель эффективности стратегии А_i по критерию Гермейера определяем по формуле

Если игрок А придерживается стратегии А_i, то вероятность выигрыша a_ij при этой стратегии и при состоянии природы П_j равна, очевидно, вероятности q_j этого состояния природы.  Поэтому формула показывает, что показатель эффективности стратегии А_i по критерию Гермейера есть минимальный выигрыш при этой стратегии с учетом его вероятности.

Цена игры по критерию Гермейера определяется по формуле 

Оптимальной стратегией по критерию Гермейера считается  стратегия А_k с наибольшим показателем эффективности.

Критерий Гермейера  можно интерпретировать как критерий Вальда, применимый к игре с матрицей

(1)

Критерий Гермейера  так же, как и критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма игрока А, но, в отличие от критерия Вальда, игрок А, принимая решение с максимальной осмотрительностью, учитывает вероятности состояний природы.

В случае равномерного распределения  вероятностей состояний природы  показатель эффективности стратегии А_i, будет равен G_i=n^-1a_ij и , следовательно, критерий Гермейера эквивалентен критерию Вальда, т.е. стратегия, оптимальная по критерию Гермейера, оптимальна и по критерию Вальда, и наоборот.

Критерий ориентирован на величину потерь, т.е. на отрицательные  значения всех элементов матрицы (1), которые обозначаются символом e_ij. 

Т.к. в хозяйственных  задачах преимущественно имеют  дело с ценами и затратами, условие e_ij<0 обычно выполняется. В случае же, когда среди величин e_ij встречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования e_ij-a  при подходящем образом подобранном a > 0. При этом оптимальный вариант решения зависит от а.

Еще раз сформулируем правило выбора согласно критерию Гермейера: матрица решений  дополняется ещё одним столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния Fj. Выбираются те варианты в строках, которых находится наибольшее значение e_ij этого столбца.

В каком-то смысле критерий Гермейера обобщает ММ-критерий: в  случае равномерного распределения qj =  , j = , они становятся идентичными.

Условия его применимости таковы: вероятности появления состояния Fj неизвестны; с появлением тех или иных состояний, отдельно или в комплексе, необходимо считаться; допускается некоторый риск; решение может реализоваться один или несколько раз.

Если функция распределения  известна не очень надёжно, а числа  реализации малы, то, следуя критерию Гермейера, получают, вообще говоря, неоправданно большой риск.

Л.Лабскером и Гулюгиным  А.Н [4] определен новый критерий оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей в играх с природой, представляющий собой комбинацию критерия Гермейера и обобщенного критерия Гурвица.

 

 

 

 

4.ПРИМЕРЫ НА ПРИМЕНЕНИЕ  КРИТЕРИЯ ГЕРМЕЙЕРА

 

Задача №1. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Гермейера Z_G при следующем распределении вероятностей состояния системы принятия решений: q₁=0.3, q₂=0.25, q₃=0.25, q₄=0.2

 

 

 

При использовании критерия Гермейера Z_G для расчёта должна получится матрица, в которой все элементы имеют отрицательное значение.

В исходной матрице максимум это 11, поэтому из каждого элемента вычитается любое большее число, например, 12.

 

  

Получается матрица  остатков

 

 

Считается точно так  же как и в задаче 2 и 3:

уже заданную вероятность q₁ умножаем на первый элемент первой строки, 

уже заданную вероятность q₂ умножаем на второй элемент первой строки,

уже заданную вероятность q₃ умножаем на третий элемент первой строки,

уже заданную вероятность q₄ умножаем на четвёртый элемент первой строки.

Далее то же самое проделывается  с каждой строкой.

Вычисление:

 

-10*03= -3	-7*0,25= -1,75	-5*0,25= -1,25	-15*0,25= -3
-6*0,3= -1,8	-13*0,25= - 3,25	-12*0,25= -3	-10*0,2= -5
-4*0,3= -1,2	-1*0,25= -0,25	-15*0,25= -3,75	-8*0,2= -4
-7*0,3= -2,1	-5*0,25= -1,25	-10*0,25= -2,5	-11*0,2= -2,2