Застосування системи лінійних рівнянь у розв’язанні задач з економіки

Тоді непрямі  витрати першого порядку за рядом  Неймана виражаються матрицею

Оскільки прямі  матеріальні витрати електроенергії на одиницю прокату в цьому  прикладі становлять 0,2 од., витрати  електроенергії, що використовується на виробництво сталі, яка витрачається на одиницю прокату, будуть уже 0,04 од., що на порядок менше, тобто непрямі витрати із зростанням їх порядку спадають.

Кількість електроенергії, що витрачається на виробництво чавуну, обчислюється як елемент b₁₂ матриці b = a, тобто b₁₂ = 0,04·0,1 + 0,011·0,2 = 0,0062 од. Оскільки непрямі витрати із зростанням порядку спадають, формула (1.28) дає наближене значення оберненої матриці А з потрібною наперед заданою точністю

А – (Е + а + а² + … + аⁿ) = aⁿ. 

У наведеному прикладі для того, щоб обчислити повні  матеріальні витрати з точністю до трьох знаків після коми, досить обмежитися частинною сумою матричного ряду (1.28), що закінчується матрицею а³, тобто А = Е + а + а² + а³.

Тоді 

З обчислених значень  матриці повних матеріальних витрат випливає, що за вибраним технологічним  ланцюжком витрати всієї електроенергії на одиницю прокату становлять 0,2462 од.

Проблема  продуктивності моделі Леонтьєва

Виведемо умови  продуктивності моделі Леонтьєва, для чого наведемо основні властивості невід’ємної матриці А, що забезпечують продуктивність міжгалузевого балансу.

Числу λ, що задовольняє  рівняння

                              А

= λ ,                              (1.30)

 називають власним числом матриці А, а вектор – власним вектором.

Виникає питання: якщо матриця А невід’ємна, то чи існують у цьому випадку невід’ємне власне число λ і невід’ємний власний вектор ?

Проблема нетривіальна, оскільки з лінійної алгебри відомо, що власні числа матриці задовольняють  характеристичне рівняння

                    φ(λ) = det (λE – A ) = 0.               (1.31)

Подамо критерій продуктивності моделі Леонтьєва через  найбільше власне значення матриці  АЄ яке називають числом Перрона  – Фробеніуса і позначають λ(А).

Теорема 6. Модель Леонтьєва продуктивна тоді й тільки тоді, коли λ(А)<1.

Доведення. Оскільки λ(А) < 1, матриця (Е – А)^-1 існує і невід’ємна, а вектор валового випуску Х визначається для будь-якого кінцевого попиту с за формулою (1.29). Отже, завжди існує невід’ємний розв’язок системи рівнянь (L), тобто модель міжгалузевого балансу продуктивна.

Нехай модель Леонтьєва  продуктивна, тоді для довільного вектора  с > 0 існує такий невід’ємний  вектор х, що задовольняє систему  рівнянь        (L): х – Ах = с. Якщо х – власний вектор матриці А, то х – λх >0, що можливо лише при 1 – λ >0, тобто λ < 1.

На практиці замість цієї теореми використовують просту додатною умову продуктивності моделі Леонтьєва, а саме: модель Леонтьєва  продуктивна, якщо сума елементів матриці  А по всіх рядках і стовпцях не перевищує одиниці. 

Приклад 1. У табл. 3 приведені дані по балансу за деякий період часу. Розглянемо застосування моделі Леонтьева на нескладних прикладах між п'ятьма галузями промисловості. Знайти вектори кінцевого споживання і валового випуску, а також матрицю коефіцієнтів прямих витрат і визначити,  чи є вона продуктивною відповідно до наведених вище критеріїв.                                                                                     Таблиця 3

№	Галузь	Споживання					Кінцевий продукт	Валовий випуск, гр. од.
		1	2	3	4	5
1	Верстатобудування	15	12	24	23	16	10	100
2	Енергетика	10	3	35	15	7	30	100
3	Машинобудування	10	5	10	10	10	5	50
4	Автомобільне  будування	10	5	10	5	5	15	50
5	Видобування і  переробка	7	15	15	3	3	50	100

 

 

.    Розв’язання. У табл. 3 приведені складові балансу відповідно до

 співвідношень  (2.7): x_ij - перші п'ять стовпців, y_i - шостий стовпчик, x_i - останній стовпець (і, j= 1, 2, 3, 4, 5). Відповідно до формул       aіj a_ij= x_ij/x_j;   x_ij =a_ijx_i  і, j = 1, 2,..., n.                  (2.6)

i

маємо

Всі елементи матриці  А додатні, однак неважко бачити, що їхні суми в третьому і четвертому стовпцях більше одиниці. Відповідно до цього, умови другого критерію продуктивності не дотримані,і матриця А не є продуктивною. Економічна причина цієї непродуктивності полягає в тім, що внутрішнє споживання галузей 3 і 4 занадто велике в співвідношенні з їх валовими випусками.

 

 

 

Висновок

Отже, зі своєї  курсової роботи я можу зробити висновок, що системою лінійних рівнянь також моделюється переважна більшість практичних задач із економіки. Системи лінійних рівнянь розв’язуються  за декількома методами, а саме ті, які я конкретно розглянула в даній роботі.

Це моделювання  відбувається при використанні елементів алгебри матриць, яке є одним з основних методів розв’язку багатьох економічних задач. Прикладами задач, що використовують поняття матриці є задачі на знаходження виробничо - економічних показників; задачі, що приводять до складання і розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь на основі про-гнозів випуску продукції по відомих запасах сировини; задачі про річну продуктивність підприємства по кожному виду виробів; річну потребу в кожнім виді сировини.

Також розглядають  модель Леонтьєва та лінійну модель багатогалузевої економіки, балансові співвідношення. Як на мене, то ця особливість властива саме задачам з економіки. Тому в деяких публікаціях наголошують на відшуканні оберненої матриці за Леонтьєвим, розуміючи під цим обчислення оберненої матриці з невід’ємними числами.

Зазначимо, що математичні  моделі реальних задач описуються системами  лінійних алгебраїчних рівнянь, які  мають велику вимірність, і тому в економіці використовуються з  великою частотою. Вони містять десятки, сотні або й тисячі рівнянь і невідомих, визначення яких потребує використання електронно-обчислюваної техніки. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь широко застосовуються на практиці. Зумовлено це багатьма об’єктивними чинниками, серед яких можна виділити два основних. По-перше, значна кількість задач з економіки має властивості  подільності й адитивності. По-друге,в тих випадках, коли математичні моделі нелінійні,їх можна лінеаризувати, тобто наближено замінити адекватною лінійною моделлю.

Отже, із своєї курсової роботи, я можу стверджувати, що практичні задачі в економіці розв’язуються системами лінійних рівнянь, бо ними моделюється переважна їх більшість.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Література

  1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах — М.: Высш. шк., 1985. [ с. 397 - 423]

   2.Акулич  В. Математическое программирование. – М.: Мир,- 1998.

   3. Бугір  М. К. Математика для економістів.  Посібник. - К.: Видавничий центр «Академія»,2003. – 520 с. [ с. 365 - 394]

   4.Вентцель Е. С. Элементы динамического программирования. — М.: Наука, 1964. [ с. 287 – 311; 315 - 342]

     5.Зайченко Ю. П. Дослідження операцій: Підручник. — 4-те вид., перероб. і допов. — К., 2000. — 688 с. [ с. 539 - 585]

   6.Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н.; Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. Исследование операций в экономике: учеб. Пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ, 2002. — 407 с. [ с. 364 - 395]

   7.Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программирование. — М.: Высш. школа, 1980. — 300 с. [  с. 165 - 198]

   8.Наконечний С. І., Гвоздецька Л. В. Збірник задач з курсу «Математичне програмування». Частина 1.: Навч. посібник. — К.: ІСОД, 1996. — 128 с.

   9.Романюк Т. П., Терещенко Т. О., Присенко Г. В., Городкова І. М. Математичне програмування: Навч. посіб. — К.: ІЗМН, 1996. — 312 с.    [ с. 187 - 232 ]

  10.Степанюк В. В. Методи математичного програмування К.: Вища школа, 1997. — 272 с. [ с. 87 – 95; 114 - 139]

   11.Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. — М.: Мир, 1967. [ с. 540 - 563]