Застосування системи лінійних рівнянь у розв’язанні задач з економіки

 

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

                      НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ М.П. ДРАГОМАНОВА

                                

ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ІНСТИТУТ

 

КАФЕДРА ВИЩОЇ  МАТЕМАТИКИ

 

КУРСОВА РОБОТА З ГЕОМЕТРІЇ 

НА  ТЕМУ:

«Застосування системи лінійних рівнянь у розв’язанні задач з економіки»

 

 

АВТОР: студентка  21 МЕІ групи

 Маєвська Олександра Володимирівна

НАУКОВИЙ КЕРІВНИК:

кандидат фізико-математичних наук,

                                                           доцент Шаповалова Н. В.

РОБОТА ЗАХИЩЕНА __ ______ 2010 р.

ОЦІНКА: ______

КОМІСІЯ:

1. _______________________
2. _______________________
3. _______________________

 

  КИЇВ –  2010

                                                                 

 

План

    Вступ

  1. Поняття розв’язку системи рівнянь.

    1.1. Розв’язування системи лінійних рівнянь за формулами Крамера.

    1.2. Методи Гаусса та Жордана–Гаусса розв’язування систем лінійних                                       рівнянь.

      1.3. Матричний метод розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь.

     2. Застосування систем рівнянь для аналізу моделі Леонтьєва «витрати – випуск» 

Висновок

Література

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Вступ

 В своїй  курсовій роботі я розглядатиму  системи лінійних рівнянь, якими  моделюється переважна більшість практичних задач із економіки. Системи лінійних рівнянь розв’язуються  за декількома методами. Наприклад, такими методами є метод Крамера, Жордана-Гаусса, матричний метод, кожен з яких має свій алгоритм розв’язання. Це моделювання відбувається при використанні елементів алгебри матриць, яке є одним з основних методів розв’язку багатьох економічних задач. Це питання стало особливо актуальним при розробці і використанні баз даних, при роботі з ними майже вся інформація зберігається й обробляється в матричній формі. Прикладами задач, що використовують поняття матриці є задачі на знаходження виробничо - економічних показників: витрати сировини, витрати робочих годин, вартість випуску продукції підприємства; задачі, що приводять до складання і розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь на основі прогнозів випуску продукції по відомих запасах сировини;задачі про річну продуктивність підприємства по кожному виду виробів,річну потребу в кожнім виді сировини. Розглядають модель Леонтьєва та лінійну модель багатогалузевої економіки, балансові співвідношення.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Поняття  розв’язку системи рівнянь.

Найпростіше лінійне  алгебричне рівняння має вигляд:

а1 + а2х2+…+аnхn=b1                          (1.1)

Числа а1, …, аn називають коефіцієнтами рівняння, а х1, …, хn – його невідомими.

Розв’язком цього рівняння називають таку сукупність чисел λ1, …, λn, яка перетворює даний вираз на числову тотожність а1λ1 + а2λ2+ …+ аnλn = b1 . Коефіцієнти і змінні рівняння (1.1) утворюють  n – вимірні вектори 

Ліву частину  рівняння (1.1) можна записати як скалярний  добуток векторів    .

Якщо рівнянь типу (1.1) кілька, то вони  утворюють систему  рівнянь, яку в загальному випадку  записують у вигляді:

Цю систему  позначимо (1.2). Коефіцієнти цієї системи  рівнянь утворюють матрицю:

Праві ж частини  і невідомі – вектори 

                                              

                              

           та                                        

 

Вимірністю m i n відповідно.

    Використовуючи  дії над матрицями та векторами,  систему рівнянь (1.2 ) можна записати  у векторно – матричній формі   

Позначимо як (1.3).

В інших стандартних  формах запису системи лінійних алгебраїчних рівнянь застосовують знак підсумовування. Наприклад,

або                                        

Позначимо як (1.4).

Розв’язком  системи алгебраїчних лінійних рівнянь (1.2) називають таку сукупність чисел  λ₁,…,λ_n, яка перетворює всі рівняння (1.2) на числові тотожності.

Якщо права  частина (1.2) дорівнює нулю, то систему  рівнянь називають однорідною, або неоднорідною, якщо b ≠ 0.

Система рівнянь  може мати єдиний розв’язок, безліч розв’язків, що  утворюють деяку множину, а  може  не мати  жодного розв’язку.

Наприклад, 2х = 4 має єдиний розв’язок х = 2, рівняння х₁ + 3х₂ = 5 – безліч розв’язків х₁ = 5 – 3х₂, які залежать від довільного параметра t = х₂.

Дві системи рівнянь називають еквівалентними( рівнозначними ), якщо вони мають одну й ту саму множину розв’язків.

Кількість розв’язків системи  лінійних алгебраїчних рівнянь (1.2) залежить від співвідношеннями між числами m i n. Можливі такі три випадки: 1) m = n; 2)m < n; 3) m > n.

У першому випадку число  невідомих і кількість рівнянь  однакові. Тоді розв’язок системи  рівнянь єдиний, хоча не виключені  й інші випадки.

 Другий   випадок  характеризується тим, що кількість  рівнянь менша від числа невідомих. Отже, щоб  розв’язати систему рівнянь, треба відокремити базисні та вільні невідомі і розв’язати систему відносно базисних невідомих. До загального розв’язку входитимуть вільні невідомі, яким можна надати будь – яких значень. Такого виду системи рівнянь характерні для задач лінійної оптимізації.

У третьому випадку кількість  рівнянь більша, ніж число невідомих. У цьому разі кажуть, що система  рівнянь є перевизначеною. Щоб  розв’язати таку систему, треба розглянути n – рівнянь, знайти їхній розв’язок і вимагати, щоб він задовольняв ще й решту рівнянь. Якщо ці m – n рівнянь перетворюються на тотожності, то система рівнянь має розв’язок, а якщо хоча б одне з них не задовольняється, то система не має розв’язку. Останнє трапляється частіше, оскільки у третьому випадку система рівнянь розв’язку не має.

Незалежно від того, якою є залежність між числами m i n, систему  лінійних алгебраїчних рівнянь завжди треба перевіряти на сумісність.

Система рівнянь (1.2) називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо не має жодного розв’язку.

Ознакою сумісності системи  рівнянь є така теорема.

Теорема 1. (Кронекера – Капеллі). Для того,щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи рівнянь дорівнював рангу розширеної матриці.

Доведення. Позначимо через А матрицю системи рівнянь, а через В – розширену матрицю, яка, крім коефіцієнтів системи рівнянь, включає ще й вільні члени:

 

 

Очевидно, що будь – який мінор матриці А є  мінором матриці В; тому ранг матриці  системи рівнянь не може перевищувати ранг розширеної матриці.

Необхідність. Припустимо, що система рівнянь (1.2) сумісна, тобто існують такі числа х₁ = λ₁,…,х_n = λ_n, при яких кожне з рівнянь перетворюється на числову тотожність.  З іншого боку це рівнозначне тому, що останній стовпець матриці В лінійно виражається через решту і не впливає на обчислення рангу матриці. Через це

rang A = rang B.                                        (1.5)

  Достатність. Припустимо, що виконується умова (1.5). Тоді базисний мінор для матриць А і В спільний. Нехай він міститься на головному мінорі r- го порядку       

За теоремою про базисний мінор стовпець вільних членів є лінійною комбінацію решти стовпців, у тому числі й базисних:

Останнє співвідношення рівнозначне таким  r рівностям:

і розв’язок  х₁ = λ₁,…,х_r λ_r,    x_r + 1 = 0,…, х_n = 0 є розв’язком системи рівнянь (1.2).   

 

 

 

 

 

1.1. Розв’язування системи лінійних рівнянь за формулами Крамера.

Розв’язок системи  лінійних рівнянь знаходять за формулами  Крамера, як правило, в тому випадку, коли m=n і визначник системи рівнянь │∆│≠  0

Теорема 2. Якщо m = n і виконується умова │∆│≠  0, то розв’язок системи рівнянь має такий вигляд:                            

де 

 

позначимо (1.6)

А  ∆j одержується з визначника ∆ заміною j-го стовпця стовпцем вільних членів b.

Доведення теореми здійснюється безпосередньо перевіркою. Підставимо розв’язок (1.6) у перше рівняння (1.2). Тоді

Усі члени суми, крім першого, дорівнюють нулю, а перший член дорівнює ∆.

Із доведення випливає, що й інші рівняння будуть задовольнятися як тотожності, оскільки в останній сумі лише один член не дорівнює нулю.

Приклад. Знайти за формулами Крамера розв’язок системи рівнянь

Розв’язання. Обчислимо визначник системи рівнянь

∆ =

   = - 3 - 4 +12 + 3 + 8 – 6 = 10

              Система рівнянь сумісна, має єдиний розв’язок. Знайдемо його за формулами Крамера:

∆₁ =  = - 9 – 4 – 1 +24 = 10;

 ∆₂ =   = 36 – 2 +4 – 18 = 20;

 ∆₃ = = 1 – 12 + 9 + 2 = 0;

               

 Але і у цих формулах  є негативні сторони. Недоліком  формул Крамера є той факт, що їх, як правило, можна ефективно  використовувати лише тоді, коли  розв’язок єдиний, хоча цілий  клас лінійного програмування зводиться до систем лінійних алгебричних рівнянь, якщо число невідомих більше від кількості рівнянь. Для таких задач ефективнішими виявляються методи послідовного виключення ( Гаусса ) чи повного виключення ( Жордана – Гаусса ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Методи Гаусса та Жордана – Гаусса розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь.

Метод Гаусса простіший, ніж  метод Крамера. Його можна застосувати  також тоді, коли є безліч розв’язків. За цим методом не треба окремо досліджувати систему рівнянь(1.3) на сумісність, оскільки останній крок перетворень укаже базисний мінор і дасть відповідь на питання про сумісність системи.

    Припустимо заради  простоти, що в системі рівнянь  (1.2) коефіцієнт а11 ≠ 0. Тоді поділимо на нього рівняння і за допомогою утвореного рівняння виключимо х1  із другого, третього і, нарешті, m-го рівнянь. У результаті таких перетворень дістанемо рівнозначну систему рівнянь

Позначимо (1.7).

 Коефіцієнти перетвореної  системи визначаються заданими  системою виразами

      

          k = 2,…,m; l=2,…,n)     (1.8)

 

    На  другому кроці повторимо процес  виключення, але вже з системою n – 1 рівнянь, починаючи з другого. Знову заради простоти припустимо, що а22 ≠ 0. Це припущення не є істотним, оскільки інакше рівняння можна поміняти місцями. В результаті цього перше задане рівняння залишиться без змін:

       (1.9)

     Утворені  коефіцієнти розраховуються за  формулами, подібними до формул (1.8):

                           (1.10)

    У системі рівнянь  в n – 2 рівняннях, починаючи з третього, виключаємо х3, завдяки третьому рівнянню і т.д. За скінчене число кроків, що визначається рангом матриці, дістаємо систему рівнянь

               (1.11)

матриці  якої ( як основна, так і розширена ) мають трикутну форму:

 

     Очевидно, що головний мінор матриці  В є базисним, а система рівнянь  – сумісною, якщо rang d = rang B. B іншому випадку ранг матриці В хоча б на одиницю більший, ніж d. На матриці це можна помітити в рядках r + 1, …, m, які в матриці d є нулями, а в В, хоча б в одному з них, вільний член β3 ≠ 0. Таким чином, здійснюючи перетворення, наведені вище, які далі називатимемо перетвореннями Гаусса, дістаємо матриці d і В, еквівалентні вихідним матрицям А і В. Зазначимо, що коли не змінювати порядок рядків і стовпців, то значення відповідних визначників – мінорів теж залишаться без зміни, проте завдяки простішій структурі матриці d обчислювати їх значно легше. Тому цей процес можна покласти в основу обчислення визначників     ( особливо – вищих порядків ).

     Невідомі, стовпці коефіцієнтів яких утворює  базисний мінор, називатимемо базисними, а решту, що залишилися, - вільними.

За нашим  вибором у системі рівнянь (1.11) невідомі розподіляться так:

  х₁,…, х_r – базисні; x_{r + 1},…, x_n – вільні, n – r = s.

     Загальним розв’язком системи  рівнянь (1.2) називатимемо такий, в якому базисні невідомі виражаються через вільні і з якого можна здобути будь – який частинний розв’язок.

 Очевидно, що будь – який частинний розв’язок можна дістати з базисного, якщо замість вільних невідомих взяти конкретні числові значення.

     Базисним розв’язком системи рівнянь (1.2) називатимемо розв'язок, в якому вільні невідомі дорівнюють нулю.

Щоб знайти загальний розв’язок системи рівнянь (1.2) за методом Гаусса, треба в системі рівнянь (1.11) з останнього рівняння визначити

X_r = β_r – d_r,_{r + 1}x_{r +1} - … - d_rnx_n

і підставити в  перші r – 1 рівняння. Отже, ми виключили із системи рівнянь (1.11) невідому х_r. Далі з (r – 1)-го рівняння знайдемо х_{r – 1} і виключимо невідому х_{r – 1} з перших (r – 2) – х рівнянь і т. д. В результаті дістанемо систему рівнянь