Застосування системи лінійних рівнянь у розв’язанні задач з економіки

Систему рівнянь (L) має ті всі властивості,що й будь-яка система лінійних алгебраїчних рівнянь. Одна особливість цієї системи викликає підвищений інтерес як у математиків, так і в економістів. Ця особливість полягає в тому, що з очевидних економічних міркувань і коефіцієнти, і змінні системи рівнянь(L) мають бути невід’ємними. Іншими словами, норми витрат

 а_ij ,валові випуски Х_і  та обсяги кінцевої продукції У_j задовольняють умову

a_ij ≥ 0, X_i ≥ 0, Y_i ≥ 0 ( i, j = 1,…, n).

Звідси випливає задача, що визначає нову математичну  проблему порівняно з тими, які  розглядалися:при яких коефіцієнтах а_ij та У_і існує невід’ємний розв’язок Х_j системи рівнянь (L)?

З економічної  точки зору наявність розв’язку  системи рівнянь (L) означає, що вона «працює», тобто модель Леонтьєва є продуктивною.

Умови продуктивності моделей типу моделі Леонтьєва сформулюємо  на прикладі більш загальної системи  рівнянь

               (1.20)

де ρ –  деякий параметр. Зокрема, модель Леонтьєва  дістанемо з (1.20), якщо покладемо ρ = 1. Звівши подібні члени в системі рівнянь (1.20), матимемо еквівалентну систему

               

               (1.21),

 в якій  коефіцієнти рівнянь задовольняють додаткову умову

                                         d_ij ≤ 0 ( i ≠ j ).                                     (1.22)

Очевидно, що системи  рівнянь (1.20) і (1.21) тісно пов’язані між собою формулою d_ij = ρδ_ij – aij ( δ_ij – символ Кронекера, що дорівнює нулю, коли      i ≠ j, I d_ij = 1, коли i = j).

Питання про  існування невід’ємних розв’язків системи лінійних рівнянь є складною проблемою. Можна навести приклад системи рівнянь із невід’ємними коефіцієнтами, для якої відповідь на поставлене питання негативна. Такою, наприклад, є система рівнянь

 з розв’язком  х₁ = -100, х₂ = -100. Зазначимо, що оскільки тут кількість рівнянь і число невідомих збігаються, розв’язок відповідної системи рівнянь єдиний і його можна знайти за формулами Крамера.

Сформулюємо один із результатів, що дає позитивну  відповідь на поставлену вище проблему.

Теорема 5 ( умова Хокінса – Саймона ). Для того щоб система рівнянь(1.20) мала невід’ємний розв’язок при довільних невід’ємних правих частинах ( у_і ), необхідно і достатньо, щоб головні мінори матриці { d_ij} були додатними.

Доведення. Виконаємо його за методом Гаусса, використовуючи метод математичної індукції. Спочатку доведемо достатність теореми. При n = 1 твердження теореми очевидне, тому що рівняння має вигляд

d₁x₁ = y₁.

Припустимо, що твердження теореми справедливе  для системи рівнянь вимірністю n - 1. Застосуємо до системи рівнянь (1.21) метод Жордана – Гаусса:

      (1.23)

Коефіцієнти перетвореної системи визначаються за формулами

 (1.23′)

Головні мінори систем рівнянь (1.21) і (1.23) мають одні й ті самі значення. Зокрема для системи рівнянь (n – 1)-го порядку відносно змінних х₂,…,х_n вони додатні і d_kl ≤ 0, якщо k ≠ l. Це легко перевірити за формулами (1.23′). Згідно з припущенням математичної індукції така система рівнянь має невід’ємний розв’язок х^′ = ( х₂,…,х_n ). Із першого рівняння (1.23)  знайдемо

Оскільки d_1j ≤ 0 маємо х₁ ≥ 0. Отже,  розв’язок х = ( х₁х′ ) невід’ємний. Що й треба було довести.

Необхідність  є наслідком методу Гаусса і формул Крамера. Оскільки умови теореми перевіряються значною кількістю обчислень, нижче будуть сформульовані рівнозначні їм умови, які легше перевіряються.

Матрична  модель міжгалузевого балансу народного  господарства

У багатьох літературних джерелах модель Леонтьєва пов’язують з матричною моделлю міжгалузевого балансу народного господарства. Тому наведемо її постановку та основні математичні співвідношення.

Нехай статистичний звіт у народному господарстві за деякий період  (наприклад, рік ), характеризується даними, наведеними в таблиці 2

Таблиця 2

Галузь	1     2   …   n	Товарна продукція	Валова  продукція
1 2 . . . n	x11     x12   …   x1n x21      x22   …   x2n    .         .     …     .    .     I квадрант        .    .         .     …     . xn1      xn2   …   xnn	y1 y2 . .      II квадрант .         .          … yn	x1 x2 . . . xn
Дохід	Q1  Q2 III кв. Qn	IV квадрант
Валова продукція	x1  х2 … хn

 

Через Х_і, як і раніше, позначимо загальний обсяг продукції, випущеної галуззю під номером і, через У_і – його частину, що була спожита у невиробничій сфері для створення запасів, інвестицій, експорту тощо. Числа х_ij показують розподіл продукції і-ї галузі на виробничі потреби j – ї галузі.

Одиниці всіх указаних величин можуть бути або натуральними ( тонни, кіловат-години, штуки тощо ), або вартісними. Залежно від цього розрізнятимемо натуральний і вартісний міжгалузеві баланси. Наприклад, якщо під 1 занумеровано енергетичну галузь( виробництво електроенергії ), а під 2 – нафтодобувну, то х₁₁ характеризує вартість електроенергії, спожитої для розвитку своєї галузі ( власні витрати ), х₂₁ – витрати нафти для виробництва електроенергії.

Кожний рядок  матричної моделі  відповідає виробничій галузі, стовпець – галузі споживача.

За характером показників модель міжгалузевого балансу  умовно можна поділити на чотири квадранти.

Основним є  квадрант I, в якому містяться міжгалузеві потоки засобів виробництва. За формою – це квадратна матриця розміром n× n сума елементів якої по рядках або стовпцях дорівнює витратам засобів виробництва в матеріальній сфері. Квадрант II характеризує кінцеву продукцію, під якою слід розуміти продукцію, що спрямовується із сфери виробництва на кінцеве споживання і нагромадження. У розгорнутій схемі балансу вона може розподілятися на особисте споживання населення, громадське ( освіта, наука. Комунальне господарство тощо ), на інвестиції, експорт і т. д. Очевидно, що квадрант II відображає галузеву структуру національного доходу. Квадрант III також характеризує національний дохід, але вже з боку його вартісного складу, який, у свою чергу, можна поділити окремо на галузі матеріального виробництва. Квадрант IV відображає кінцевий розподіл і споживання національного доходу.

Балансовий  характер таблиці 2 полягає в тому, що виконується співвідношення

X_i = x_i1 + x_i2 + … + x_in + y_i        ( i = 1,2,…, n ),                (1.24)

 яке можна  записати як у натуральному, так  і у вартісному вигляді. Воно  виражає характер розподілу виробленої  продукції. З точки зору вартості  споживаної продукції балансові співвідношення записують у вигляді

               X_j = x_1j + x_2j +… + x_nj + Q_j         ( j = 1,2,…, n ).                 (1.24′)

Очевидно, що останні рівності мають зміст тільки тоді, коли продукцію всієї галузі зведено до однієї величини ( наприклад, вартості ).

Оскільки співвідношення (1.24) і (1.24′)  за своїм характером приблизно однакові, спочатку дослідимо (1.24). Припустимо, що ці співвідношення еквівалентні лінійності технологічних  процесів виробництва та розподілу  продукції. Тому можна вважати. Що для забезпечення обсягу валового випуску Х_і необхідно і достатньо забезпечити витрати в обсягах X_ia_ij                   ( j = 1,…, n ) продукції інших галузей.

Розглянемо  числа, які визначаються за формулою

          

                          (1.25)

 і виражають  витрати продукції і-ї галузі на випуск одиниці продукції j-ї галузі. При i = j маємо витрати власної продукції галузі на одиницю її валового обсягу. Сукупність чисел а_ij утворює матрицю прямих матеріальних витрат

 Можна вважати,  що матриця (а_ij ) описує технологію при одиничній інтенсивності роботи всіх галузей.

Виходячи з  формули (1.25), співвідношення можна  записати через систему лінійних алгебраїчних рівнянь (L) – модель Леонтьєва. Для цього розглянемо вектори валового випуску і товарної продукції :

Тоді

                                         а

+ = ,                             (1.26)

або 

                                        ( Е – а )

= ,                            (1.26′)             

де Е –  одинична матриця

Системи рівнянь (L), (1.26) і (1.26′) є основним інструментом аналізу міжгалузевих зв’язків, методу, що дістав назву методу « витрати – випуск», або методу Леонтьєва. Суті його полягає у визначенні рівнів валового випуску в рамках фіксованих технологічних можливостей, відображених у матриці прямих матеріальних витрат а.

Якщо через (Е - а)^-1 позначити обернену матрицю до матриці (Е - а), то формально розв’язок системи рівнянь(1.26′) можна записати у вигляді

                               

= ( Е – а ) ^-1 У= А ,                       (1.27)

 де А = =(Е – а)^-1, або в розгорнутій формі

Валова продукція  тут виступає як деяка середня  сума кількостей кінцевої продукції, причому  мірою є коефіцієнти А_ij. Їхній економічний зміст – кількість продукції, яку необхідно виробити в цілому і-ю галуззю для випуску на кінцеве споживання одиниці продукції j-ї галузі.

Матрицю (А_ij ) називають матрицею повних матеріальних витрат, числа А_ij – коефіцієнтами цих витрат.

Матриця (Е – а )^-1 надає інформацію про те, яким способом вектор зовнішнього кінцевого попиту перераховується на вектор волового випуску . Крім того. Оскільки модель лінійна, прирости ∆ і ∆ пов’язані між собою співвідношенням ∆ = (Е – а)^-1∆ ,  і матриця А надає інформацію про зміни рівнів валового випуску, спричинені змінами рівнів кінцевої продукції. Саме тому величину (Е – а)^-1 називають матричним мультиплікатором. Це матричний аналог скалярного мультиплікатора (1 – а)^-1 у найпростішій моделі Кейнса У = аУ + І для визначення національного доходу. Величини У та І виражають рівні національного доходу й інвестицій, а коефіцієнт a, який прийнято називати коефіцієнтом схильності до споживання, дорівнює частці національного доходу, що споживається.

За аналогією  із спадною геометричною прогресією

 матричний  мультиплікатор (Е – а)^-1 зображують у вигляді нескінченної суми матриці  

                 (Е – а)^-1 = Е + а + а² + а³ + … .                        (1.28)

Останній ряд  називають рядом Неймана. За певних умов, які будуть вказані нижче , він існує.

Формулу (1.28) можна  інтерпретувати як подання оберненої  матриці у вигляді нескінченного матричного ряду. Як і раніше, виходячи з економічних міркувань, ставимо задачу: знайти обернену матрицю до матриці (Е – а), в якій всі коефіцієнти невід’ємні.

Зазначимо ще раз, що ця особливість властива саме задачам  з економіки. Тому в деяких публікаціях наголошують на відшуканні оберненої матриці за Леонтьєвим, розуміючи під цим обчислення оберненої матриці з невід’ємними числами. Зрозуміло, що умови існування такої матриці не будуть відрізнятися від тих, які забезпечують продуктивність моделі Леонтьєва.

Виходячи з (1.28), співвідношення (1.26)  перепишемо так:

Остання формула  має змістовну економічну інтерпретацію. Для того. Щоб здобути вектор кінцевої продукції У ≥ 0, потрібно витратити ас засобів виробництва. Проте цього замало. У процесі виробництва виникають додаткові ( непрямі) витрати, що описуються вектором а .

Отже, валовий  випуск включає також вектор а . Для виробництва а знову виникають додаткові витрати аа = а² У і т. д. Тому вектор валового випуску є сумою вектора кінцевої продукції та всіх векторів проміжних витрат.

Формула (1.28) дає  змогу сформулювати очевидні властивості  матриці повних матеріальних витрат:

1. А_ij> 1, оскільки до одиниці додаємо невід’ємні числа;
2. Із зростанням порядку проміжних витрат члени суми ряду (1.28) зменшуються.

Розглянемо  структуру непрямих витрат на прикладі витрат електроенергії на виробництво  сталевого прокату. Для цього простежимо технологічну схему витрат електроенергії на випуск одиниці сталевого прокату при технологічному ланцюжку « чавун – сталь – прокат».

Витрати електроенергії на випуск одиниці прокату будуть складатися з безпосередніх витрат енергії на виробництво прокату, з витрат на випуск сталі, чавуну і т. д. Безпосереднє обчислення А_ij за такою технологічною схемою практично здійснити важко, оскільки «дерево витрат» необмежено розгалужується, хоча витрати високих порядків відносно невеликі.

Розглянемо умовний приклад обчислення прямих і непрямих матеріальних витрат умовної моделі міжгалузевого балансу з двома секторами: перший – виробництво прокату і другий – виробництво електроенергії. Нехай матриця прямих матеріальних витрат задається такими даними: