Задачи по "Математике"

                                                                       
 
 
 
 
 

                                                                 

                                                                         1

   

Искомое число Х=n+m+k+f+1755, где n,m,k,f – цифры соответствующих разрядов искомого числа. Понятно, что n скорее всего равно 1, а m равно 7. Т.е. X=1+7+k+f+1755=

=k+f+1763. Значения f могут быть от 0 до 9, а k должно быть не меньше 5-ти. Начнем с 5-ти. X=5+f+1763=f+1768. Значения f равные 0, 1 и 2 не подходят, а 3 дает число 1771 сумма цифр которого на 16 превышает 1755. 

Ответ: 1771 
 

                                                                          2 
 

1) Составим таблицу: 

Куски  N     I           II 

Длина        150        100

Ширина    100         120

Высота      100         130 

2) Цифры здесь это проценты, но ничто нам не мешает считать 1% эквивалентным единице длины. Значит V1= 150*10^4, а V2= 156*10^4. Если считать V первого куска 100%, то второй больше на 4%. 

Ответ: Второй на 4% (если V1-100%) 
 

                                                                          3 
 

Обозначим скорость пешехода как V_п, скорость машины какV_м, а расстояние от машины до моста – L. Тогда

= , а также = , где 1- длина моста.

Откуда

= +1 =5 

 Ответ: = 5 
 

                                                                         4 
 

1) x2=y2+2010p (x+y)(x-y)=2010p

Правая сторона  исходного уравнения четная –  значит и левая должна быть четной. Это значит, что х и у должны быть одинаковой четности, что, в свою очередь, подразумевает делимость обоих сторон уравнения на 4. Это возможно только при р=2. Получатся, что нужно решить уравнение (x+y)(х-у)=4020.

2) Число 4020 можно представить в виде 11 пар множителей:

1х4020

2х2010

3х1340

4х1005

5х804

6х670

10х402

12х335

15х268

20х201

30х134

60х67

3) Поскольку решить нам нужно в натуральных числах, то мы рассматриваем 11 систем в которых х+у>х-у и не рассматриваем пары отрицательных множителей. К примеру,

 

Решая полученые 11 систем (точнее, четыре системы, поскольку пары четный-нечетный множитель не дают нам решения в целых числах) получаем четыре пары чисел удавлетворяющих исходному уравнению: 

 Ответ:   
 

                                                                       5 
 

КВС=180 – 90- 90+ = ; АОВ=180-90+ - =90+ ; ВОН=90-  

1)  7х= ВН=7x sin

2) = BH=

3) Из 1 и 2 следует:

7xsin = sin = ctg , но т.к. tg = то sin = *

= cos = 5/7 

Ответ: cos =  
 

                                                                      6 
 

+ =       =0

Это уравнение  можно представить виде системы

Воспользуемся алгоритмом для решения кубических уравнений методом Виета-Кардано.

Представим первое уравнение системы в виде:

x³+ax²+bx+c=0 , т.е.

x - x +4x- =0. Для нахождения его корней определяем

Q=(a²-3b)/9  и   R=(2a³-9ab+27c)/54.

Если R² > Q³, то действительных корней – один. При подстановке получаем:

R=     R²= ;

Q=     Q³= . Как видно R² > Q³ , значит действительных корней – один, причем расположен он на интервале (0;1), что подтверждается построением графиков функций:

Y(x)= + и Y’(x)=  

Ответ: одно решение. 
 

                                                                      7 
 

У нас возможны 4 варианта расположения данных точек на сторонах и в вершинах треугольников:

1. Три данные  точки являются вершинами треугольника  со сторонами 4,6,7 (1 случай)

2. Две данные  точки являются вершинами треугольника, а третья лежит на середине  его стороны. Получается три треугольника со сторонами (4,12,?), (8,6,?), (14,6,?). Длины третьих сторон не известны, но в двух последних случаях их длина не может быть 14 и 8

соответственно (сумма длин двух сторон треугольника должна превышать длину третьей  стороны) и это дает нам возможность  сказать, что эти треугольники попарно не равны.( 3 случая).

3. Одна из  данных точек является вершиной треугольника, а две другие – серединами сторон. Получаем три одинаковых треугольника со сторонами (8,12,14). Они попарно равны, т.е. мы можем засчитать только один из них. (1 случай).

4. Каждая из  данных точек является серединой  стороны треугольника (8,12,14). Как  видно, он равен треугольнику  из пункта 3 и поэтому засчитан  быть не может. 

Ответ: 5 случаев 
 
 

                                                                      8 
 

Команды могли  минимум набрать 1+2+3+4+5=15 очков ( 0 быть не может по условию, а все команды  набрали разное число очков). Эти 15 очков команды могли набрать не менее, чем за пять игр. Однако пяти игр быть не может, т.к. команды получали бы либо три очка, либо ноль и не было бы команды, набравшей одно или два очка.

Рассмотрим случай, когда были сыграны шесть  игр. Если четыре команды сыгрыли между собой вничью, а пятая и две из четырех сыгравших вничью выигрыли у одной из оставшихся двух команд. Т.е. ничьи – 1 команда и 2, 2 и 5, 4 и 5, а победы – 3 выиграла у 1, 4 у 1 и 5 у 1. 

Ответ: 6 игр. 
 

                                                                  10 
 

Обозначим первую последовательность X, вторую Y.

1) Рассмотрим  последовательность Z=1-1/2+1/3-1/4+…+1/2009-1/2010 = 1-(1/2-1/3+1/4-1/5+…+1/2010-1/2011+1/2011) = 1-X-1/2011

Значит Z+X= 1-1/2011=2010/2011

Т.к. X=(1/2-1/3)+(1/4-1/5)+…+(1/2010-1/2011) – 1005 пар членов последовательности;

        Z=(1  - 1/2)+(1/3-1/4)+…+(1/2009-1/2010) -  1005 пар членов последовательности и каждое слагаемое Z больше соответствующего слагаемого X, то Х<Z, тогда и X<(X+Z)/2.

Т.е. Х<1005/2011

2) Последовательность Y состоит из 1006 членов. Значит Y>1006/2011 (наименьший член последовательности 1/2011 умножаем на 1006).

3) X<1005/2011     Y>1006/2011,

значит X<Y 

Ответ: 1/1006+1/1007+…+1/2011 > 1/2-1/3+1/4-1/5+…+1/2010-1/2011