Задачи по "Математике"

Содержание 

Задание 1.   3

Задание 2. 6

Задание 3. 11

Задание 4. 16

Задание 5.. 24

Литература 26 

    Задание 1.  Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значения функции на одном и том же множестве планов.

    

      

    

    

    

    Решение:

    Задача  на максимум:

      

    

    

    

    

    Найдем  решение задачи графическим способом. Имеем уравнения прямых:

      

       

        

       

    Находим по две точки, принадлежащие каждой прямой:

      

    х₁=0;  х₂=14 => точка 1 (0; 14)

    х₂=0;  х₁=7 => точка 2 (7; 0)

       

    х₁=0;  х₂=4,5 => точка 1 (0; 4,5)

    х₂=0;  х₁=-3=> точка 2 (-3; 0)

        

    х₁=0;  х₂=6,75=> точка 1 (0; 6,75)

    х₂=0;  х₁=9 => точка 2 (9; 0)

        

    Построим  прямые на графике и определим  полуплоскости, определяемые каждым неравенством ограничений.

    Определим координаты вектора-градиента целевой  функции:

    

    На  рисунке 1.1 видно, что последней точкой касания линии уровня функции (прямая, перпендикулярная вектору-градиенту) с областью допустимых решений (ОДР) является точка А, образованная пересечением 1-й и 4-й прямых. Найдем ее координаты, решив систему уравнений.

           =>             

Имеем оптимальное решение на максимум:

Найдем  максимальное значение целевой функции:

    Задача  на минимум:

      

    

    

    

    

    На  рисунке 1.1 видно, что первой точкой касания линии уровня функции (прямая, перпендикулярная вектору-градиенту) с областью допустимых решений (ОДР) является точка В, образованная пересечением 1-й и 3-й прямых. Найдем ее координаты, решив систему уравнений.

      => домножим первое уравнение на 4:

     => вычтем из первого уравнения второе:

    

             

         Имеем оптимальное решение на  минимум:

    

    Найдем  минимальное значение целевой функции:

      

    Задание 2. Построить математическую модель задачи и решить ее средствами Excel.

    В цехе площадью 74 кв.м. необходимо установить станки, на приобретение которых отпущено 42 тыс. руб.

    Существуют  два типа станков. Станок первого  типа, стоимостью 6 тыс. руб., требующий  12 кв. м. производственных площадей, обеспечивает изготовление 70 изделий в смену. Аналогичные характеристики станка второго типа составляют соответственно 4 тыс. руб., 6 кв. м., 40 изделий в смену.

    Решение:

    Составим  экономико-математическую модель задачи:

    х_j- количество станков j-го типа

    Ограничение по стоимости:

    6x₁+4x₂ <= 42

    Ограничение по площади:

    12x₁+6x₂ <= 74

    x₁=>0  x₂=>0– граничные условия

    x₁,  x₂: целые

    Целевая функция отражает суммарную производительность станков:

    F=70x₁+40x₂ à max

    Имеем математическую модель:

    6x₁+4x₂ <= 42

    12x₁+6x₂ <= 74

    x₁=>0  x₂=>0

    x₁,  x₂: целые

    F=70x₁+40x₂ à max

    Имеем задачу линейного целочисленного программирования.

    Для нахождения оптимального решения воспользуемся  электронной таблицей MS Excel. Исходные данные и формулы, необходимые для расчета представлены на рис. 2.1. В ячейках В8:С8 будем хранить изменяемые значения х1, х2, в ячейке D8 – значение целевой функции.

    

    Рис. 2.1 – Входные параметры модели в режиме формул

    Для нахождения оптимального решения воспользуемся  встроенным пакетом «Поиск решения» меню Сервис (рис. 2.2).

    

    Рис. 2.2 – Вызов «Поиска решений» 

    Далее определяем целевую ячейку, изменяемые ячейки, критерий оптимальности (максимум), добавляем ограничения. В результате проделанных операций имеем следующий  вид (рис. 2.3):

      

    Рис. 2.3 – Диалоговое окно «Поиск решения»

    По  нажатию на кнопку «Выполнить» появляется диалоговое окно, которое показывает, найдено или не найдено оптимальное  решение задачи (рис 2.4). Также здесь  можно выбрать дополнительные отчеты о результатах решения.

    

 

    Рис. 2.4 – Результаты поиска решения

    В итоге получаем оптимальное решение  рассматриваемой задачи (рис. 2.5).

    

    Рис. 2.5 – Результаты решения в режиме формул 

    Т.к. в данном случае решается задача целочисленного программирования, то можно сформировать только отчет по Результатам (рис. 2.6). 

    

    Рис. 2.6 – Отчет по результатам 

    Имеем оптимальное решение задачи целочисленного программирования:

        

    Т.о. необходимо закупить 3 станка первого  типа и 6 станков второго типа. В  результате суммарное максимальное производство составит 450 изделий. При  этом сумма затрат на приобретение составит 42 тыс. руб. 
 

    Задание 3.

    1. Записать сопряженную (двойственную) задачу к прямой задаче, которую  взять из задания 1. Прямую задачу  рассмотреть на поиск минимума. Показать отличие в записи  пары двойственных задач при  условии, что прямая задача  будет на поиск максимума.

    2. Решить симплексным методом (с  использованием симплексных таблиц) одну из пары двойственных  задач №2. Обосновать выбор модели  для применения симплексного  метода. Записать ответы для обеих  задач. Провести анализ и сделать  выводы по полученным результатам.

    Решение:

    1. Математическая модель прямой  задачи (на минимум):

      

    

    

    

    

    Приведем  задачу к стандартной форме:

      

    

    

    

    

    Составим  двойственную задачу:

    U_i – двойственные переменные

    2U₁ - 3₂ -3 U₃ => -1

    U₁ + 2U₂ -4U₃ => -2

    W= 14U₁ + 9U₂ -27U₃ à  min 

    Математическая  модель прямой задачи (на максимум):

      

    

    

    

    

    Приведем  задачу к стандартной форме:

      

    

    

    

    

    Составим  двойственную задачу:

    U_i – двойственные переменные

    2U₁ - 3₂ -3 U₃ => 1

    U₁ + 2U₂ -4U₃ => 2

    W= 14U₁ + 9U₂ -27U₃ à  min

    При переориентации целевой функции  прямой задачи в двойственной задаче меняются только знаки правой части  системы неравенств.

    2. Прямая задача линейного программирования  имеет вид:

    6x₁+4x₂ <= 42

    12x₁+6x₂ <= 74

    x₁=>0  x₂=>0

    F=70x₁+40x₂ à max

    Составим  двойственную задачу:

    U_i – двойственные переменные

    6U₁ + 12U₂ => 70

    4U₁ + 6U₂ => 40

    U₁=>0,  U₂=>0

    W= 70U₁ + 40U₂ à  min

    Используя симплекс-метод, найдем оптимальное  решение прямой и двойственной задачи. Заносим исходные данные в симплекс-таблицу: