Теорема Пифагора

    

= +

    Теорема доказана.

3. Доказательство Евклида:

    Доказательство  Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал". На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL - квадрату АС КG. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD и Р_FBC = P_ABD. Но S_ABD = 1/2 S_BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S_FBC = 1/2 S_ABFH (BF-общее основание, АВ - общая высота). Отсюда, учитывая, что S_ABD = S_FBC , имеем S_BJLD = S_ABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что S_JCEL = S_ACKG. Итак, S_ABFH + S_ACKG = S_BJLD + S_JCEL = S_BCED, что и требовалось доказать.

    

    Доказательство  Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли "ходульным" и "надуманным". Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги "Начал". Для того, чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь. 

 

     ВАРИАЦИИ И ОБОБЩЕНИЯ

    Если  вместо квадратов построить на катетах  другие подобные фигуры, то верно следующее обобщение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике сумма площадей подобных фигур, построенных на катетах, равна площади фигуры, построенной на гипотенузе.

    В частности:

      Сумма площадей правильных треугольников,  построенных на катетах, равна  площади правильного треугольника, построенного на гипотенузе.

    Сумма площадей полукругов, построенных на катетах (как на диаметре), равна  площади полукруга, построенного на гипотенузе. Этот пример используется при доказательстве свойств фигур, ограниченных дугами двух окружностей и носящих имя гиппократовых луночек. 

    ПРИМЕНЕНИЕ  ТЕОРЕМЫ

     Рассмотрим примеры практического  применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости.

• Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом, d²=2a², d=a .  
  

 

• Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d²=a²+b²

    

• Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом имеем a² = h² + (a/2)², или h² = (3/4)a². Отсюда вытекает h= /2 a.  
  
• Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией. На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали основания равна d²=2a², d=a ). Отсюда имеем d²=a²+( a )², d²=3a², d=a .
• Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a,b,с и получить для диагонали выражение d² = a ²+ b ²+ c².
• Исследуем пирамиду, например, такую, в основании которой лежит квадрат и высота которой проходит через центр этого квадрата (правильную пирамиду). Пусть сторона квадрата - а, и высота пирамиды - h. Найдем s (длину боковых ребер пирамиды). Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов - высота h, а другой - половина диагонали квадрата(1/2*a ). Вследствие этого имеем: s² = h ²+ (1/2*a )² или s² = h ²+ 1/2a². Затем можем вычислить высоту h1 боковых граней. h1²= h ²+ (1/2а)² или h1²= h ²+ 1/4а².

    Считать эти приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка. Если, например, рассматривать нашу четырехугольную пирамиду как крышу башни, то в первом нашем вопросе речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ. Заметим, что расчет площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит:  
"Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила !"

 

     
 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны:

1. ширине окна (b) для наружных дуг
2. половине ширины, (b/2) для внутренних дуг. 
   Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. d=b-b/2=d/2 и, следовательно, радиус равен r=d/2=b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.  
   В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем:

    (b/4+p)²=( b/4)²+( b/2-p)² или b²/16+ bp/2+p²=b²/16+b²/4-bp+p²,откуда bp/2=b²/4-bp.

    Разделив  на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)p=b/4, p=b/6.

 

    

    ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    В заключении еще раз хочется сказать  о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.  
ЛИТЕРАТУРА

1. Акимова С. Занимательная математика, серия "Нескучный учебник". – Санкт-Петербург. : "Тригон", 1997.
2. Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993.
3. Газета "Математика" № 17, 1996.
4. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 12-е изд. – М. : Просвещение, 2002.
5. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1981.
6. Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961.
7. Журнал "Квант" № 2, 1992.
8. Журнал "Математика в школе" № 4, 1991.
9. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
10. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. М., 1963.
11. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1995.
12. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.
13. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 1978.
14. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Педагогика-Пресс, 1997.
15. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. ред. М.Д. Аксёнова. – М.: Аванта+, 1998.
16. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М., 1997.

 

    

    Приложение 

    Союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма– пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.

    

 
 

    У немецкого поэта Гёте в трагедии "Фауст", которую вы будете изучать на уроках литературы, описывается случай, когда дьявол Мефистофель проник в жилище учёного Фауста, потому что пентаграмма на его доме была плохо начерчена, и промежуток в уголке остался.

    Этот  пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: поворотной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72º. Именно это тип симметрии  наиболее распространён в живой природе у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни, груши, яблони, малины, рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в животном мире, например, у морской звезды и панциря морского ежа. 
 
 
 

    

 

    

 

      

    Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит  его имя.

    Предполагают, что во времена Пифагора теорема  звучала по-другому: "Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах". Действительно, с² – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а² и b² – площади квадратов, построенных на катетах. 

    

 
 

    Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.