Теорема Пифагора

  Такое, казалось бы, скудное питание не помешало философу прожить долгую жизнь. Учёные считают, что он вычислял, проповедовал и философствовал около ста лет. Но сам он постоянно заявлял, что  прожил много жизней...

  Он  был первым человеком, который назвал себя философом. До него умные люди называли себя гордо и несколько высокомерно - мудрецами, что означало - человек, который знает. Пифагор же назвал себя философом - тем, кто пытается найти, выяснить.

  Пифагорейцы пытались применять математические открытия Пифагора к умозрительным физическим построениям, что приводило к любопытным результатам. Они полагали, что любая планета, обращаясь вокруг Земли, проходя при этом сквозь чистый верхний воздух, или "эфир", издаёт тон определённой высоты. Высота звука меняется в зависимости от скорости движения планеты, скорость же этого движения зависит от расстояния до Земли. Сливаясь, небесные звуки образуют то, что мы называем "гармонией сфер", или "музыкой сфер", ссылками на музыку сфер литература усыпана, как императорская корона бриллиантами. Ранние пифагорейцы были убеждены, что Земля плоская и находится в центре космоса. Позднее они "поумнели" и стали считать, что Земля имеет сферическую форму и вместе с другими планетами, включая и Солнце, обращается вокруг центра космоса, так называемого "очага".

  Недоброжелателям  Пифагора, обеспокоенным растущей популярностью  его учений, всё же удалось изгнать  его в Метапонт, где он и умер. Орден же правил в Кротоне ещё почти столетие, пока не был разгромлен. Существует и другая версия его смерти, согласно которой считается, что он покончил жизнь самоубийством.

  Несправедливо думать, что пифагорейцы оставили после себя только заблуждения. Они  совершили массу открытий в математике и геометрии. Многие их открытия использовал в "Началах" Эвклид. Пифагорейские идеи проникли в Афины, они были приняты Сократом, позже переросли в мощное идейное движение, возглавленное великим Платоном и его учеником Аристотелем.

  Но  вернёмся к математике. Пифагорейцы были увлечены построением правильных геометрических фигур с помощью циркуля и линейки. Увлечённые этим "строительством" они выстроили фигуры вплоть до правильного пятиугольника и озадачились тем, как с помощью всё тех же циркуля и линейки построить следующую правильную фигуру - семиугольник? Надо сразу же сказать, что это им не удалось.

 

    

    ИСТОРИЯ ТЕОРЕМЫ

    

    500–200 до нашей эры. Слева надпись:  сумма квадратов длин высоты  и основания есть квадрат длины  гипотенузы.

    Традиционно авторство теоремы приписывают греческому философу и математикуПифагору, хотя сохранились убедительные свидетельства того, что теорема была известна задолго до него.

    Открытие  и понимание теоремы протекало  в несколько этапов:

• Алгебраическое наблюдение существования Пифагоровых троек (прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами), то есть численная проверка того, что квадрат длины гипотенузы оказывается равным сумме квадратов длин катетов.
• Более глубокое понимание теоремы, связанное с понятием площади, и основанные на этом доказательства, например, доказательства путём перестановки.
• Доказательства, основанные на Евклидовой геометрии, в частности, доказательство методом подобия треугольников, а также доказательство Евклида.

    Согласно  комментариям Прокла к трудам Евклида, Пифагор (569—475 гг. до н. э.), использовал алгебраические методы для конструкции Пифагоровых троек. Комментарии Прокла датируются 410 и 485 годами до н. э. соответственно. Примечательно, что известный английский историк математики Хиф, полагает, что не существует убедительных доказательств в пользу Пифагора на протяжении 5 столетий после его жизни на предмет авторства теоремы. В то же время, такие известные авторы, как Плутарх и Цицерон, приписывают авторство теоремы именно Пифагору, в соответствии с этими источниками можно сделать вывод о том, что авторство Пифагора было широко известно и не подвергалось сомнению.

    Исторический  обзор начнем с древнего Китая. Здесь  особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении  так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

    "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

    В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним  из чертежей индусской геометрии Басхары.

    Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство

    3² + 4²= 5²

    было  известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

    По  мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

    Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку  длиною в 12 м. и привяжем к ней  по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

    Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

    "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

    Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.  

    ФОРМУЛИРОВКИ  ТЕОРЕМЫ

    Приведем  различные формулировки теоремы  Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

    У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

    Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

    В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так : "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

    В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

    В современном исполнении теорема Пифагора звучит так:

     "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: ".

    Или так: "Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе".

    В настоящее время известно, что  эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное докзательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности.   

    ДОКАЗАТЕЛЬСТВА  ТЕОРЕМЫ

    В современном исполнении теорема Пифагора звучит так:

     "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: ".

    Или так: "Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе".  

    Рассмотрим прямоугольный треугольник площадью S.

    

    Из чертежа видно, что два квадрата, построенные на его катетах a и b, плюс 4 исходных треугольника (левый рисунок) в сумме дают ту же площадь, что и квадрат, построенный на гипотенузе c , плюс 4 тех же исходных треугольника (правый рисунок).  

 

    

1. Простейшее доказательство:

    Простейшее  доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два.

    

    Теорема доказана.

2. Современное доказательство:
1. Доказать: = .

      Доказательство. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла: cos A =  = . Отсюда AB * AD = . Аналогично cos В = = .

    Отсюда  AB * BD = . Складывая полученные равенства почленно и замечая, что

      AD + DB = AB, получим: = AB(AD + DB) = .

    Теорема доказана.

2. Дано: АВС – прямоугольный треугольник;  a, b – катеты;  с – гипотенуза.

 

          Доказать: = +

                Доказательство. Достроим треугольник до квадрата со стороной  a + b так, как показано на рисунке. Площадь S этого квадрата равна (a + b)². С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна a * b, и квадрата со стороной с, поэтому S = 4 * ab + .

    Таким образом, (a + b)² = 2ab + , откуда