Сутність динамічної теорії хаосу

У процесі розвитку, що складається з циклічно повторюваних стадій еволюції та стрибків, система  постійно переходить зі стійкого стану  до хисткого та навпаки. Структурна і  функціональна стійкість формується у процесі адаптації системи до нових зовнішніх і внутрішніх умов, що змінилися в результаті катастрофи, і зберігається протягом більшої частини еволюційної стадії.  
Зміна еволюційного і біфуркаційного етапів розвитку систем, їхньої стійкості і нестійкості відбувається циклічно. Кожна система має не тільки циклічні процеси, зумовлені її природою, а й цикли, що нав’язуються їй середовищем (наприклад, зміна пори року, дня і ночі, місячних фаз, циклів економічної кон’юнктури і т. ін.). При цьому «зовнішні» цикли більш стабільні і стійкі, а цикли внутрішнього походження можуть змінюватися під їхнім впливом у результаті синхронізації — здатності систем найрізноманітнішої природи виробляти єдиний ритм спільного існування, незважаючи навіть на слабкий взаємозв’язок між ними.

 
Сценарії переходу до хаосу.  

Під сценарієм переходу до хаосу розуміють послідовність  біфуркацій при зміні деякого  керуючого параметра  , що призводить до встановлення в системі хаотичного руху. 

Нехай при  на фазовому портреті існує стійка стаціонарна точка (стійкий фокус або вузол). Спільним першим кроком усіх сценаріїв переходу до хаосу є те, що при зростанні відбувається біфуркація і система втрачає рівновагу, відбувається її самозбудження. Подальші біфуркації визначаються конкретним сценарієм. 

Слід вказати, що в  реальних системах звичайно існує декілька керуючих параметрів, тому до того самого стану хаотичного руху можна прийти різними шляхами. Отже, поняття сценарію переходу до хаосу має до певної міри умовний характер. Тим не менше воно досить поширене в літературі. 

На сьогоднішній день, як можна думати, відомі ще не всі  можливі сценарії переходу до хаосу. Нижче ми зупинимося на трьох найбільш вивчених і поширених.

Сценарій Рюеля - Такенса.  

Після біфуркації відбувається збудження коливань із ще одною частотою, потім - іще з одною. У фазовому просторі утворюється відповідно спочатку двовимірний, а потім тривимірний тор. Але, як показали Рюель і Такенс, таке утворення є нестійким, і зображуюча точка спонтанно перестрибує на дивний атрактор - рух системи стає хаотичним.

Сценарій Фейгенбаума  

У цьому сценарії після біфуркації при деякому значенні керуючого  параметра  відбувається подвоєння періоду коливань (рис.2.6.4), при більшому значенні - наступне подвоєння періоду, і так далі. Послідовність збігається до деякого значення , при переході через яке період коливань формально стає нескінченно великим, а рух системи - відповідно хаотичним.

 

 Явище універсальності Фейгенбаума полягає в тому, що незалежно від конкретного типу динамічної системи, для якої відбувається перехід до хаосу за даним сценарієм, швидкість збігання послідовності виявляється тією самою:

,    

де  - константа Фейгенбаума.

Сценарій Помо - Манервіля.  

Після біфуркації зростання  керуючого параметра призводить до того, що автоколивання стають уривчастими: ділянки регулярних коливань перериваються сплесками хаотичного руху (явище переміжності). При подальшому зростанні керуючого параметра тривалість регулярних ділянок зменшується.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Дана робота актуальна  на даний момент, адже теорія динамічного хаосу та і теорія хаосу взагалі має дуже багато невизначеностей, хоч і є однією з найбільш актуальних розділів математичної науки, особливо беручи до уваги сучасні реалії та швидкість розвитку науки в цілому.

Обєктом даної роботи є теорія динамічного хаосу.

Мета роботи – узагальнення інформації по темі та структуризація знаннь.

В дані роботі я проаналізував  основну інформацію про теорію динамічного  хаосу, напрямки її застосування в економіці  та сценарії переходу до стану хаосу. Як основне джерело використовувались як роботи таких вчених як А.Ю., та роботи Кузнецова С.П. та інтернет статті.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорія динамічного  хаосу та напрямки її застосування в економіці. Сценарії переходу до хаосу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

План:

1. Сутність динамічної теорії хаосу
2. Теорія динамічного хаосу в економіці.
3. Сценарії переходу до хаосу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список літератури:

Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского про-фессора: Учеб. пособие. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований,2002, 144 с. 4

Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в  динамических системах. Основы теории.–  М:Постмаркет, 2000, 352 с. 32

Кузнецов С.П. Динамический хаос.–  М.: Наука, 2000, 295 с

Табор М. Хаос и интегрируемость  в нелинейной динамике.– 318 с.

Кузнецов С.П. Динамический хаос 2001. -296 с.

Інтернет джерела.