Сутність динамічної теорії хаосу

1) Сутність динамічної  теорії хаосу

Тео́рія хао́су — підрозділ математики та фізики, який займається дослідженням систем, динаміка яких, за певних умов, значною мірою залежить від початкових умов, що робить довгострокове прогнозування неможливим. Через те що, з одного боку, динаміка поведінки таких систем відповідає законам фізики, а, з іншого, виглядає нерегулярною, вона називається детермінованим хаосом Хаотичні системи є нелінійними динамічними системами. Як приклад можна назвати ефект метелика для погоди, турбуленцію, кругообіг капіталу, певні процеси утворення візерунків, такі як ерозія, нейромережі, та, нарешті, поведінка людини.

Розвиток теорії хаосу  супроводжувався значним інтересом. Але, на жаль, пов'язані із нею, часто  перебільшені, сподівання, не вдалось справдити. Через це, популярного серед широкого загалу поняття Теорія хаосу у фахових колах швидше уникають. Серед основних результатів досліджень, є побудова певних універсальних структур та принципів в очевидно нерегулярній поведінці хаотичних систем, як, наприклад подвоєння періоду при переході в хаос, і, так звані, дивні атрактори.

Щоб зрозуміти сутність саме динамічної теорії хаосу, потрібно звернутися до теорії динамічних систем.

Динамі́чна  систе́ма — математична абстракція, призначена для опису і вивчення систем, що еволюціонують з часом. Прикладом можуть служити механічні системи (рухомі групи тіл) або фізичні процеси.

Реальним фізичним системам, модельованим математичним поняттям «Динамічної  системи», приписується важлива властивість детермінованості: знаючи стан системи в початковий момент часу, ми можемо однозначно передбачити всю її подальшу поведінку. Фазовим простором динамічної системи називається множина всіх її можливих станів у фіксований момент часу. Звичайний стан системи задається деяким набором чисел (фазових координат) і є областю в багатовимірному просторі або многовид. Еволюція системи представляється як рух точки фазового простору. Крива, що описується цією точкою називається фазовою кривою або фазовою траєкторією.

Реальним фізичним системам, модельованим математичним поняттям «Динамічної системи», приписується важлива властивість детермінованості: знаючи стан системи в початковий момент часу, ми можемо однозначно передбачити всю її подальшу поведінку. Фазовим простором динамічної системи називається множина всіх її можливих станів у фіксований момент часу. Звичайний стан системи задається деяким набором чисел (фазових координат) і є областю в багатовимірному просторі або многовид. Еволюція системи представляється як рух точки фазового простору. Крива, що описується цією точкою називається фазовою кривою або фазовою траєкторією.

Маючи якесь завдання динамічної системи, далеко не завжди можна знайти і описати її траєкторії в явному вигляді. Тому зазвичай розглядаються  простіші (але не менш змістовні) питання про загальну поведінку системи. Наприклад:

• Чи є у системи замкнуті фазові криві, тобто чи може вона повернутися в початковий стан в ході еволюції?
• Як влаштований атрактор системи, тобто множина у фазовому просторі, до якого прагнуть «більшість» траєкторій?
• Як поводяться траєкторії, випущені з близьких точок, — чи залишаються вони близькими або йдуть з часом на значну відстань?
• Що можна сказати про поведінку «типової» динамічної системи з деякого класу?
• Що можна сказати про поведінку динамічних систем, «близьких» до даної?

Отже, як не важко здогадатися  теотія динамічного хаосу являє  собою симбіоз між теорією  таосу та теорією динамічних систем.

Динамічний хаос - явище в теорії динамічних систем, при якому поведінка нелінійної системи виглядає випадковим, незважаючи на те, що воно визначається детерміністичних законами.

Причиною появи хаосу є нестійкість (чутливість) по відношенню до початкових умов і параметрів: мале зміна початкової умови з часом призводить до як завгодно великим змінам динаміки системи. 
Так як початковий стан фізичної системи не може бути задане абсолютно точно (наприклад, через обмеження вимірювальних інструментів), то завжди необхідно розглядати деяку (нехай і дуже маленьку) область початкових умов. При русі в обмеженій області простору експоненціальна росходженість з плином часу близьких орбіт призводить до перемішування початкових точок по всій області. 
Після такого перемішування безглуздо говорити про координаті частки, але можна знайти ймовірність її знаходження в деякій точці. 
Зворотним, в деякому розумінні, до динамічного хаосу є динамічна рівновага і явища гомеостазу. 
Де лежить межа між регулярною, але складно організованою структурою (тобто порядком) та безладом? Часто під безладом мається на увазі прояв системою якісно нового режиму - хаосу. Критерієм появи такого режиму може служити стійкість виникають у системі утворень по відношенню до малих збурень. Якщо така стійкість відсутня, детермінований опис втрачає сенс, і необхідно використовувати статистичні методи. 
Однак, як показали численні дослідження, статистичні закони, а разом з ними і статистичний опис відносяться не тільки до дуже складних систем з великим числом ступенів свободи. Справа тут не в складності досліджуваної системи і не в зовнішніх шумах, а в появі при деяких значеннях параметрів експоненційної нестійкості руху. 
Вперше ця концепція отримала суворе обгрунтування на найпростішої моделі статистичної механіки - більярді. Добре відомо, що до систем, що відповідають більярд, зводиться ряд завдань статистичної фізики. По суті, математичний плоский більярд являє собою звичайний більярд, тільки з довільною конфігурацією столу і без луз. Виявляється, що в залежності від форми кордону навіть чисто детермінована система з двох куль (!) Може мати властивість хаотичності. 
Які ж закони керують хаосом? Чи можливо створити математичний апарат, що дозволяє несуперечливо описувати хаотичну динаміку і передбачати появу хаосу в тих чи інших системах? Нарешті, чи можна знайти методи передбачення поведінки хаотичних систем? Відповідями на ці та ряд інших питань займається так звана теорія динамічного (або детермінованого) хаосу, є одним з розділів нелінійної динаміки. До теперішнього часу розроблені методи класифікації різних типів хаосу, знайдені закономірності його розвитку, створені техніки, що дозволяють відрізнити (наприклад, в експерименті) хаос від білого шуму, і т. п. Більш того, було виявлено та суворо обгрунтовано, що складне просторово-часове поведінку розподілених середовищ з величезним числом ступенів свободи може бути адекватно описано нелінійними системами невеликий розмірності. 
Як відомо, математичним чином сталих періодичних коливань є граничний цикл.  
Цикли можуть бути стійкими і нестійкими. Стійкі цикли є прикладами атракторів, оскільки вони "притягують" всі близькі траєкторії. Фізично це означає, що при відхиленні від таких коливань система через деякий час знову повертається до них. Коливання маятника - стійкий цикл. 
Якщо ж система проявляє хаотичні властивості, це відповідає наявності в її фазовому просторі більш складного, ніж цикл, освіти: дивного (іноді кажуть: хаотичного) аттрактора. Дивний аттрактор - це безліч дуже складної геометрії, до якого притягуються проходять поблизу від нього траєкторії. Дане поняття вперше було введено у відомій роботі Д. Рюель і Ф. Такенса "Про природу турбулентності" у 1971 році. 
Дослідження нелінійних динамічних процесів в математиці і фізиці показали, що хаотична поведінка в системах з невеликим числом ступенів свободи дуже типово. Таким чином, проблема передбачуваності стала загальною для багатьох напрямів сучасної науки. У зв'язку з цим останнім часом стало інтенсивно розвиватися новий напрямок в нелінійній динаміці та синергетики, присвячене проблемам передбачуваності поведінки хаотичних систем, управління їх динамікою і можливості придушення хаосу. На цьому шляху вдається знайти підходи до таких додатків, як обробка інформації, прихований зв'язок (тобто пересилання зашифрованих повідомлень), стабілізація невпорядкованих скорочень серцевого м'яза і дефібриляція, прогноз динаміки фінансових ринків та ін

2) Теорія динамічного хаосу в економіці

Однією з праць, у  якій викладено теоретичні основи теорії хаосу стосовно фінансового ринку і корпоративних фінансів, є книга американського математика-економіста Едгара Петерса, опублікована в 1990 р. Сама назва праці — «Хаос і порядок на ринках капіталу» свідчить про надзвичайну складність у розвитку ринку капіталу. У ній викладено новий аналітичний підхід до вивчення циклів, цін і мінливості ринків з позицій нелінійної економічної динаміки (економічної синергетики). Як пише Петерс, він вивів «свою пояснювальну міць із праць А. Н. Колмогорова».

Теорія хаосу і невизначеності з’явилась і розвивається на основі вищої математики. У процесі вивчення дисципліни «Фінанси зарубіжних корпорацій» не ставиться завдання широкого ознайомлення з математичними основами теорії. Ми розглянемо ряд теоретичних положень, використовуваних у процесі аналізу ринку капіталу на основі нелінійної парадигми. Почнемо з основних термінів нової теорії.

У літературі немає універсального визначення поняття «математичний хаос». Проте всі дослідники проблеми сходяться на тому, що будь-який вид хаосу має властивість непередбачуваності. Вона називається істотною залежністю від початкових умов. Дослідники зазначають, що хаос є характерною рисою детермінованих динамічних систем. Складність полягає в тому, що ніхто не може мати всеосяжної інформації про ці початкові умови. Турбулентність розвитку ринку може здатися випадковою, але передумови її виникнення були закладені раніше. Питання полягає лише в тому, чи були відомі передумови турбулентності.

Фрактал — від лат. frangere, що означає ламати, і лат. fractus, що означає створювати іррегулярні  фрагменти. Цей термін показує, що досліджувані об’єкти мають зламаний, фрагментарний характер, вони фрактальні.

Математичне поняття  фрактала розробив американський математик  Бенуа Мандельброт. За допомогою  фрактала можна виділити об’єкти  зі структурами різних масштабів, що відбивають ієрархічний принцип  організації. Фрактал — абстракція, ідеалізація дійсності, що дає можливість описати об’єкти, в яких частини певною мірою подібні цілому, тобто складові самоподібні. Поняття фрактала спочатку відносили до природних об’єктів і явищ. Б. Мандельброт писав у 1984 р. із цього приводу, що природа демонструє нам не просто вищий ступінь, а й зовсім інший рівень складності. Число різних масштабів довжин у структурах завжди нескінченне.

Похідними поняттями від фрактала є: фрактальна геометрія, фрактальна розмірність, фрактальний розподіл.

Фрактальна геометрія — метод опису природних об’єктів.

Фрактальна розмірність — число, що кількісно описує те, як об’єкт заповнює простір. В евклідовій (плоскій) геометрії  об’єкти суцільні й безперервні  — вони не мають отворів або  проміжків. Як такі вони мають цілочислові розмірності. Фрактали грубі і часто переривчасті подібно зім’ятому шматку паперу і тому мають дробову, або фрактальну, розмірність.

Фрактальний розподіл — є функцією щільності ймовірностей, яка статистично  самоподібна. Це означає, що в різноманітних інтервалах часу статистичні характеристики залишаються однаковими.

Усі зазначені категорії застосовуються в аналізі ринку.

Теорія хаосу і фракталів  пов’язана з теорією складності. Сутність цього зв’язку полягає  в тому, що хаос і фрактали є підмножиною теорії складності, яка описує процеси і явища з множиною незалежних одна від одної чинних осіб, у дійсності тісно між собою пов’язаних. Складні об’єкти різняться в деталях, але подібні між собою в основних принципах. «Це означає, що вони локально випадкові, але глобально детерміновані. Вони — фрактальні».

Гіпотеза фрактального ринку

Гіпотеза хаосу і порядку  на ринках капіталу з’явилася під  впливом низки причин. Виявилася  слабкість гіпотези ефективного  ринку, що не могла пояснити раптові  зростання і падіння цін на фінансовому ринку. Потреба в нових теоретичних підходах привела до необхідності використовувати нові математичні теорії, а створення нових комп’ютерних технологій забезпечило їх упровадження.

Гіпотеза ефективного ринку  заснована на класичній концепції рівноваги в економіці і раціональній поведінці споживача й інвестора. Її розвивали багато видатних економістів — від Адама Сміта до Альфреда Маршалла, Джона Хікса, Поля Самуельсона та ін. Теорія рівноваги припускає, що якщо немає зовнішніх впливів, то економіка приходить у рівноважний стан. Екзогенні фактори порушують рівновагу, але внутрішні сили економічної системи знову повертають її до попереднього стану. Дослідники створили багато моделей рівноважної економіки на підставі лінійних методів математики. Проте прихильники класицизму не відхиляли нелінійної алгебри і нелінійних диференціальних рівнянь. Так, наприклад, лауреат Нобелівської премії з економіки 1972 р. Джон Хікс у своїх працях з теорії рівноваги використовував нелінійні рівняння для опису суспільних явищ. Модель Дж. Хікса містила можливість раптових зупинок, різких спадів і несподіваних піднесень. Західні дослідники фінансового ринку, крім теорії рівноваги, ввели в аналіз категорію «раціонального інвестора».

У практичному плані виявилася неможливість складання яких-небудь прогнозів розвитку ринку. Економічні прогнози в цілому настільки неповні, що лауреат Нобелівської премії з економіки 1973 р. Василь Леонтьев відзначив, що «ні в якій іншій галузі практичних досліджень не використовується такий величезний і складний статистичний механізм із такими малоцінними результатами».

Фрактали, як зазначає Бенуа Мандельброт, з’явились у науці для вивчення природи, вони — реальний інструмент для опису природних обсягів. Усе в природі хаотичне, подібне, відносне і невпорядковане. Ілля Пригожин стверджує, що рівновага гнітить будь-яку систему, жива природа її не терпить, щоб вижити, вона повинна розвиватися, еволюціонувати, тобто перебувати «далеко від рівноваги».

Ідеї нестійкості економіки, її циклічного розвитку, періодичних криз, фінансових крахів, банкрутств не нові. З розвитком нових математичних теорій вони набувають іншого змісту: необхідними умовами розвитку є хаос і невизначеність.

Едгар Петерс пише, що «ринкова відкрита економіка є еволюційною структурою. Спроби контролювати економіку, управляти  нею, тримати її в рівновазі приречені на провал… Рівновага припускає брак емоційних сил, таких як жадібність і страх, що слугують причиною економічної еволюції, яка полягає в пристосовуванні до нових умов… Якщо придушити пристрасті, то система втратить життєву силу, і в тому числі спроможність перебувати в стані, далекому від рівноваги, що необхідно для розвитку. Рівновага системи означає її смерть».

Ринок капіталів, мабуть, більше ніж  інші сфери економіки підходить  до цього висновку. Петерс у своїх  працях запропонував  
гіпотезу фрактального ринку. На його думку, треба ввести нелінійні методи дослідження фондового ринку, на підставі яких можна використовувати моделі з множиною можливих рішень.

У своєму дослідженні Е. Петерс вивів кілька важливих властивостей нелінійних динамічних систем. По-перше, це системи зі зворотним зв’язком. Явища або події, що відбуваються сьогодні, залежать від минулих. По-друге, існують критичні рівні, де має місце не один, а кілька станів рівноваги. По-третє, ця система є фракталом, окремі частини системи подібні між собою. По-четверте, у системі існує залежність від початкових умов.

Ринки капіталів мають усі зазначені  вище властивості нелінійних динамічних систем, тому в процесі їх функціонування можуть з’являтися такі процеси:

Наведена вище характеристика гіпотези фрактального ринку свідчить про  ускладнення і поглиблення теорії розвитку ринків. У західній літературі зазначалося, що гіпотеза ефективного  ринку поставила багато запитань і на багато з них не дала відповіді. Очевидно, гіпотеза фрактального ринку поставила ще більше запитань і також багато з них залишаються без відповіді. Проте достоїнством цієї теорії є постановка питання про ринкові прогнози та їх якість.

Непередбачуваність як одна з характеристик динамічної системи

Ринок являє собою динамічну систему. Для теоретиків і практиків важливою проблемою є виявлення можливостей її розвитку й складання прогнозів. Суб’єкти фінансового ринку завжди намагалися, наскільки це можливо, заглянути вперед. Відповідно до лінійної парадигми на ринку формується ціна рівноваги, тобто ринок передбачуваний. Проте багато дослідників із цим положенням гіпотези ефективного ринку не погоджуються, посилаючись на різноманітні аномалії і непередбачені стрибки цін. Нелінійна парадигма, заснована на теоріях фракталів і складності, вивчає причини переходу від усталеності, тобто рівноваги, до турбулентності, доводить хаотичність ринку і перехід від рівноваги до невизначеності.