Сутність динамічної теорії хаосу

З цього робиться висновок про можливе прогнозування на короткі відрізки часу і неможливість довгострокових прогнозів. У XIX ст. Анрі Пуанкаре писав, що мала помилка на попередньому етапі розрахунків може надалі викликати величезну помилку, тому передбачити майбутній розвиток неможливо. Сучасні дослідники на цій основі виявили так званий «ефект істотної залежності від початкових умов» і зробили висновок про те, що динамічним системам властива непередбачуваність у довгостроковій перспективі. У західній літературі називають дві причини непередбачуваності.

Перша причина полягає в тому, що складні динамічні системи  характеризуються зворотним зв’язком. Це означає, що мала помилка на попередньому етапі викликає помилку на виході, потім ці вихідні дані знову потрапляють  на вхід і все це повторюється кілька разів або до нескінченності. Різниця початкових величин зростає не прямо пропорційно, а за експонентом.

У літературі наводиться приклад ефекту суттєвої залежності від початкових умов, що став уже  класичним. Едвард Лоренц, американський  учений з Массачусетського технологічного інституту, працював над побудовою комп’ютерної метеорологічної моделі. Принцип моделі полягав у тому, що в комп’ютер уводилася інформація про стан погоди, на підставі якої складався короткочасний прогноз. Отримані дані вводилися в комп’ютер для наступних прогнозів. В один із днів своєї роботи в 1961 р. Лоренц вирішив перевірити попередні розрахунки, але для швидкості роботи комп’ютера вирішив увести округлені старі значення. Раніше розрахунки велись із шістьма порядками після коми, тепер вони були замінені на три порядки після коми. Едвард Лоренц вважав, що незначні похибки не змінять раніше створену модель. Проте отримані результати відрізнялися від старих, більше того, у міру подальших розрахунків вони втратили будь-яку схожість із попередніми. Математичний феномен, відкритий випадково (випадок — бог винахідник!), Лоренц назвав «ефектом метелика». У своїй статті «Передбачуваність: чи може помах крилець метелика в Бразилії викликати торнадо в Техасі?» він показав, що давати довгострокові прогнози погоди неможливо і ніколи не буде можливим.

Якщо звернутися до нашої економічної теми, то можна, наприклад, поставити таке питання: чи може маленька бабуся, що продає кілька облігацій у Брюсселі, стати причиною краху на японській фондовій біржі?

Колапси на ринках також  пояснюються накопиченням критичних  рівнів, які в системі важко  передбачити. Падіння попиту на акції  може тривати до певного моменту, після якого починається масове «скидання», паніка, всі учасники ринку тільки продають, і ніхто не купує. У цей певний момент був проданий черговий лот акцій, але не можна вважати, що саме він був причиною краху, цей колапс також був нелінійною реакцією, і немає зв’язку між проданим черговим лотом і панікою, крахом, який відбувся на фондовому ринку.

Фрактальна розмірність

У процесі дослідження  фрактального ринку використовуються нові методи дослідження ринку капіталів, засновані на нелінійності динамічних систем. Для прикладу, ознайомимося з двома методами: фрактальної розмірністю й обчисленням показника Херста.

Е. Петерс наводить приклад, який розкриває переваги показника фрактальної розмірності порівняно зі стандартним відхиленням при побудові моделей прибутку за двома акціями.

Таблиця 14.1

Стандартне відхилення порівняно Із фрактальною розмірністю

Статистичний ряд за акцією S1 не має визначеного тренду за накопиченого прибутку +1,93, тоді як за акцією S2 ряд розподілений ненормально  з вираженим трендом за накопиченого прибутку +22,83. Проте стандартні відхилення майже однакові: 1,70 — за S1 і 1,71 — за S2. Отже, дві акції з фактично однаковими показниками волатильності мають різні характеристики прибутків за акціями. Едгар Петерс робить висновок, що використання показника стандартного відхилення для порівняння ризиків некоректне. Кращим показником є фрактальна розмірність, на підставі якої можна скласти інше уявлення про акції.

Наведемо формулу фрактальної  розмірності:

,

де N — кількість самоподібних частин, які виникають у разі збільшення лінійних розмірів вихідної фігури в r разів.

Фрактальна розмірність  за акцією S1 становить 1,41, за акцією S2 — 1,13. Показники за акцією S1 за п’ять років змінювалися нерівномірно, тоді як за акцією S2 спостерігається стійкий розвиток, тобто ряд S1 «явно зазубрений порівняно з S2 і його фрактальна розмірність якісно відмінна».

Показник Херста

Показник Херста — Н — міра зсуву в частково броунівському русі. Показник Н використовується для вимірювання впливу інформації на тимчасовий ряд даних. Н, що дорівнює 0,5, підтверджує гіпотезу ефективного ринку: «ринок не має пам’яті». Учорашні ціни не впливають на сьогоднішні, а сьогоднішні не можуть вплинути на формування цін у майбутньому. Якщо показник Н перевищує 0,5, то це означає, що вчорашня інформація продовжує впливати на формування цін сьогодні. Едгар Петерс називає це явище «функцією довгострокової пам’яті, що обумовлює інформаційний вплив протягом великих періодів часу і виявляється стосовно будь-якого тимчасового масштабу». Отже, у разі збільшення показника Н понад 0,5 аргументи авторів гіпотези ефективного ринку спростовуються.

Період впливу визначається довжиною циклу. Відповідно до термінів, прийнятих у статистиці, — це час декореляції ряду. Для щомісячних даних індексу Стендард енд Пур’з 500 довжина циклу становить у середньому 48 місяців. Це означає, що в термінах нелінійної динаміки протягом 48 місяців використовується інформація про попередній стан ринку. Особливе значення надається рішенням, які приймають менеджери, тобто «людському фактору».

На думку авторів  нової парадигми, гіпотеза ефективного ринку спрощує модель, крім впливу часу на прийняття рішень. З неї можна вивести тільки єдине рішення: досягти «оптимізації портфеля» або визначити «справедливу ціну». Тим часом, єдина «справедлива ціна» припускає «раціонального інвестора». Прагматично можна створити таку модель, проте насправді всі інвестори різні — зі своїми навичками, сумнівами, швидкістю реакції, відданістю справі, забобонами. У складні періоди різкого падіння цін інвестори, як і ринок у цілому, поводяться ірраціонально, з’являється так звана стадна поведінка.

Французький дослідник  Гастон Дефоссе відзначає, що гравці на біржі часто перебільшують  інформацію про наслідки очікуваних подій. Багато хто наслідують моді, наприклад, виявляють цікавість  до цінних паперів нафтових компаній або золотих копалень. Укладаючи угоду з купівлі-продажу, обидві сторони далеко не завжди вивчають стан ринку і рух валютного курсу. Учасники ринку можуть, наприклад, купувати акцію за номером, що дістався під час гри в рулетку, або згідно зі своїм власним настроєм, або після ознайомлення зі своїм гороскопом.

Отже, поведінка учасників  торгів залежить від безлічі факторів, які часто один від одного не залежать і які важко і зрозуміти, і  передбачити.

3. Сценарії переходу до хаосу.

Динамічні системи, як правило, повільно змінюють характер свого поводження внаслідок незначної зміни внутрішніх або зовнішніх параметрів. Однак можуть існувати такі критичні значення параметрів, при яких система зазнає якісної перебудови і, відповідно, різко змінюється динаміка системи, наприклад втрачається її стійкість. Такі критичні значення параметрів називаються точками біфуркації. 
Втрата стійкості відбувається, як правило, переходом від точки стійкості до стійкого циклу (м’яка втрата стійкості), виходом траєкторії зі стійкого стану (жорстка втрата стійкості), народженням циклів із подвоєним періодом тощо. З подальшою зміною параметрів можливе виникнення у фазовому просторі таких топологічних структур, як тор, а далі — дивних атракторів, тобто хаотичних процесів. 
Поводження всіх систем, що самоорганізуються, у точках біфуркації характеризується загальними закономірностями. Розглянемо найважливіші з них.

• Точки біфуркації часто провокуються зміною управляючих параметрів або підсистеми управління, що веде систему до нового стану.
• Потенційних траєкторій розвитку системи багато, і тому точно спрогнозувати, до якого стану перейде система після прохо- 
  дження точки біфуркації, неможливо. Це пояснюється тим, що вплив середовища має випадковий характер.
• Вибір траєкторії розвитку може бути також пов’язаний з життєздатністю і стійким типом поводження системи. Відповідно до принципу стійкості серед можливих форм розвитку реалізуються лише стійкі, а хисткі якщо й виникають, то швидко руйнуються.
• Підвищення розмірності та складності системи спричинюється до збільшення кількості станів, за яких може відбуватися стрибок (катастрофа), і кількості можливих шляхів розвитку, тобто чим різнорідніші елементи системи і складніші її зв’язки, тим вона хисткіша.
• Чим більше система нерівноважна, тим більшу кількість можливих шляхів розвитку вона може вибирати в точці біфуркації.
• Два близькі стани можуть породити зовсім різні траєкторії розвитку.
• Однакові траєкторії розвитку можуть реалізовуватися неодноразово. Наприклад, серед соціальних систем є суспільства, що багаторазово обирали тоталітарні сценарії розвитку.
• Часова межа катастрофи визначається «принципом максимального зволікання»: система робить стрибок тільки тоді, коли в неї немає іншого вибору.
• У результаті розгалуження (біфуркації) виникають граничні цикли — періодичні траєкторії у фазовому просторі, кількість яких тим більша, чим більш структурно хисткою є система.
• Катастрофа змінює організованість системи, причому не завжди в бік збільшення.

Отже, у процесі руху від однієї точки біфуркації до іншої відбувається розвиток системи. У кожній точці біфуркації система вибирає шлях розвитку, траєкторію свого руху.  
У точці біфуркації відбувається катастрофа — перехід системи від області притягання одного атрактора до іншого. Як атрактор може виступати і стан рівноваги, і граничний цикл, і дивний атрактор (хаос). Систему притягає один із атракторів і вона в точці біфуркації може стати хаотичною і зруйнуватися, перейти до стану рівноваги або вибрати шлях формування нової впорядкованості.  
Якщо система притягається станом рівноваги, вона стає закритою і до чергової точки біфуркації живе за законами, властивими закритим системам. Якщо хаос, породжений точкою біфуркації, затягнеться, стане можливим руйнування системи, внаслідок чого її компоненти рано чи пізно ввійдуть як складові до іншої системи і притягатимуться вже її атракторами. Якщо, нарешті, як у третьому випадку, система притягається яким-небудь атрактором відкритості, то формується нова дисипативна структура — новий тип динамічного стану системи, за допомогою якого вона пристосовується до умов навколишнього середовища, що змінилися.

У процесі свого розвитку довільна система проходить дві  стадії: еволюційну (або адаптаційну) і революційну (стрибок, катастрофа). Під час розгортання еволюційного процесу відбувається повільне нагромадження кількісних і якісних змін параметрів системи та її компонентів, відповідно до яких у точці біфуркації система вибирає один із можливих для неї атракторів. У результаті цього відбувається якісний стрибок, і система формує нову дисипативну структуру, що відповідає вибраному атрактору. 
Еволюційний етап розвитку характеризується наявністю механізмів, що гасять сильні флуктуації системи, її компонентів або середовища і повертають її до стійкого стану, властивого їй на цьому етапі. Через нагромадження в системі, її компонентах та зовнішньому середовищі змін здатність системи до адаптації спадає і зростає нестійкість. Поступово в системі зростає ентропія. Постає гостра суперечність між старим і новим у системі, а з досягненням параметрами системи і середовища біфуркаційних значень нестійкість стає максимальною і навіть малі флуктуації приводять систему до катастрофи — стрибка і переходу до стану хаосу. 
На цій фазі розвиток має непередбачуваний характер, оскільки він зумовлюється не тільки внутрішніми флуктуаціями (силу і спрямованість яких можна спрогнозувати, проаналізувавши історію розвитку і сучасний стан систе

Але насправді розвиток реальних систем включає  в себе не тільки прогресивні атрактори, а й атрактори деградації (які з часом можуть змінитися прогресом, а можуть і привести систему до краху) та руйнування. Розглянемо, коли можливий перехід до стану хаосу та руйнування системи. 
Загальносистемні умови:

• система гальмує процес переходу: зі збільшенням кількості нових ознак вона не змінює відповідно свого поводження через що ентропія її зростає, система перестає виконувати свої функції і дезорганізується;
• система вибирає неконструктивну траєкторію або сценарій розвитку, наприклад стає закритою;
• різко зменшується кількість компонентів, необхідних для функціонування;
• зростає кількість неефективних («баластових») компонентів.

Перехід системи може відбутися якщо:

• зазначені щойно умови деградації існують протягом тривалого часу, а зусилля з коригування структури й поводження системи або підсистеми управління недостатні, несвоєчасні, нерезонансні із системою тощо;
• зовнішнє середовище здійснює сильно впливає на систему;
• внутрішні флуктуації руйнують зв’язки між компонентами системи;
• внаслідок зовнішніх або внутрішніх флуктуацій система втрачає елементи, замінити які неможливо.