Существование и единственность решения дифференциального уравнения

Глава 3. Решение задач с помощью теоремы о единственности решения.

Задание №1.(№225 из [5]).

Пользуясь каким либо достаточным условием единственности, выделить области на плоскости x,y,  в которых через каждую точку проходит единственное решение уравнения

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Решение:

Для решения поставленной задачи мы будем использовать достаточное условие теоремыI описанной во II-й главе, а именно:

Пусть в замкнутой области R(, ) функции и непрерывны (требования непрерывности можно заменить требованием ее ограниченности или условием Липшица: где L=const). Тогда на некотором отрезке существует решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

а). Пусть за функцию мы возьмём . Эта функция непрерывна и ограниченна на любом заданном промежутке. => первое условие теоремы выполнено. Для проверки второго условия нам необходимо найти , поэтому . Находим =. Производная функции f также непрерывна и ограниченна на любом заданном промежутке. => существует единственное решение данного уравнения  на области ().

Ответ: через каждую точку проходит единственное решение уравнения на области ().

б) . Пусть за функцию мы возьмём . Эта функция непрерывна и ограниченна на любом заданном промежутке. => первое условие теоремы выполнено. Для проверки второго условия нам необходимо найти , поэтому . Найдём =. Производная функции терпит разрыв в точке

Ответ: через каждую точку проходит единственное решение уравнения на области ().

в). . Для начала нам необходимо выразить . получим .Пусть за функцию мы возьмём . Эта функция терпит разрыв в точке . Для проверки второго условия нам необходимо найти , поэтому . Найдём =. Производная функции терпит разрыв при ,

Ответ: через каждую точку проходит единственное решение уравнения на области ().

г) . Пусть за функцию мы возьмём. Эта функция терпит разрыв в точке y= . Для проверки второго условия нам необходимо найти , поэтому . Находим =. Производная функции f  терпит разрыв в точке x= .

Ответ: через каждую точку проходит единственное решение уравнения на области () кроме где k=0,

д) . Для начала нам необходимо выразить . получим .Данная функция терпит разрыв при y=x. Для проверки второго условия нам необходимо найти , поэтому . Найдём =. Производная функции терпит разрыв при y=x.

Ответ: через каждую точку проходит единственное решение уравнения на области () кроме x<0 и y=x.

е) . Для начала нам необходимо выразить . получим . Пусть за функцию мы возьмём . Эта функция терпит разрыв в точке x=0. Для проверки второго условия нам необходимо найти , поэтому . Найдём =. Производная функции терпит разрыв при  .

Ответ: через каждую точку проходит единственное решение уравнения на области ()кроме x=0,.

Задание №2.(№226 из [5]).

При каких неотрицательных нарушается единственность решений уравнения и в каких точках?

Решение:

Для решения поставленной задачи мы будем использовать достаточное условие теоремыI описанной во 2-й главе, а именно:

Пусть в замкнутой области R(, ) функции и непрерывны (требования непрерывности можно заменить требованием ее ограниченности или условием Липшица: где L=const). Тогда на некотором отрезке существует решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Т.о Нам необходимо доказать что уравнение имеет более одного решения!

Пусть нам дано уравнение. Тогда за обозначим а за . =. Рассмотрим варианты  при которых разные значения принимает как y так и а:

1.       Пусть y=0 и a>1. Тогда функции и непрерывны и ограниченны на любом ограниченном отрезке => существует только одно решение. Данный вариант нам не подходит.

2.       Пусть y=0, 0<a. Тогда , y=0 =>

Решаем обыкновенное ДУ с разделяющимися переменными

Взяв начальное условие мы найдём ещё одно решение

что противоречит теореме о единственности.

Ответ: при 0<aи y=0 нарушается единственность решения.

Задание №3.(№229 из [5]).

Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости x,y пересекаться в некоторой точке

а) для уравнения

б) для уравнения

Решение:

а) Так как функция f(x, y)=x + y2 непрерывна вместе со своей частной производной df/ду = 2у в любой конечной части плос­кости хОу, то, согласно теореме Пикара, через каждую точку проходит единственная интегральная кривая уравнения у' =, т. е. пересечение графиков двух его решений в этой точке невозможно.

Ответ: Пересечение графиков двух решений уравнения в точке невозможно.

б) В силу непрерывности функции f(x, у) = х + у2 и ее частных производных df/dy = 2у,

df/dy' = 0, через каждую точку (х0, у0 ,) проходит единственная интегральная кривая. Последнее, однако, не исключает того, что через точку (х0, ) проходят две различные инте­гральные кривые с различными угловыми коэффициентами касатель­ных к ним, т. е. пересечение графиков двух решений в некоторой точке (х0, ) возможно. Этот факт можно установить и непосредственно дважды проинтегрировав данное уравнение и приняв во внимание, что. Тогда получим

Очевидно, что любая кривая у(х) проходит через точку (х0, ), однако каждая из них имеет в этой точке «свою» касательную с угловым коэф­фициентом .

Ответ: Пересечение графиков двух решений в некоторой точке (х0, ) невозможно.

Задание №4.(№230 из [5]).

Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости x,y касаться друг друга в некоторой точке

а) для уравнения

б) для уравнения

в) для уравнения

Решение:

а) Так как функция f(x, y)=x + y2 непрерывна вместе со своей частной производной df/ду = 2у в любой конечной части плос­кости хОу, то, согласно теореме Пикара, через каждую точку проходит единственная интегральная кривая уравнения у' =,т.е. касание двух различных интегральных кривых в точке  невозможно в силу теоремы существования и единственности.

Ответ: Касание двух различных интегральных кривых в точке  невозможно.

б) Касание двух различных интегральных кривых означает, что через точку проходят две интегральные кривые уравнения у" = х + у2. В силу непрерывности функции f(x, у) = х + у2 и ее частных производных df/dy = 2у, df/dy' = 0, через каждую точку(х0, у0 ,) проходит единственная интегральная кривая. Последнее, однако, не исключает того, что через точку (х0, ) проходят две различные инте­гральные кривые с различными угловыми коэффициентами касатель­ных к ним, т. е. пересечение графиков двух решений в некоторой точке (х0, )  возможно. Этот факт можно установить и непосредственно дважды проинтегрировав данное уравнение и приняв во внимание, что. Тогда получим

Очевидно, что любая кривая у(х) проходит через точку (х0, ), однако каждая из них имеет в этой точке «свою» касательную с угловым коэф­фициентом , т. е. касание двух различных интегральных кривых невозможно в силу теоремы существования и единственности решения.

Ответ: Касание двух различных интегральных кривых в точке  невозможно.

в) Теорема единственности решения гарантирует существование в окрестности каждой точки единственной интегральной кривой уравнения . Она гарантирует также существование единственного решения и в окрестности точки . Следо­вательно, графики двух решений, проходящих через указанные точки, имеют общую касательную.

Ответ: Графики двух решений, проходящих через указанные точки, имеют общую касательную.

Задание №5.(№ из [5]).

Пусть непрерывна по x, y и при каждом x не возрастает при возрастании y. Доказать, что если 2 решения уравнения удовлетворяют одному и тому же начальному условию , то они совпадают при .

Решение:

Почленно вычитая из тождества тождество и вводя в рассмотрение функцию u, где (, получаем задачу

       (1)

которая имеет очевидное решение . Докажем, что других решений нет. Применим метод доказательства от противоположного. Пусть существует такое , для которого . Тогда, в силу непрерывности , найдутся такие два числа и , что при , причём, уменьшая , всегда можно иметь . Интегрируя в (1), получаем

     (2)

Поскольку при , то, в силу невозрастания функции по y, справедливо неравенство

       (3)

Принимая во внимание (3), из (2) находим, что при . Таким образом, пришли к противоречию, из которого следует, что функция , не может быть положительной ни при каком . Аналогично устанавливаем, что не может быть отрицательной. Следовательно, при всех

Ответ: Мы доказали что если 2 решения уравнения удовлетворяют одному и тому же начальному условию , то они совпадают при .

Литература

1.       Бермант А.Ф, Арманович И.Г «Краткий курс математического анализа» Москва: изд. Наука,1973г.

2.       Камке Э. «Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям» СПб.: изд. ЛАНЬ,2003г.

3.       Петровский И.Г «Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений» изд. Московского университета,1984г.

4.       Понтрягин Л.С «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Москва: изд. Наука,1982г.

5.       Филиппов А.Ф. «Сборник задач по дифференциальным уравнениям» Москва: изд. Наука,1992г.

14