Существование и единственность решения дифференциального уравнения

Содержание.

Глава 1. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений…….2

Глава 2. Теоремы о существовании и единственности решения ДУ……………………….4

2.1.Теорема Коши о существовании и единственности решения ДУ……………………...4

            2.2. Теорема Пеано о существовании и единственности решения ДУ…………………...6

             2.3.Теорема существования и единственности решения для уравнения n-го порядка..7

               2.4.Теорема Пикара о существовании и единственности решения………………...…8

                2.5.Теорема Осгуда о существовании и единственности решения…………………..8

Глава 3.Решение задач с помощью теорем о существовании и единственности решения ДУ……………………………………………………………………………………………………9

Литература……………………………………………………………………...............................15

Глава 1. Общие понятия и определения теории дифференциальных уравнений.

При изучении интегрального исчисления функций одной переменной мы сталкива­лись с необходимостью отыскивать неизвестную функцию у по ее производной  или дифференциалу.

Уравнение

y'=f(x)   или    dy = f(x)dx,                             (*)

где у — неизвестная функция от х, a f(x) — заданная непрерывная функция, является простейшим дифференциальным уравнением. Для его решения, т. е. для отыскания неизвестной функции у, нужно про­интегрировать данную функцию f(x). При этом, как известно, мы получим бесчисленное множество функций, каждая из которых будет удовлетворять условию (*). В этой главе нам удобнее будет под интегралом понимать какую-либо одну первообразную. Тогда любое решение уравнения (*) запишется в виде

Вскоре мы увидим, что гораздо чаще приходится иметь дело с уравнениями более сложного вида. Именно, в эти уравнения, помимо производной у' и независимой переменной х, может входить и сама неизвестная функция у. Примером тому служат уравнения

,, и т. д.

Заменяя у'   через , можно   эти   самые  уравнения   переписать в  дифференциальной  форме:

dy + х2у dx = 0,    xdy— ydx = 0,    xdy — (y+x)dx = 0.

Определение1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную  функцию  и  ее  производную.

Так как производную можно представить в виде отношения дифференциалов, то уравнение может содержать не производную, а дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Мы будем рассматривать только такие уравнения, в которых неизвестная функция зависит от  одного  аргумента (то есть рассматривать обыкновенные уравнения).

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде записывается так:

F(x,y,y') = 0.

В частных случаях в левую часть уравнения(если нет опасности смешения, мы вместо «дифференциальное уравнение»коротко будем говорить «уравнение») могут не входить х или у, но всегда обязательно входит у'. Нам придется в основном иметь дело с уравнениями,  разрешенными  относительно производной, т. е.   вида

Определение2. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке ее вместе с про­изводной в это уравнение превращает его в тождество.

Простейшие примеры показывают, что дифференциальное уравне­ние может иметь бесчисленное множество решений. Мы наблюдали это уже на примере уравнения (*). Простой проверкой легко убе­диться также, что уравнение у' =у имеет решениями функции у = Сех, а уравнение у' = -у – функции     у= Сех, где С —любое число.

Уравнение при х > 0 имеет  решениями   функции у = . В самом деле, найдя производную у' = lnx +1+C и подставив ее в уравнение, получим тождество

.

Можно проверить, что при х < 0 решениями являются функции у = х In | х |+ Сх.

Как видно, в решения приведенных дифференциальных уравнений входит произвольная постоянная С. Несмотря на то, что рассмотренные примеры носят частный характер, мы все-таки сделаем следующий общий вывод.

Дифференциальное уравнение первого порядка у' = f(x, у) имеет бесчисленное множество решений, которые обычно опреде­ляются формулой , содержащей одну произвольную постоянную С (может случиться, что С изменяется лишь в неко­торых пределах).

Такое множество решений для краткости называют общим решением или общим интегралом.

Придавая произвольной постоянной С определённые допустимые числовые значения, мы будем получать частные решения.

Геометрический смысл дифференциального уравнения.

Рассмотрим  уравнение  y' = f(x,y),   где  f(x,y)   определена в некоторой открытой области G плоскости ху. Пусть в каждой точке  (x, у)  этой области определен такой угол, что . Точка  (х, у)  вместе с отрезком малой длины, соста­вляющим угол с положительным направлением оси Ох, назы­вается линейным элементом.  Сово­купность линейных элементов обра­зует   поле   направлений,   наглядно изображающих данное дифференци­альное   уравнение   (рис.   1).  

рис.1

Инте­гральная  кривая — это такая глад­кая кривая, которая «согласована» с данным полем направлений, т. е. которая имеет в каждой своей точке касательную,    предписанную    этим полем.

В некоторых случаях легко можно найти совокупность точек плоскости, которым данное дифференциальное уравнение ставит в соответствие одно и то же направление а (например, для урав­нения у' = g(y) такой совокупностью точек будет одна или не­сколько прямых, параллельных оси х и  определяемых равен­ством g(y)=). Точки, в каждой из которых данное диффе­ренциальное уравнение определяет одно и то же направление , образуют кривую, называемую изоклиной, соответствующей .

В дальнейшем при решении конкретных задач нас будет интересовать преимущественно частное решение, определяемое заданным начальным условием.

Обычно начальное условие дифференциального уравнения пер­вого порядка задается указанием пары соответствующих друг другу значений независимой переменной (х0) и функции (у0)- Запи­сывают это так:

Естественно, возникает вопрос: существует ли решение уравнения у' == f(x, у), удовлетворяющее заданному начальному условию , и будет ли это решение единственным? Ответ на этот вопрос дается в следующей главе теоремой, впервые сформулированной и доказанной Коши; поэтому часто задачу отыскания частного реше­ния по начальному условию называют задачей Коши.

Глава 2. Теоремы о существовании и единственности решения.

2.1.Теорема Коши о существовании и единствен­ности решения.

Пусть дано уравнение y'=f(x,y) и на­чальное условие . Если функция и ее частная производная непрерывны   в   открытой   области,   содержащей точку  Ро (х0, у0),   то  в  достаточно  малом   интервале    это уравнение имеет един­ственное решение у=у(х), удов­летворяющее заданному началь­ному условию (т. е. такое, что ).

Отметим, что существование решения утверждается лишь для достаточно ма­лого интервала [xo — h, +h], а един­ственность решения — в пределах рас­сматриваемой открытой области.

Доказывать эту теорему мы не будем.

Пусть условия теоремы Коши выполняются. Тогда в некотором интервале, окружающем точку х0, существует   единственное    решение у=у(х), график которого проходит через точку Ро(х0, у0). Если зафиксировать х0 и менять у0, то мы будем получать различные частные решения, в предположении, что каждый раз в некоторой окрестности точки (x0, у0) условия теоремы Коши выполняются (рис. 1).

рис.1

Это наглядно показывает, что дифференциальное урав­нение у' = f(x, у) имеет бесчисленное  множество   решений. Эти решения  зависят  от  выбираемого  значения у0;   если   его   принять   за произвольную   постоянную С, то можно записать, что

Обычно графики рассматриваемых решений целиком заполняют некоторую область (рис. 1), и притом так, что через каждую точку этой области проходит одна-единственная кривая. Для этой области и будет общим решением.

График частного решения дифференциального уравнения назы­вается интегральной кривой. Общему решению соответ­ствует семейство интегральных кривых.

Задание начального условия означает задание точки Р0(х0, у0), через которую должна проходить интегральная кривая, соответствующая искомому частному решению.

Таким образом, чтобы отыскать частное решение по заданному начальному условию, нужно из семейства интегральных кривых вы­брать ту, которая проходит через точку Ро (х0 , у0). Если общее решение дифференциального уравнения известно: , то мы просто подставляем в него значения х0 и у0 и получаем уравнение уо = (хо, С) для отыскания С.

Примеры:

1)      Уравнение у' =2х имеет общее решение это — семейство парабол (рис. 2).

рис.2

Здесь правая часть уравнения, очевидно, удовлетворяет  условиям  теоремы   Коши  во всей  плоскости;   это  значит, что через   каждую   точку   плоскости   проходит   одна-единственная   интегральная кривая.

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию , подставляем эти значения в общее решение: 2=l2+C. Отсюда С=1. Значит, искомым частным решением будет y=х2 + 1.

2)      Уравнение у' =у имеет общее решение у= Сех. Соответствующее семейство интегральных кривых (экспоненты) показано на рис. 3;

рис.3

в него входит и ось абсцисс (при С=0). И в этом примере условия теоремы Коши выполняются во всей плоскости.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию. Подставляя в общее решение, получим, что С = 2. Значит, функция у=2ех есть искомое частное решение.

3) Для уравнения условия теоремы Коши выполняются, напри­мер, в полуплоскости х > 0. В этой области, как было показано, решение определяется формулой ; это и есть общее решение для рассма­триваемой области. В этом примере семейство интегральных кривых имеет более сложный вид.

Общее решение дифференциального уравнения не обязательно получается в явном виде: у = (x, С). Иногда решение получается в неявном виде: Ф (x, у, С) = 0; тогда его обычно называют общим интегралом уравнения. Вообще, отыскание решения дифференциаль­ного уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом вовсе не имеется в виду, что дело сводится к обычному инте­грированию функций;

2.2.Теорема Пеано о существовании и единственности решения.

В дальнейшем всюду, если только не оговорено противное, мы будем предпола­гать (наряду с другими допущениями), что функция f(x,y) не­прерывна в некоторой открытой области G плоскости ху. Тогда справедлива следующая, принадлежащая Пеано теорема суще­ствования: через каждую точку  ()  области G проходит, по крайней мере, одна интегральная кривая, и каждая из этих кри­вых может быть продолжена в обе стороны вплоть до границы любой замкнутой области, целиком содержащейся в G и содер­жащей точку   ()  внутри себя.

Через каждую точку проходит заведомо лишь одна инте­гральная кривая, если f(x, у) имеет в области G непрерыв­ные частные производные первого порядка или удовлетворяет условию Липшица по у:

     (L-постоянная)        (**)

В случае, когда ()  есть точка разрыва функции f(x,y), например, вытекает еще следующее: если f(x,y) при непрерывна (непрерывность на прямой |, следовательно, не предполагается) и где М(х) и N(x) интегрируемы на всем отрезке , то существует одна и только одна функция у = (x) такая, что

при и при. Функции М(х) и N(x) заведомо ин­тегрируемы, если, например,

.

Если  функция f(x,y)  имеет вид f(x,y) = h(x,y)/g(x,y), то дифференциальное уравнение можно написать в виде

g(x,y)y’ = h(x, у)

или в форме системы

.

Теорема Пеано 2.

Пусть дано уравнение

Теорема: Если функция ограничена и непрерывна в области G,то через каждую точку () этой области проходит по крайней мере одна интегральная линия уравнения.

Теорема о существовании решения:

Пусть в замкнутой области R(, ) функции и непрерывны (требования непрерывности можно заменить требованием ее ограниченности или условием Липшица: где L=const). Тогда на некотором отрезке существует решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

При этом можно взять =min , где a и b указаны выше, а m- любое  такое, что в R.

Последовательные приближения, определяемые формулами

, ,

равномерно сходится к решению на указанном отрезке.

Замечание: Для существования решения достаточно только непрерывности в области R, но при этом решение может не быть единственным.

2.3.Теорема существования и единственности решения для уравнения n-го порядка:

Пусть в области D функция и её частные производные первого порядка по непрерывны, и точка лежит внутри D. Тогда при начальных условиях

,

уравнение имеет единственное решение

Теорема о продолжение решений:

Во многих случаях решение уравнения существует не только на отрезке, указанном теоремеI, но и на большем отрезке.

Если уравнение удовлетворяет условиям теоремы существования в замкнутой ограниченной области, то всякое решение можно продолжить до выхода на границу этой области.

Если правая часть уравнения в области(и могут быть конечным или бесконечным) непрерывна и удовлетворяет неравенству

,

и функции и непрерывны, то всякое решение можно продолжить на весь интервал .

2.4.Теорема Пикара о существовании и единственности решения:

Если в задаче Коши

                  (1)

функция f непрерывна в прямоугольнике

и удовлетворяет в нем условию Липшица по переменной y, т.е. :

     (2)

то на сегменте где

существует единственное решение задачи (1), к которому равномерно сходятся при приближения , определяемые формулами

.     (3)

2.5.Теорема Осгуда о существовании и единственности решения:

Если:

1)функция непрерывна при и при

2)интеграл ;

3) в R,

то в R может существовать не более одного решения задачи (1).