Шпаргалка по "Высшей математике"

Теорема: Если ряд 1 сх-ся, то его n-ый член → к 0,т.е =0

Доказательство.

Пусть ряд S- сумма ряда 1(т.к по условию ряд сходится).т.е =S

= -           = -

Следствие: если  не стремится к 0 ,при n→ , ряд 1 расходится

 

21-22.Достат признаки сх-ти ряда с положит членами.

Признак Даламбера:

Пусть задан ряд  и сущ , тогда

если  l<1, ряд сх-ся

          l>1, ряд расх-ся

          l=1, ?

Признак Коши: Пусть задан и сущ , тогда если

l<1, ряд сх-ся

l>1, ряд расх-ся

l=1, ?

21 Интегральный признак Коши:

Пусть задан ряд  , члены кот положит и не возр-т, т.е. , а ф-я f(x) непрер, невозраст на [1;∞)

f(1)=a1,  f(2)=a2…f(n)=an

Тогда сх-ся или расх-ся одновр-но.

 

23. Знакопеременные  ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Числовой ряд  , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, наз-ся знакопеременным.

Если ряд, сост из абсол значений величин сх-ся, то ряд наз абсолютно сходящимся.

Теорема: Если ряд явл  абсол сх-ся, то исх ряд сх-ся. Док-во:восп-ся 1 признаком сравнения

Рассм-м ряд 

   - ряд из абсол значений  величин.Доказана сх-ть по 2-му признаку сравнения, след-но исх ряд сх-ся абсолютно.

О. Если ряд, образ из абсол  значений его величин расх-ся, а  исх ряд сх-ся, то он наз условно сх-ся.

 

 

 

24. Знакочеред  ряды. Достат усл-е сх-ти (теорема  Лейбница).

О. Ряд вида (1) наз знакочеред-ся. Признак Лейбница (сх-ть знакочер ряда). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и , то ряд сходится, а его сумма S положительна и не превосходит первого члена, т.е. . Следствие: Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е. .

 

 

 

 

 

 

 

 

25. Понятие степенного ряда. Область  сходимости степенного ряда. Теорема  Абеля. Ряд вида , где - числа, называемые коэффициентами ряда, x – переменная, наз-ся степенным рядом. Интервал (-R;R) наз интервалом сх-ти степ ряда. Заметим, что для x €(-R;R)  ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться. Для нахождения радиуса сходимости можно воспольз-ся, признаками Даламбера или Коши. Теорема. Если существует | a_n+1/ a_n|=L, то R=1/L= | a_n/ a_n+1|. (Док-во.   Рассмотрим ряд a_nxⁿ . Применим к нему признак Даламбера. | a_n+1xⁿ⁺¹/ a_nxⁿ|= | a_n+1/ a_n|∙| x | =L∙| x |. Отсюда следует, что если  L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится  абсолютно.  Если L∙| x |>1,  то  ряд расходится. Теорема доказана.) Заметим, что если L=0,  для любого | x | то R=∞ . Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится  в единственной  точке x₀=0;  если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда  a_nxⁿ есть (-R;R) . Для нахождения  области сходимости  ряда надо отдельно  исследовать сходимость   в точках   x=R и x=-R; в зав-ти от рез-тов этого исслед-я обл-ю сх-ти ряда м. б. один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]. Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд   a_nxⁿ сходится  при x=x₀, то он сходится  причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x₀|. 2)  Если же ряд a_nxⁿ  расходится  при x=x_{1 ,} то он  расходится  при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x₁|. (Док-во 1)Так как числовой ряд a_nx₀ⁿ  сходится, то a_nx₀ⁿ=0. Это означает, что числовая последовательность {a_nx₀ⁿ} ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде a₀ + a₁x₀ (x/x₀) + a₂x₀²(x²/x₀²) +…+…= a_nx₀ⁿ (x/x₀)². Рассмотрим ряд из абсолютных величин. |a₀| + |a₁x₀ (x/x₀) | + |a₂x₀²(x²/x₀²) | +…+…<= M + M| x/x₀| + M| x/x₀|² +…= M(1+q+ q²+…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x₀)<1—сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором  x^*, | x^*|> x_1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x^* . В том числе должен сходится и при x= x₀,  так как | x |< | x^*| .  Но  это противоречит предположению теоремы.  Теорема доказана.)

 

 

26. Ряды Тейлора и Маклорена. Если функция f(x) разлагается в ряд по степеням ( x - x₀), то этот ряд имеет вид : f(x)= f(x₀)+ f ’(x₀)/1! ( x - x₀)+ (f ’’(x₀) ( x - x₀)²)/2!+…+ =( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n! +…=  ( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n! Степ ряд такого вида наз-ся рядом Тейлора ф-и f(x)  в т. x₀. Если x₀ = 0, то такой ряд наз-ся рядом Маклорена. Теорема: Ряд Тейлора сходится тогда и только тогда, когда остаток ряда стремится к нулю при , т.е. для всех значений x из интервала сходимости .  Теорема(дост. условие разложения в ряд Тейлора): Если производные любого порядка n=0,1,2… функции f(x) ограничены в некоторой окрестности точки x˳ одним и тем же числом M>0, т.е. , то ряд Тейлора функции f(x) сходится к f(x) для любого x из этой окрестности. Теорема: Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно. Разложение функции в ряд Тейлора (Маклорена): 1) Находим знач. произв. f(x˳), f’(x˳),…(x˳)для ряда Тейлора и f(0), f’(0),…, (0) для ряда Маклорена. 2) Находим общую формулу для n-ой производной данной функции. 3) Записываем разложения в ряд Тейлора или Маклорена. 4) Находим область сходимости полученных рядов с помощью формул Даламбера или Коши.  

27. Дифференцирование и интегрирование  степенных рядов.

Степенной ряд  можно почленно интегрировать на любом отрезке, целиком принадлежащем  интервалу сходимости. Степенной  ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое  число раз. Ряды, полученные почленным  интегрированием и почленным  дифференцированием степенного ряда, имеют тот же радиус сходимости, что и исх ряд.

, область  сход-ти (-R;R). Тогда для x(-R;R) ряд f(x) можно почленно дифференцировать. Также его можно почленно интегрировать для всех x(a,b)<(-R;R). .

 

 

++. Признаки сравнения рядов

1-й признак сравнения:

Пусть (1) и (2) с неотриц членами. Тогда если вып-ся нер-во начиная с некот n, то если ряд 2 сх-ся, то и ряд 1 сх-ся, а если ряд 1 расх-ся, то и ряд 2 расх-ся.

2-й признак сравнения:

Пусть заданы ряд (1) и (2), члены  кот положит и сущ , 0<l<∞. Тогда эти ряды (1), (2) одновр-но сх-ся или расх-ся. 

+++.Разложение некоторых элементарных ф-ций в степенные ряды

  Если ф-ция  f(x) явл. суммой степенного ряда в каком-либо промежутке,то говорят,что f(x) в этом промежутке разлагается в степенной ряд.

  Практически  важное достаточное условие разложения  ф-ции в ряд Тейлора выражается  следующей теоремой: если  производные  любого порядка ф-ции f(x) ограничены в окрестности U(x₀) точки x₀  одним и тем же числом С,т.е. |f⁽ⁿ⁾ (x)| ≤C (n=1,2,3,…),то ряд Тейлора этой ф-ции сходится к f(x) для любого xиз этой окрестности.

  Если ф-ция  f(x) разложима в ряд Тейлора,то это разложение единственное.

  Приведем разложения  в степенной ряд (ряд Маклорена)некоторых элементарных  ф-ций:

e^x=1+x/1!+x²/2!+…+xⁿ/n!+… (-∞<x<∞),

sinx=x/1!-x³/3!+x⁵/5! –x⁷7! +...+(-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+...

                               (-∞<x<+∞),

cosx=1 - x²/2!+x⁴/4! – x⁶/6!+...+(-1)ⁿ x²ⁿ/(2n)!+…

                               (-∞<x<+∞),

ln(1+x)=x – x²/2+x³/3 – x⁴/4+...+(- 1)^n-1 xⁿ/n+...

                              (-1<x≤1),

(1+x)^m=1+mx/1!+m(m-1)x²/2!+m(m-1)(m-2)x³/3!+...+

 +m(m-1)...(m-n+1)xⁿ/n!

Последнее разложение имеет место при любом действительном числе m,если -1<x<1

 

++++.Применение рядов в приближенных вычислениях. Оценка точности вычислений

  Разложение ф-ций  в степенные ряды позволяет  применять эти ряды для приближенного  вычисления значений ф-ций, определенных интегралов, решения дифференциальных уравнений. Для вычисления приближенного значения ф-ции в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов, а остальные члены отбрасывают. Чтобы получить погрешность найденного приближенного значения, нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный ,то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Если ряд знакопеременный и члены его удовлетворяют признаку Лейбница, то ипользуется оценка

∆<|u_n+1|,  где u_n+1 – первый из отброшенных членов, т.е. ошибка приближенного вычисления не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов.

 

 

++++++.Определенный интеграл в экономических и физических задачах

1)Вычисление объема произведенной  продукции. Известно, что производительность труда в течение рабочего дня меняется. Предположим, что известна непрерывная функция f(x), которая характеризует измерение производительности от времени . Определить объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t₁ до t₂. Решение. Искомый объем можно рассматривать как сумму объемов продукции, произведенной за бесконечно малые отрезки времени. Возьмем разбиение {x_k} отрезка [t₁,t₂]. В этом случае предел интегральных сумм   при диаметре d®0 разбиений{x_k} отрезка [t1,t2]  даст искомый объем продукции. Этот предел существует, так как функция f(x) непрерывная, т.е.

2)Определение средних значений

вспомним теорему о среднем  значении, т.е.  формулу     

Число называется средним значением ф-ции  f(x) на отрезке [a,b]. На практике нередко вычисляются такого рода средние значения как средняя пр-ность труда, ср. мощность электродвигателей и т.д.

издержек производства