Шпаргалка по "Высшей математике"

 

 

9. Осн св-ва опред интеграла

  Значение о.и. не зависит от обозначения переменной интегрирования.

 

Если  ,  x € [a;b]  

 

 

 

 

10.Формула Ньютона-Лейбница (вывод)

Т: Если непрерывна на , справедлива ф-ла Ньютона-Лейбница:   

Рассм-м , т.к. , то - первообразная для . Но , также первообразная. Это значит что имеет место следующее равенство :                          

     Подставим верхнюю границу:       подставами вместо    :      в силу 1-го свойства, что значении определенного интеграла независит от обозначения переменной интегрирования,запишем:                                                    

 

11.Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле

Формула интегрирования по частям для определенном интеграла.

Пусть заданны тогда имеет место интегрирование по частям:

 → 

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть непрерывна на , а непрерывна на . Вместе со своей производной ; причем , и сложная функция непрерывна на , тогда справедливо формула замены переменной для определенного интеграла:

 

                             

 

 

 

12.Геометрич приложения определенного интеграла

Вычисление  площадей плоских фигур:

1. на и

                              

2. на и

       

3. на график имеет вид

            

4. даны две функции:  и на промежутке    

 

5.    на промежутке  то получаем         

6. и на промежутке (графики ориентированны на )                       

 

 

 

12а

7.вычисление площади  плоской фигуры заданной системе  координат. В полярной системе  точка это пара чисел  , любая линия равна .

               

 Уравнение Лемниската-Берлуни

  

9. Вычисление длины дуги  кривой. Пусть заданна  на .   

 

13.Несобственные(н/с) интегралы.

1)интегралы с бесконечными  пределами

А)  н/с интеграл с бесконечным верхним пределом инт.

О1.   У=f(x), хЄ[a;+¥) , где а- конечное число. Ф-ция  f(x)  и интегрируема на любом отрезке [а;B] Ì [a;+¥). (1) --н/с интеграл с бесконечным верхним пределом

Иногда (1) называют н/с и. первого рода

О2. Если предел в правой части равенства (1) сущ. и явл. конечным числом, то н/с интеграл назыв. сходящимся, в противном случае – расходящимся 

Б) н/с интеграл с бесконечным нижним пределом

О3. у= f(x)  (-∞;b), которая определена и интегрируемана [А;В]с(-∞;b)

(2) --н/с интеграл с бесконечным нижним пр.

О4. понятие сходимости аналогично

В) н/с интеграл с двумя бесконечн. пределами интегр.

О5. у=f(x)   (-∞;+∞),  (А;В)с(-∞;+∞)

(3)    --н/с интеграл с 2мя бесконечн пределами можно переписать как 

(4) где -∞<С<+∞ , (3)=(4)

Исследование сходимости интеграла

1) α=-1, тогда  ₌

2) α=-1 интеграл расходится

Вывод: н/с интеграл сходится если α<-1, расходится если α≥-1

2)И. на конечном промежутке

А)пусть ф-ция f(x) определена на конечном промежутке [a,b) и интегрируема на любом отрезке [a,x]Ì[a,b)

иногда это выражение  называют н/с и. второго рода.

Если конечн предел сущ., то и. наз. сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Б)н/с интеграл от разрывных функции

пусть задана ф-ция у=f(x) [a;b], причем cÎ[a;b], такая, что ф-ции f(x) в этой точке имеет бесконечный разрыв (x=c – точка разрыва второго рода) , тогда --н/с интеграл от разрывной ф-ции

Если оба предела в правой части существуют и явл конечными числами, то н/с интеграл разрывн ф-ции назыв сходящимся, а если один из пределов не сущ. или =∞, то н/с интеграл наз. расходящимся

 

14. Несобственные интегралы от неограниченных  функций. Несобственный интеграл – это определённый интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определённый интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нём бесконечный разрыв.

Пусть функция  f(x) непрерывна на промежутке [a; b) и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный предел , то его называют н/с интегралом второго рода и обозначают . Таким образом, по определению, . Если предел в правой части существует, то н/с интеграл сходится, если же указанный интеграл не существует или равен бесконечности, то говорят, что интеграл расходится. Аналогично, если f(x) терпит бесконечный разрыв в точке x=a, то полагают . Если функция терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой  . В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба н/с интеграла, стоящих справа, сходятся.

14aТеорема. Пусть на промежутке [a; b) функции f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0≤f(x)≤(x). Из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , а из расходимости интеграла вытекает расходимость интеграла

Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на промежутке [a; b) и в точке x=b терпят разрыв. Если существует предел , 0<k<, то интегралы и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

 

 

15.Дифференциальное уравнение(ДУ)

Осн.понятия

О1. ДУ – ур-е, сод неизв ф-цию, независ переем-ю и ее производные различных порядков.

Если неизв  ф-ция зависит от одной независим переменной, то ДУ – обыкновенное ДУ  (ОДУ).

Если неизв ф-ция содержит 2 и > независ переменных, то ДУ назыв ур-е частичных производных.

В общем виде ОДУ можно  записать F(x,y,y’, … , y⁽ⁿ⁾)=0  (1) неявный

y⁽ⁿ⁾ =f(x,y,y’,…,y^(n-1))   (2)явный

Порядок старшей производной, входящей в ур-е назыв порядком ур-я.

О2. ф-ция у=у(х) наз решением ДУ (1) или (2) если, будучи подставленным в соответствующ ур-е вместе со всеми своими произв-ми, она обр-т его в верное рав-во. Задача нах-я решения ДУ наз задачей интегрирования ДУ.

О3. Общим решением ДУ (1), (2) n-го порядка назыв ф-ция вида y=j(x,c₁,c₂,…,c_n), которая зависит от переменной х и n произвольных постоянных

О4. Частичным реш ДУ наз реш, получ из общего при некот конкретных числовых значениях постоянных c₁,c₂,…,c_n

Демографическая модель

 Из статистики известно, что для конкр региона число рожд и умерш за ед врем проп-но числ-ти населения с коэф. Проп-ти k₁,k₂. Найти закон измен числ-ти населения с течением времени, т.е. опис матем демограф процесс.

Реш. Пусть y=y(t) –число жителей региона в момент времени t.

∆у – прирост населения  за время ∆t

где k=k₁-k₂

Разделим на ∆t

,          

y’=ky, где k=k1-k2     y=ce^kx

 

16_{.ДУ 1го порядка}

_{Имеют вид: y’=f(x,y)  (1)      F(x,y,y’)=0 (2)}

_{1) y’=f(x)    dy/dx=f(x)}

_{dy=f(x)dx        òdy=òf(x)dx      y=òf(x)dx}

_{2) y’=f(y)    dy/dx=f(y)}

      

_{3) f(x)dx=f(y)dy  ДУ с разделенными переменными òf(x)dx=òf(y)dy}

_{4)y’=f(x)gy  или M(x)N(y)d(x)=K(x)L(y)d(y)}

_{ДУ  с разделяющимися переменными}

_{Ур-е вида (4) реш по схеме:}

_{d(y)/d(x)=f(x)gy}

_{d(y)/g(x)=f(x)d(x)}

_{M(x)d(x)/K(x)=L(y)d(y)/N(y)}

_{5) y’=g(y/x) однородное ДУ 1го порядка (ф-ция вида  f(αx,αy)=α^kg(x,y)} наз однор ф-ция k-того порядка,αЄR)

реш с помощью подстановки

z=y/x   y=zx     y’=z’_xx+z 

_{z’x+z=g(z)  d(z)/(g(z)-z)=d(x)/x}

_{6) y’=f(ax+by) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z=ax+by}

 

18.Линейные однородные ДУ 2 порядка с постоянными коэфф-ми. Их  нахождение.

Обыкн ДУ 2 порядка с пост.коэфф. имеет вид:

(1) y``+py`+qy=r(x) p,q принадл. R, r(x) – функция

Если r(x) =0, то

(2) y``+ py`+qy=0 – однор.лин.ДУ с пост.коэфф.

Ур-е вида  (3) =0 – характерист.ур-е (1) и(2) Стр-ра общего решения ур.(2) определяется корнями квадр.ур-я. (3)

Возможны 3 случая

1. кв.ур-е имеет разные корни α1 α2, D>0 тогда общее решение:

y=C1 C1, C2 прин.R

2. корни кв.ур. кратные,  т.е. α1= α2=α ; D=0

y= C1, C2 прин.R

3. корни комплексно сопряженные  : λ1= α-βi; λ2= α+βi;

y= C1 C1, C2 прин.R

 

18а Лин неоднор ДУ 2-го порядка с пост коэфф-ми.

Рассмотрим уравнение  y´´+py´+qy=r(x)   /где p,q € R  , r(x)-функция. которое имеет вид y=yO+yЧ, где

yO-общее решение уравнения y´´+py´+qy =0

yЧ-частное решение уравнения y´´+py´+qy=r(x) , которое зависит от вида правой части,т.е r(x)   

Рассмотрим некоторые  частные случаи:

1) r(x)=Pn(x)    ,где Pn(x) – многочлен степени «n»

В этом случае решение  yЧ  ищут из уравнения к²+pк+q=0 в виде:

• yЧ=Qn(x) при q≠0

• yЧ=x Qn(x) q=0, p≠0

• yЧ=x² Qn(x) q=p=0

2)  r(x)=а где а,м € R  , а,м =соnst

Вид частного решения  следущее:

• yЧ=А если «м» не явл корнем Ур-я к²+pк+q=0

(корни некратные,некомплексные)

• yЧ=Аx если «м» –простой корень ур-я к²+pк+q=0

•yЧ=Аx² если «м»-кратный корень Ур-я к²+pк+q=0

3) r(x)=acosmx+bsinmx где a,b,m=const

 

• yЧ= Acosmx+Bsinmx при условии что p²+(q-m²)≠0

• yЧ= x(Acosmx+Bsinmx) если p²+(q-m²)=0, p=0,q= m²

 

17. Линейные дифференциальные уравнения  первого порядка. ДУ вида A(x)y’+B(X)y+C=0, где A(x)≠0, или после деления на A(x), приведённое к виду y’+p(x)y=q(x), называется линейным ДУ первого порядка. Если q(x)0, то уравнение называется линейным однородным, иначе – линейным неоднородным.

Линейное однородное уравнение – это уравнение  с разделяющимися переменными, его  общее решение выражается формулой .

Для решения линейного  неоднородного уравнения можно  применять метод вариации произвольной постоянной, тогда общее решение  неоднородного уравнения получается в виде .

Линейное неоднородное уравнение может быть сведено  к решению двух уравнений с  разделяющимися переменными при  помощи подстановки z=y/x, y=zx, y’=z’x+z, _{z’x+z=g(z), d(z)/(g(z)-z)=d(x)/xy’=f(ax+by).}

 

19.Числовой ряд и его сходимость.

Пусть задана бескон послед-ть чисел …

Тогда + +… +…= (1) наз числовым рядом, а числа -члены ряда, -общий член ряда.

2.Сумма  ряда. Примеры сходящихся и расходящихся  рядов. Гармонический ряд (док-во его расходимости).

Сумма вида =

                      = + = +

                       = + +… = +

Называется частичными суммами ряда 1,

а последовательность (2) называется последовательность частичных сумм ряда (1)

Ряд (1) наз сход,если сх-ся посл-ть его частичных сумм(2)

т.е если =S При этом число S называется суммой ряда (1)

А если = или не сущ то ряд (1) наз расход.

Примеры рядов:

•    расходится

•       сходится         = сх-ся только если /q/<1   =>S= ,q≠0

20.Свойства сходящихся рядов

Пусть задан  ряд   (1),если в ряде 1 отбросить первые n членов , то пол-м ряд (3) = + +…+ … , кот наз остатком ряда (1)

ТЕОРЕМА: Ряд 1 и его остаток-ряд 3 сх-ся или расх-ся одновременно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть -частичная сумма ряда 1 ,а -частичная сумма ряда 3. ТО = +

= ( + ) и посл пр-л сущ, если сущ пр-л .

СЛЕДСТВИЕ:

Если в ряде 1 отбросить  конечное число членов,то это не влияет на сходимость ряда.

Т.: Для того чтобы ряд 1 сх-ся необходимо и достаточно!

=0, где = + +…+

Сходящиеся ряды можно:

-умножать на одно и тоже число

-почленно складывать  и вычитать

20а Необходимый признак сходимости ряда (док-во).