Шпаргалка по "Математики"

2) Условие совпадения  двух плоскостей: A₂= A₁  B₂= B₁  C₂= C₁  D₂= D₁ или

3) Условие перпендикулярности  плоскостей: должны быть перпендикулярны векторы n₁ и n₂, поэтому их скалярное произведение равно нулю т.е. n₁n₂=0 или А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0 

 

23. Прямая в пространстве

Плоскость в  пространстве может быть задана: 
а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; 
б) прямой и точкой, взятой вне прямой; 
в) двумя прямыми (параллельными или пересекающимися); 
г) любой плоской фигурой.

Возможны  три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

• Параллельны

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

• Скрещивающиеся

Прямые, которые не пересекаются и не лежат  в одной плоскости, называются скрещивающимися.

• Пересекаются

Прямые, которые пересекаются и не лежат  в одной плоскости, называются пересекающимися.

Условия перпендикулярности и параллельности:

• Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.
• Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

За угол между двумя прямыми принимают один из смежных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным через какую-нибудь точку пространства.  
24. Прямая и плоскость в пространстве.

Угол между  прямой и плоскостью в пространстве:

. Где N – нормальный вектор плоскости (перпендикулярен плоскости), А,В,С -  числа из общего уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0

Признаки  параллельности прямой и плоскости:

Для того, чтобы  прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Признаки  перпендикулярности прямой и плоскости:

Для того, чтобы  прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

Расстояние  от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость и находится по формуле:

 

 

25. Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их свойства и  уравнения.

Окружность — геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром.  
Общее уравнение окружности в декартовой системе координат: 
Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

(X-X₀)²+(Y-Y₀)²=R² – уравнение окружности с центром в точке (X₀;Y₀) и радиусом R.

Свойства:

• Если уравнение Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 относительно декартовых прямоугольных координат x и y определяет некоторую линию на плоскости, то этой линией является окружность.

Эллипс – геометрическая фигура, множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек (фокусов) той же плоскости есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

Общее уравнение  эллипса: , где а – большая полуось, b – малая полуось.

Свойства:

• Для любой точки эллипса сумма расстояния точки до фокусов есть величина постоянная, равная 2a – характеристическое свойство эллипса.

Гипербола

Общее уравнение  гиперболы 

, где a – действительная полуось, b – мнимая полуось.

Свойства:

• Для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная, равняя 2а.
• График обратной пропорциональной зависимости есть равносторонняя гипербола с асимптотами – осями координат.
• График дробно-линейной функции есть равносторонняя гипербола с асимптотами, параллельными осям координат.

Парабола

Общее уравнение  параболы: , где p – параметр параболы (если p>0 ветви параболы направлены вправо, при p<0 – влево).

- второе уравнение параболы.

 

Свойства:

• Парабола представляет собой множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) – характеристическое свойство параболы.

 

26. Полярная система координат

Полярная  система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел .Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Координата ρ  определяет расстояние от точки до полюса, координата — угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида .

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

Тогда координаты произвольной точки в  двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcosj;  y = rsinj; x² + y² = r²

Уравнения кривых в полярной системе координат

Полярное уравнение  эллипса , где и - полярные координаты данной точки; - эксцентриситет эллипса.