Автор: Пользователь скрыл имя, 09 Декабря 2010 в 20:05, шпаргалка
Работа содержит ответы на вопросы по предмету "Математика".
Смешанным произведением
трех векторов a,b,c
называется число, обозначаемое
a,b,c (с векторами)
и определяемое следующим образом:
Свойства смешанного
произведения:
15. Система векторов. Линейная зависимость и независимость векторов.
Векторы а1, а2, … аm векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1, 2, …, m, не равные одновременно нулю, что 1 а1+ 2 а2+…+ mаm=0. В противном случае векторы а1, а2, … аm называются линейно независимыми. Пример: Решить систему уравнений.
16. Базис
Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.
Вектора линейно независимы если
Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы (не лежащие на одной прямой, не лежащие на параллельных прямых), взятые в определенном порядке.
Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.
Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора (если их смешанное произведение не равно нулю), взятые в определенном порядке.
Система координат— комплекс определений, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
Наиболее используемая
система координат — прямоуголь
17. Понятия n-мерного вектора и векторного пространства Rn
Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n+1) векторов уже являются зависимыми. Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов (число n называется размерностью пространства R и обозначается dim(R)).
n-мерный вектор – упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x=(x1, x2, … , xn) где xi – i-я компонента вектора x.
Действия:
Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z=x+y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов;
Произведением вектора x на действительное число называется вектор u= x, компоненты ui которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора x, т.е. ui= xi, i=1,2,…, n.
X, y, z можно рассматривать не только как векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество называется линейным пространством (пример: множество всех многочленов степени, не превышающей натурального числа n).
Евклидово пространство
– Линейное (векторное) пространство,
в котором задано скалярное произведение
векторов, удовлетворяющее указанным
свойствам, называется Евклидовым пространством.
Свойства: 1) (x,y)=(y,x) – коммуникативное
свойство; 2) (x,y+z)=(y,x)+(x,z) – дистрибутивное
свойство; 3) (
x,y)=
(x,y) – для любого действительного числа
; 4) (x,x)>0, если x – ненулевой вектор;
(x,x)=0, если x – нулевой вектор.
18. Понятие линейного оператора.
Рассмотрим два линейных пространства Rn размерности n и Rm размерности m.
Если задан
закон (правило), по которому каждому
вектору x пространства Rn ставится в соответствие
единственный вектор y пространства Rm,
то говорят, что задан оператор
, действующий из Rn в Rm, и записывают
. Оператор называется линейным, если
для любых векторов x и y пространства Rn
и любого числа
выполняются соотношения: 1)
(x+y)=
(x)+
(y) – свойство аддитивности оператора;
2)
(
x)=
(x) – свойство однородности оператора.
19. Собственный вектор и собственное значение квадратной матрицы
Преобразование f линейного пространства V называется линейным преобразованием (линейными оператором), если для любых векторов этого пространства x, x1, x2 и любого действительного числа выполняются условия:
1) f(x1+x2) =f(x1)+f(x2) 2) f( x)= f(x)
Ненулевой вектор x линейного пространства называется собственным вектором линейного преобразования f этого пространства, если существует такое число k, что f(x)=kx, причем k – действительное число для действительного линейного пространства.
Число k называется собственным значением вектора x относительно преобразования f. Равенство модно записать в матричном виде: AX=kX, где А – матрица преобразования f в некотором базисе; X – матрица-столбец из координат собственного вектора x в том же базисе. Ненулевая матрица –столбец X, удовлетворяющая уравнению AX=kX называется собственным вектором-столбцом матрицы А с собственным значением k.
Свойства собственных векторов:
Линейная модель обмена.
Пусть имеется n стран S1, S2, … Sn. национальный доход каждой из которых равен x1, x2 …xn. Обозначим коэффициентами aij долю национального дохода, которую страна Sj тратит на покупку товаров у страны Si. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо из других стран, т.е. . Рассмотрим матрицу А= которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с формулой сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.
Для любой страны выручка от внутренней и внешней торговли составляет: pi=ai1x1+ai2x2+…+ainxn.
Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода: pi>xi (i=1,2,…,n).
Если считать, что pi>xi (i=1,2,…,n), то получим систему неравенств
Сложив все неравенства этой системы, получим после группировки . Учитывая, что то что получилось, выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству: . Таким образом равенство pi>xi (i=1,2,…,n) невозможно и условие pi>xi принимает вид pi=xi. Вводя вектор (x1, x2,...xn) национальных доходов стран получим матричное уравнение AX=X, где X – матрица-столбец из координат вектора x; т.е. задача сводится к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению =1.
20. Квадратичные формы.
Квадратичной
формой L(x1, x2, …, xn) от
n переменных называется сумма, каждый
член из которой является либо квадратом
одной из переменных, либо произведением
двух разных переменных, взятых с некоторым
коэффициентом:
Коэффициенты
aij – действительные числа, причем
aij=aji. Матрица А=(aij) (i, j= 1,2,…,n),
составленная из этих коэффициентов, называется
матрицей квадратичной формы. В матричной
записи квадратичная форма имеет вид:
L=XA’X, где X=(x1, x2, …, xn)’
– матрица-столбец переменных. В самом
деле:
Классификация кривых второго порядка
Кривые второго порядка: эллипс, гипербола и парабола - задаются квадратичными формами в двухмерном пространстве, причем если
Пример: определить тип кривой второго порядка заданной уравнением x2+xy+y2=1. Составим матрицу Найдем ее определитель и смотрим, то что написано выше…
21. Прямая на плоскости
Способы задания прямой на плоскости:
Прямая однозначно определяется углом, образуемым ею с осью Ox. И величиной направленного отрезка, отсекаемого на оси Oy, координатами двух точек. В зависимости от способа задания прямой рассматривают различные виды ее уравнения:
Угол между двумя прямыми: где АВ – координаты точек.
Условия параллельности прямых:
Условия перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями Ax+By+C=0
1) или A1A2+B1B2=0
2) прямые заданные
уравнениями Ax+By+C=0 и Bx-Ay+C=0 тоже перпендикулярны.
22. Плоскость в пространстве
Плоскость в пространстве можно задать различными способами: тремя точками, точкой и вектором, перпендикулярным плоскости и т.д. В зависимости от этого рассматривают различные виды ее уравнения.
Частные случаи:
Угол между плоскостями:
Пусть даны 2 плоскости. Угол между этими плоскостями равен углу между их нормальными векторами (ненулевыми векторами) n1 и n2 поэтому
1) Условия параллельности двух плоскостей: заданы две плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 первая из них имеет ненулевой(нормальный) вектор n1=(A1, B1 C1), вторая n2=(A2, B2, C2). Эти плоскости параллельны, если векторы n1 и n2 коллинеарны (лежат или на одной прямой или на параллельных прямых). => A2= A1 B2= B1 C2= C1 или