Шпаргалка по "Математики"

Автор: Пользователь скрыл имя, 09 Декабря 2010 в 20:05, шпаргалка

Описание работы

Работа содержит ответы на вопросы по предмету "Математика".

Работа содержит 1 файл

шпоры.doc

— 917.50 Кб (Скачать)

Смешанным произведением  трех векторов      a,b,c            называется число, обозначаемое       a,b,c (с векторами)         и определяемое следующим образом: 

Свойства смешанного произведения: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

15. Система векторов. Линейная зависимость и независимость векторов.

Векторы а1, а2, … аm векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1, 2, …, m, не равные одновременно нулю, что 1 а1+ 2 а2+…+ mаm=0. В противном случае векторы а1, а2, … аm называются линейно независимыми. Пример: Решить систему уравнений.

 

16. Базис

Совокупность  n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.

Вектора линейно независимы если

  1. Ранг матрицы > числа векторов.
  2. Определитель матрицы не равен нулю.
  3. а1, a2 – линейно зависимы вектора, если существуют 1, 2 0, что выполняется равенством а1+…+ mаm=0, а если 1, 2=0, то вектора линейно независимы.

Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы (не лежащие на одной прямой, не лежащие на параллельных прямых), взятые в определенном порядке.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора (если их смешанное произведение не равно нулю), взятые в определенном порядке.

Система координат— комплекс определений, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу. Для задания декартовой прямоугольной системы координат нужно выбрать несколько взаимноперпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей O называется началом координат.

 

17. Понятия n-мерного вектора и векторного пространства Rn

Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n+1) векторов уже являются зависимыми. Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов (число n называется размерностью пространства R и обозначается dim(R)).

n-мерный вектор – упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x=(x1, x2, … , xn) где xi – i-я компонента вектора x.

Действия:

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z=x+y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов;

Произведением вектора x на действительное число называется вектор u= x, компоненты ui которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора x, т.е. ui= xi, i=1,2,…, n.

X, y, z можно рассматривать не только как векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество называется линейным пространством (пример: множество всех многочленов степени, не превышающей натурального числа n).

Евклидово пространство – Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным свойствам, называется Евклидовым пространством. Свойства: 1) (x,y)=(y,x) – коммуникативное свойство; 2) (x,y+z)=(y,x)+(x,z) – дистрибутивное свойство; 3) ( x,y)= (x,y) – для любого действительного числа ; 4) (x,x)>0, если x – ненулевой вектор; (x,x)=0, если x – нулевой вектор.  

 

18. Понятие линейного оператора.

Рассмотрим два  линейных пространства Rn размерности n и Rm размерности m.

Если задан  закон (правило), по которому каждому  вектору x пространства Rn ставится в соответствие единственный вектор y пространства Rm, то говорят, что задан оператор , действующий из Rn в Rm, и записывают . Оператор называется линейным, если для любых векторов x и y пространства Rn и любого числа выполняются соотношения: 1) (x+y)= (x)+ (y) – свойство аддитивности оператора; 2) ( x)= (x) – свойство однородности оператора.  

 

19. Собственный вектор и собственное значение квадратной матрицы

 Преобразование  f линейного пространства V  называется линейным преобразованием (линейными оператором), если для любых векторов этого пространства x, x1, x2 и любого действительного числа выполняются условия:

 1) f(x1+x2) =f(x1)+f(x2) 2) f( x)= f(x)

 Ненулевой вектор x линейного пространства называется собственным вектором линейного преобразования f этого пространства, если существует такое число k, что f(x)=kx, причем k – действительное число для действительного линейного пространства.

 Число k называется собственным значением вектора x относительно преобразования f. Равенство модно записать в матричном виде: AX=kX, где А – матрица преобразования f в некотором базисе; X – матрица-столбец из координат собственного вектора x в том же базисе. Ненулевая матрица –столбец X, удовлетворяющая уравнению AX=kX называется собственным вектором-столбцом матрицы А с собственным значением k.

Свойства  собственных векторов:

  1. Собственный вектор линейного преобразования имеет единственное значение k;
  2. Если x и y – линейно независимые собственные векторы линейного преобразования f с одним и тем же собственным значением k, то x+y – так же собственный вектор этого преобразования с собственным значением k.
  3. Если x и y – собственные векторы линейного преобразования f с собственными числами k и m, причем k m, то x и y – линейно независимы.
 

Линейная  модель обмена.

Пусть имеется  n стран S1, S2, … Sn. национальный доход каждой из которых равен x1, x2 …xn. Обозначим коэффициентами aij долю национального дохода, которую страна Sj тратит на покупку товаров у страны Si. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо из других стран, т.е. . Рассмотрим матрицу А= которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с формулой сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

Для любой страны выручка от внутренней и внешней торговли составляет: pi=ai1x1+ai2x2+…+ainxn.

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность  торговли каждой страны т.е. выручка  от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода: pi>xi (i=1,2,…,n).

Если считать, что pi>xi (i=1,2,…,n), то получим систему неравенств

Сложив все  неравенства этой системы, получим  после группировки  . Учитывая, что то что получилось, выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству: . Таким образом равенство pi>xi (i=1,2,…,n) невозможно и условие pi>xi принимает вид pi=xi. Вводя вектор (x1, x2,...xn) национальных доходов стран получим матричное уравнение AX=X, где X – матрица-столбец из координат вектора x; т.е. задача сводится к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению =1.

 

20. Квадратичные формы.

Квадратичной  формой L(x1, x2, …, xn) от n переменных называется сумма, каждый член из которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом: 
 
 

Коэффициенты  aij – действительные числа, причем aij=aji. Матрица А=(aij) (i, j= 1,2,…,n), составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы. В матричной записи квадратичная форма имеет вид: L=XA’X, где X=(x1, x2, …, xn)’ – матрица-столбец переменных. В самом деле:  
 
 
 
 
 
 

Классификация кривых второго порядка

Кривые второго порядка: эллипс, гипербола и парабола - задаются квадратичными формами в двухмерном пространстве, причем если

 

 
 

Пример: определить тип кривой второго порядка  заданной уравнением x2+xy+y2=1. Составим матрицу  Найдем ее определитель и смотрим, то что написано выше…

 

21. Прямая на плоскости

Способы задания  прямой на плоскости:

Прямая однозначно определяется углом, образуемым ею с  осью Ox. И величиной направленного  отрезка, отсекаемого на оси Oy, координатами двух точек. В зависимости от способа задания прямой рассматривают различные виды ее уравнения:

    1. Прямая , параллельная оси Oy в прямоугольной декартовой системе координат. Точка А – точка пересечения этой прямой с осью Ox (a;0). Уравнение: x=a является уравнением данной прямой.
    2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k и начальной координатой в точке b: y=kx+b, где k=tg , где - угол между прямой и осью Ox.
    3. Прямая параллельная оси Ox: k=0, имеет уравнение Y=b.
    4. Уравнение прямой, проходящей в данном направлении через данную точку M(x1;y1): (y-y1)=k(x-x1)
    5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
    6. Общее уравнение прямой Ax+By+C=0

Угол между  двумя прямыми: где АВ – координаты точек.

Условия параллельности прямых:

  1. Для прямых вида y=kx+b: k1=k2, k1=tg 1, k2=tg 2
  2. Для прямых общего вида Ax+By+C=0: , где А-коэффициент перед x, В-коэффициент перед y. Чтоб найти общую точку (точку пересечения)

Условия  перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями Ax+By+C=0

1) или A1A2+B1B2=0

2) прямые заданные  уравнениями Ax+By+C=0 и Bx-Ay+C=0 тоже перпендикулярны. 

 

22. Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве можно задать различными способами: тремя точками, точкой и вектором, перпендикулярным плоскости и т.д. В зависимости от этого рассматривают различные виды ее уравнения.

  1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Дана точка М0(x0, y0, z0) и ненулевой вектор n=(А,В,С). Возьмем произвольную точку М (x, y,z) данной плоскости. Т.к. вектор М0М=(x-x0, y-y0, z-z0) лежит на плоскости, то он перпендикулярен вектору n т.е. получим уравнение A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, которому можно придать вид Ax+By+Cz+D=0, где D=-(Ax0+By0+Cz0) – общее уравнение плоскости, где А,В,С одно временно нулями быть не могут.

Частные случаи:

  1. D=0, уравнение принимает вид Ax+By+Cz=0
  2. C=0, уравнение принимает вид Ax+By+D=0
  3. C=0, D=0, уравнение принимает вид Ax+By=0
  4. B=0, D=0, уравнение принимает вид Ax+D=0 или x=a (a= )
  5. B=0, C=0, D=0, уравнение принимает вид Ax=0 или x=0.

Угол между  плоскостями:

Пусть даны 2 плоскости. Угол между этими плоскостями равен углу между их нормальными векторами (ненулевыми векторами) n1 и n2 поэтому

1) Условия параллельности двух плоскостей: заданы две плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 первая из них имеет ненулевой(нормальный) вектор n1=(A1, B1 C1), вторая n2=(A2, B2, C2). Эти плоскости параллельны, если векторы n1 и n2 коллинеарны (лежат или на одной прямой или на параллельных прямых). => A2= A1 B2= B1  C2= C1 или

Информация о работе Шпаргалка по "Математики"