Шпаргалка по "Математики"

2. Если матрица  В получена из матрицы А перестановкой двух строк, то detB = -detA.

3. Если все  элементы некоторой строки матрицы  А равны нулю, то detA = 0.

4. Если все  элементы некоторой строки матрицы  А имеют общий множитель, то его можно выносить за знак определителя: 
 
 

 

6. Ранг  матрицы

Ранг матрицы  – наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Для того, чтобы  определить ранг матрицы необходимо выполнять простейшие действия с матрицей для того, чтобы получить нули в стоках или столбцах.

Элементарные  преобразования, при  которых ранг не меняется:

• Отбрасывание нулевой строки
• Умножение всех элементов стоки (столбца) на число, не равное 0
• Изменение порядка строк (столбцов) матрицы
• Прибавление или вычитание к строке (столбцу) другой строки (столбца)
• Транспонирование матрицы.

 

 

7. Обратная матрица

Обратная матрица  для квадратной матрицы А, если она существует, есть матрица того же порядка, которая обозначается А-1 и такая что  

Обратная матрица  существует тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (т.е. ее определитель не равен 0).

Как находить:

1. Найти определитель исходной матрицы, если не равен нулю делаем следующее действие;
2. Транспонируем исходную матрицу;
3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу;
4. Вычисляем обратную матрицу по формуле (получена в 3 действии)
5. Проверить правильность

Матричные уравнения:

1. AX=В

X=A^-1В

2. XA=C

X=CA^-1

3) XA=В

X=BA^-1

4) AXB=C

X=A^-1CB^-1 

 

8. Система линейных алгебраических уравнений как модель экономических задач

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

 
 
 
 
 
 

может быть записана в виде АХ = В,  где B ¹ 0.

Запись в матричной  форме: просто берется члены из уравнения, и записываются в матрицу на те же места, где они стоят в уравнении  с буквами переменных.

Для того, чтобы  определить имеет ли система решения  необходимо найти Ранг первой и ранг расширенной матрицы, сравнить их, если ранги равны – есть решение, а если нет – то решений нет.

Если ранг матрицы  равен числу неизвестных, то система  имеет единственное решение, если ранг < числа неизвестных, то решений бесконечное множество.

r переменных x₁,x₂,…x_n называются основными (базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальными n-r называются неосновными (свободными).

Опр. Элементарными называются следующие преобразования системы:

      1. Перестановка местами двух уравнений  системы.

      2. Умножение некоторого уравнения  системы на число, отличное  от нуля.

      3. Прибавление к одному уравнению  системы другого её уравнения,  предварительно умноженного на  некоторое число.

      4. Изменение порядка следования неизвестных.

Система диагонального  вида: если все элементы этой системы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Система ступенчатого (трапециевидного) вида: если все элементы, стоящие вне главной строки равны нулю.

Решением линейной матрицы называется упорядоченная совокупность n чисел с₁, с₂, …с_n подстановка которых вместо x₁, x₂, …x_n обращает в тождество каждое из уравнений этой системы. В матричном виде решение системы записывается следующим образом

 

9. Метод Гаусса и Теорема Кронекера-Капелли.

Метод Гаусса –  метод последовательного исключения переменных. Этот метод возможен только тогда, когда система совместна т.е. ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы. Метод Гаусса решения систем основан на том, что при применении элементарных преобразований к расширенной матрице системы мы получаем систему линейных уравнений, равносильную исходной.

Находим общее  решение:

Расширенную матрицу системы уравнений приводим к такому виду, чтобы как можно  больше было нулевых строк. запишем то что получилось в систему

Неизвестные x₁ и x₂ – называются базисными, а x₃ и x₄ – свободными. Выразим базисные неизвестные через свободные:

Свободные неизвестные  — это произвольные числа, которые  можно обозначить: с_1, с₂, тогда x₁ и x₂ однозначно вычисляются и общее решение системы имеет вид:

Теорема Кронекера-Капелли: теорема существования решений системы линейных уравнений. Система линейных уравнений совместна Û RgA = Rg(A,B). Ранг обычной = рангу расширенной матрицы, значит решения уравнения есть.

 

10. Системы уравнений с числом уравнений, равных числу неизвестных

Рассмотрим  частный случай неоднородной системы (2), когда m = n, т.е. систему вида 
 
 
 
 
 
 
 

в которой определитель основной матрицы системы |А| ¹ 0. В этом случае система линейных уравнений называется невырожденной.

Матричный метод: Запишем систему в матричной форме АХ = В, где 
 
 
 
 
 
 

Т.к. |А| ¹ 0, то матрица A системы имеет обратную матрицу A-1. Тогда

 
 

это и есть единственное решение системы 

Правило Крамера:

Если |А| ¹ 0, то единственное решение системы по правилу Крамера определяют по формулам

 

 

11. Общее решение  системы линейных  алгебраических уравнений

Общий вид системы  линейных алгебраических уравнений:

Где: a₁₁, a₁₂, …, a_{mn –} коэффициенты системы, x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить, b₁, b₂, … b_m — свободные члены

Методы решения:  

1) Матричный способ:  
 

Решается:

1)     AX=В

X=A^-1В

2. XA=C

X=CA^-1

3) XA=В

X=BA^-1

4) AXB=C

X=A^-1CB^-1

2) Методом  Гаусса 

Метод Гаусса –  метод последовательного исключения переменных. Этот метод возможен только тогда, когда система совместна т.е. ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы. Метод Гаусса решения систем основан на том, что при применении элементарных преобразований к расширенной матрице системы мы получаем систему линейных уравнений, равносильную исходной.

Находим общее  решение:

Расширенную матрицу системы уравнений приводим к такому виду, чтобы как можно  больше было нулевых строк. запишем то что получилось в систему

Неизвестные x₁ и x₂ – называются базисными, а x₃ и x₄ – свободными. Выразим базисные неизвестные через свободные:

Свободные неизвестные  — это произвольные числа, которые  можно обозначить: с_1, с₂, тогда x₁ и x₂ однозначно вычисляются и общее решение системы имеет вид:

3) Методом  Крамера

Если |А| ¹ 0, то единственное решение системы по правилу Крамера определяют по формулам  
 
 
 

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной

 

12. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Определяет  каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли.

X=AX+Y, где

X – вектор валового выпуска

Y – Вектор конечного продукта

А –  матрица прямых затрат

Основная  задача – отыскание такого вектора  валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

(E-A)X=Y

Матрица S=(E-A)^-1 называется матрицей полных затрат.

Чистая прибыль = X-  

 

13. Свободные векторы. Линейные операции над векторами

Свободным вектором является направленный отрезок, который изображается так:  или  где Р – начальная точка вектора; Q – его конечная точка.

Вектор, длина  которого равна нулю, называется нулевым.

Вектора, расположенные  на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Операции над  векторами:

• Сложение векторов (правило параллелограмма, треугольника)

Свойства сложения векторов: 
 
 
 
 
 

• Умножение вектора на число

 
 
 
 
 
 
 
 
 

• Первый  признак параллельности двух ненулевых  векторов

 

 

14. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов         а,b      называется число, обозначаемое              

равное 

Свойства  скалярного произведения векторов:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Векторным произведением двух векторов               называется такой вектор       , который удовлетворяет следующим условиям:

3) Вектора    a,b,c  образуют правую тройку.

Свойства векторного произведения: