Шпаргалка по "Математического анализа"

3 ∫f(x)dx=-∫f(x)dx

4 Если f(x)≤g(x) на (A,B), то ∫f(x)dx≤∫g(x)dx

5 Если  на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то m(B-   

   -A)≤∫f(x)dx≤M(B-A)

6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка

    С∈(A;B) ∫f(x)dx=f(C)·(B-A)

7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ∫f(x)dx существует

8 ∫f(x)dx=∫(a→d)f(x)dx+∫(d→b)f(x)dx

9 Формула Ньютона-Лейбница:

    ∫f(x)dx=F(B)-F(A)→F`(x)=f(x)

38 Применение опр. ∫

1 Вычисление  площадей (Н-Лейб)

    Если на (А,В) f(x)>0 то S=∫f(x)dx

    Если на (А,В) f(x)<0 то S=-∫f(x)dx

    Если на (А,В) f(x)>g(x) то S=∫[f(x)-g(x)]dx

          (действительно для всех вариантов расп. ф-ий)

2 Вычисление  объёмов тел вращения

    V=π∫f²(x)dx

39 Приближ. вычисление интегралов

1 Формула  Н-Лейб.

2 Метод  прямоугольника

    (B-A)/n=h: ∫(A→B)f(x)dx~=h(f1+f2…+fn)

3 Формула трапеции  ∫f(x)dx~=h(1/2·f0+f1+f2+…fn)

4 Формула Симпсона

    n-чётное

    ∫f(x(dx=(B-A)/3n(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+…+4fn-1+fn)

40 Несобственные ∫ бывают 2-х видов:

  ∫-ы вида ∫(a;+∞)f(x)dx;  ∫(-∞;b)f(x)dx;  ∫(-∞;+∞)f(x)dx

  называются несобственными ∫-и 1-го рода

Если  сущ. предел (b→∞) ∫(a;b)f(x)dx=C (C≠∞) то интеграл сходится и наоборот.

Пусть есть числовой ряд ∑Ax=A0+A1+…An+… и пусть есть ф-ия f(x)=Ax на интервале [ a:b) Тогда ряд и несобственный ∫(a;∞)f(x)dx сходятся или расходятся одновременно

Если  lim (x→b)f(x)=∞ или lim(x→a)f(x)=∞ то ∫f(x)dx наз. несобственным интегралом 2-го рода, он сходится если сущ. конечный предел

  lim ∫(a; b-δ)f(x)dx

δ→0

41 Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x1,x2,x3…xn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне определённое значение переменной величины Z. Тогда говорят,что задана ф-ия нескольких переменных Z=f(x1…xn)

Если  сущ-ет lim(Δx→0)f(x+Δx,y)-f(x,y)/Δx=fx`(x,y) то он называется частной производной по переменной х.

Если  сущ-ет lim(Δy→0)f(x,y+Δy)-f(x,y)/Δy=fy`(x,y) то он называется частной производной по переменной y

Величина  dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от ф-ии f(x;y)

Z=f(x1+x2+…xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn

Дифференциалом  ф-ии называется сумма произведений частных производных на приращение соответствующих независимых переменных.

42 Если  Z=f(x;y) имеет в точке (х0;у0) экстремум (локальный) и ф-ия дифференцируема (т.е. имеет частные произв-ые) то частные произв-ые в этой т. равны 0.

43 Формулы служащие для аналитического представления опытных данных получили название эмпирических формул

Этапы вывода ЭФ:

1 Установить  вид зависимости (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.)

2 Определение  известных параметров этой ф-ии

   Для линейной зависимости сущ-ет метод наименьших

   квадратов

44 ДУ  называют ур-ие, связывающее искомую  ф-ию одной или нескольких переменных, эти переменные, и производные  различных порядков данной ф-ии.

Решением  ДУ называется такая ф-ия, котю при  подстановке её в это ур-ие обращает его в тождество.

ДУ первого  порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию y=f(x) и её производную y`=f`(x)

ДУ первого  порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно м/б представленно  в виде

dy/dx=f(x)g(y)

Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного рав-ва:

dy/g(y)=f(x)·dx  → ∫ dy/g(y)=∫ f(x)·dx

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Понятие числа (от натур. до комплексного)
2. Сложение, вычитание, *, / для комплексного числа
3. Тригонометрическая форма комплексного числа
4. Возведение в степень комплексного числа
5. Извлечение ªÖ из комплексного числа
6. Последовательность и её предел
7. Св-во сходящихся последовательностей (док-во)
8. БМВ и ограниченная последовательность. Св-ва БМВ
9. Знакоположительный ряд и его сходимость (пример)
10. Признак сравнения двух знакоположительных рядов (примеры)
11. Признаки Даламбера и Коши
12. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница (пример)
13. Прямая и обратная функция (примеры)
14. Предел ф-ии в точке
15. Непрерывность ф-ии в точке. Св-ва непрерывных ф-ий
16. Непрерывность линейной и степенной ф-ий
17. Непрерывность ф-ий Вª  и LOGaX
18. Непрерывность тригонометрической ф-ии
19. 1-ый замечательный предел
20. 2-ой замечательный предел и его применение для

начисления  непрерывных %

21. Понятие производной от ф-ии. Геометрический и механический

смысл призводной

22. Понятие пр-ой. Пр-ая от +, -, * двух ф-ий
23. Понятие пр-ой. Пр-ая от / двух ф-ий
24. Понятие пр-ой. Пр-ая от Хª
25. Понятие пр-ой. Пр-ая от обратных ф-ий (LNx, eª)
26. Пр-ая от тригонометрической ф-ии.
27. Пр-ая от сложной ф-ии (пример)
28. Понятие дифференциала ф-ии. Его геометр. смысл
29. Исследование ф-ий с помощью пр-ой и пределов.
30. Понятие асимптот и их нахождение
31. Степенной ряд и область его сходимости
32. Разложение ф-ий в степенные ряды
33. Неопределённый интеграл. Табл. Интегралов
34. Метод интегрир-ия с помощью замены переменных (примеры)
35. Интегрирование по частям
36. Интегрир-ие с помощью разложения на элементарнве дроби
37. Определённый интеграл и его св-ва. Формула Ньютона-Лейбница
38. Применение опр. интегралов
39. Приближённый метод вычисления опр. интегралов
40. Несобственные интегралы
41. Ф-ии нескольких переменных. Понятие частных пр-ых и дифференциала
42. Экстремум ф-ий нескольких переменных
43. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.

44        Понятие ДУ и методы его решения.