Шпаргалка по "Математического анализа"

x→x0

20 Второй замечательный предел

  lim(1+1/a)ª=e

a→∞

Число е (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в матанализе.

  lim (1+a)¹’ª=e

a→0

21 Пусть имеется ф-ия y=f(x), определённая на (а; в), говорят что ф-ия имеет в т. х0∈(а; в) производную f ’(x0) если существует предел

  lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)

x→x0

Производной ф-ии y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Ф-ия имеющая  производную в каждой точке интервала  называется дифференцируемой на этом интервале.

Геометрический смысл производной: пр-ая f `(x0) есть угловой коэфф. (tg угла наклона) касательной, проведённой к кривой y=f(x) в точке х0 , k=f ‘(x0)

у=f ‘(x0)(x - x0)

Механический  смысл производной: пр-ая пути по времени       s ‘(t0) есть скорость точки в момент t0: V(t0)=s ‘(t0)

Определение для любой точки

 

22 Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ий равна такой же сумме производных этих ф-ий

(u±v)`=u`± v`

Производная произведения двух дифференцируемых ф-ий равна произведению пр-ой первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на про-ую второго:

(uv)`=u`v + uv`

   Постоянный множитель можно выносить за знак 

  производной

   (cu)`=cu`

   Производная произведения нескольких

   дифференцируемых ф-ий равна сумме произведений

   производной каждого из сомножителей  на все остальные

   (uvw)`=u`vw+uv`w+uvw`

23 Производная частного двух ф-ий u(x)/v(x), если v(x)≠0

равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя есть квадрат прежнего знаменателя: (u/v)`=(u`v-uv`)/v²; v≠0

   (u/c)`=1/c*u`

   (c/u)`=-cv`/v²       c=const

24 (xª)`=axªˉ¹

25 (LNx)`=1/x

     (eª)`=eª

     Для дифференцируемой ф-ии с производной, не равной

     0, производная обратной ф-ии равна  обратной величине 

     производной данной ф-ии 

      X`y = 1/Y`x

26 (sin x)`=cos x

     (cos x)`=-sin x

     (tg x)`=1/cos²x

     (ctg x)`=-1/sin²x

27 Если y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые ф-ии от своих аргументов, то производная сложной ф-ии существует и равна производной данной ф-ии по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по незавмсимой переменной х

y`=f`(u)*u`

y=f(u(x)) Fx`=Fu`*Ux`

Пример:

 y=(√x+5)³ y`=?

   y=u³, где u=√x+5

   по формуле : y`=3u`*u`=3(√x+5)²(√x+5)`=3(√x+5)²/2√x

28 Дифференциалом ф-ии наз. линейная часть приращения ф-ии (относительно Δх), равная произведению производной на приращение независимой переменной.

dy=f`(x)Δx

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Геометрический  смысл: Дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведённой  к графику ф-ии y=f(x) в данной точке когда х получает приращение Δх

29 При  исследовании ф-ий используется следующий алгоритм:

1 ООФ,  ОЗФ

2 Непрерывность  ф-ии

3 Нахождение  асимптот

4 Экстремумы  и интервалы монотонности

5 Интервалы  выпуклости и т. перегиба

6 Чётность  нечётность, периодичность

7 Т.  пересечения с Ох и Оу

(3)Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при            

      х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой     

      f(x)

   Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.   

   горизонтальной асимптотой f(x)

      Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел

  (f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й

(4)Если  производная ф-ии положительна (отрицательна)

      внутри некоторого промежутка  Х то ф-ия возрастает 

      (убывает) на этом промежутке

      Если при переходе через т.  х0 производная 

      дифференцируемой ф-ии меняет свой знак и в т. х0

      равна 0 то х0-точка экстремума (минимума или 

      максимума)

(5)Точкой перегиба непрерывной ф-ии (f``(x)=0) наз. т. в

      разделяющая интервалы, в которых  ф-ия выпукла вниз и 

      вверх.

      Ф-ия  y=f(x) называется выпуклой внизу на интервале

     (a;b) если f``(x)>0 на (a;b); ф-ия называется выпуклой

      вверх  на (a;b) если f``(x)<0 на (a;b)

30 Асимптотой  графика ф-ии y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки           (х, f(x)) до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

      Если для некоторого х0 имеет  место предел f(x)=∞ при            

      х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой    

      f(x). Вертикальные асимптоты следует  искать в точках 

      разрыва ф-ии или на концах  её ООФ (а; в) если аи в  – 

      конечные числа

   Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.   

   горизонтальной асимптотой f(x)

      Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел

  (f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й

      Наклонная асимптота как и  горизонтальная может быть 

      правосторонней или левосторонней

31 Степенным  рядом наз. ряд вида (1)∑ Bn*xª  = b0+b1x+b2x²…+baxª+… это ряд в котором членами являются ф-ии, в частности степенные. Совокупность тех значений х, при которых степнной ряд сходится, называется областью сходимости степнного ряда.

Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся рядом, если сходится ряд (2) ∑ | bn |*| x |ª

Т1. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1)

Т2. Для  любого степ. ряда (1) сущ-ет такое неотрицат. число R≥0 что этот ряд сходится абсолютно при | x |<R и расходится при | x |>R; R – радиус сходимости ряда

Даламбер: lim | Bn+1 |/| Bn |<1 (n→∞) сходится

                                               >1 (n→∞) расходится

32 Разложение  ф-ий в ряд:

Если  бесконечно дифференцируемая ф-ия f(x0)=a0

f`=A1+2A2(x-x0)+n*An(x-x0)ªˉ¹

f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+…+fª(x0)(x-x0)ª/a!

Рядом Тейлора ф-ии f(x) в окрестности т. х0 называется степ. рядом отн. разности (х-х0)

Особенно  часто используется разложение ф-ии в ряд по степеням х, при этом х0=0; f(x)=f(0)+f`(0)+f ª(0)/a!*xª

Ряд Маклорена  – частный случай ряда Тейлора

eª=1+x+x²/2!+x³/3!+…+xª/a!+…

sin x=1+ x-x³/3+…+(-1)ª*(x²ªˉ¹)/(2a+1)!+…

cos x=1-x²/2!+x⁴/4!+…+(-1)ⁿ*x²ⁿ/(2n)!+…

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-…+(-1)ⁿxⁿ⁺¹/n+1…

33 Ф-ия F(x) наз. первообразной для ф-ии f(x) если для всех х (из области определения) имеет место F`(x)≡f(x) нетрудно увидеть что если F(x) является первообразной для f(x) то и для F(x)+C также явл. первообразной.

Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от ф-ии f(x) обозначается F(x)+C=∫f(x)dx

dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx

Св-ва неопр.∫

∫dF(x)=F(x)+C

(∫f(x)dx)`=f(x)

∫αf(x)dx=α∫f(x)dx

∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

Таблица интегралов

34 Метод  замены переменных:

∫f(x)dx=∫f(φ(t))·φ`(t)dt → x=φ(t)

   ∫sin 5x dx=∫sin t 1/5dt=1/5∫sin t dt=-1/5 cost+C =-1/5cos 5x+C

   5x=t; x=1/5t; dx=1/5 dt

35 Интегрир-ие по частям:

∫ U·dV=UV-∫VdU

Возможности применения связаны с тем, что дифференцир-ие может существенно упростить один из сомножителей (при условии что дифф-ие не слишком усложнит другой)

∫ x²·sinx dx

   x²=U                         dU=2x dx

   sin x dx =dV             V=-cos x

 

∫ = x²·sin x dx=-x²·cos x -∫(-cos x)2x dx=-x²·cos x+2∫x·cos x dx

   x=U                           dU=dx

   cos x dx=dV              V=sin x

∫ = x²·sin x dx=-x²cos x +2(x·sin x-∫sin x dx)= -x²·cos x+2x·sin x +2cos x+C

36 Рациональной дробью называется ф-ия, равная отношению двух многочленов f(x)=Pm(x)/Qn(x), Pm(x)-многочлен степени m, Qn(x)- многочлен степени n.

Рациональная  дробь наз. правильной если степень  числителя меньше степени знаменателя, т.е. m<n, в противном случае дробь неправильная.

Интегрирование  дробей методом разложения на элементарные дроби:

1 Если  дробь неправильна, то представить  ее в виде суммы многочлена  и правильной дроби.

2 Разложив  знаменатель дроби на множители,  представить её в виде суммы  простейших рац. дробей.

3 Проинтегрировать  многочлен и полученную сумму  простейших дробей.

37 Определённым  интегралом от ф-ии f(x) на отрезке (a; b) называется предел интегральной суммы Sn, когда n→∞ (Δxi→0)

Cв-ва опр. интеграла:

(все  интегралы на отрезке от А  до В)

1 ∫С·f(x)dx=C·∫f(x)dx

2 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx