Шпаргалка по "Математического анализа"

1Натуральные  числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов,  указание порядкового номера. Натуральные  числа также называют положительными  целыми числами. Числа –1,-2,   -3, …, противоположные натуральным  называются отрицательными целыми  числами. Число 0 тоже целое.  Рациональные числа – целые и дроби (+,-) Вид М/N, где (N 0)  M и N- взаимно простые целые числа. Иррациональные -  √2 все вышепереч-е + бесконечные непериодич. дроби. Все эти числа – действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; i²=-1

2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2)

   Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2)

   Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+         

   i(b1a2-a1b2)\a2²+b2²=(a1a2+b1b2/a2²+b2²)+i* (b1a2-

   a1b2/a2²+b2²)

3 Тигонометрическая форма комплексного числа

   Z=a+ib=r*cosφ+i*r*sinφ=r*(cosφ+i*sinφ)

   r – модуль; φ – аргумент. b – y; a – x.

4 Zª=rª(cos Aφ+i*sin Aφ)

5 ª√Z=ª√r(cos φ+2πk/а +i *sin φ+2πk/a) k∈(1;2;3…a-1)

Все корни  А-ой степени лежат на окружности r=| Z |¹\а и являются вершинами правильного А-угольника, вписанного в эту окружность.

6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием номера n ) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью

1,1,1,1,1…1

1,1/2,1/3…1/N

1,-1,1,-1…(-1)ª

  Xn,n∈N

Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как только n>N(E) то имеет место неравенство | Xn – A | < E

  lim  Xn = A

   n→∞

Число А есть предел последовательности Xn если для любого ε > 0 найдётся  такой номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последовательности будут заключены в ε-окрестности какой бы она узкой ни была. Вне этой окрестности может быть лишь конечное число членов этой последовательности.

7 Если  последовательность Хn монотонна  и ограничена, то она имеет предел (сходится).

Cвойства пределов:

если  Хn=С то lim Xn=C

                         n→∞

пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B                       

            n→∞            n→∞                 lim (Xn*Yn)=A*B

                                                           lim (Xn/Yn)=A/B ; B≠0 

если  Xn≤Yn для n∈N то lim Xn ≤ lim Yn

                                            n→∞        n→∞

8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена

Последовательность  Xn; n∈N наз. ограниченной если существует положительное число М, что выполняется нер-во | Xn |≤M; n∈N

Если lim Xn=0, то Xn; n∈N наз. БМВ обознач (αn,βn,γn)

          n→∞

Св-ва БМВ:

lim αn=0

n→∞

lim (αn±βn)=0

n→∞

lim (Xn*αn)=0;  если Xn-ограничена

n→∞

В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической сумме замену можно производить в том случае если не происходит сокращения БМ одного порядка с Х:

sin X ~ X                   eª-1 ~ a

tg X ~ X                     (1+x)ª ~ ax

1 –  cos X ~ X²/2         arctg X ~ X

LOGe(1+X) ~ X         xª-1 ~  aLNx

9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом.

Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда

Если  при n→∞ lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда .

Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его частичных сумм.

Прим:

  при каких q сходится и расходится ?

 сходится к сумме S=a/1-q при | q |<1 и расход-ся при | q |≥1

10 Признак  сравнения двух знакоположит-х  рядов.

 есть 2 знакполож. ряда ∑Ak,∑Bk так что 0≤Ak≤Bk k∈N

 тогда если ∑Bk⇒ то ∑Ak тоже ⇒ и наооборот если меньший ряд не сходится то и больший тоже.

11 Признак Даламбера

∑Un c положительными членами сущ. lim Un+1/Un =l

                                                                       n→∞

то ряд  сходится если l<1 и расходится если l>1, если l=1 то вопрос о сходимости нерешён.

     Признак Коши

     ∑An – знакополож. ряд lim  ª√An=q

                                              n→∞ 

     q<1 – сходится  ; q>1 – расходится.

12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An

      An>0

     Признак Лейбница:

     Если члены ряда (знакопер) убывают  а1>a2>a3>…An и           

     предел  Аn при n→∞ =0 то ряд сходится

пример 1-1/2+1/3-1/4…+(-1)(n-1)*1/n

13 Имеет  место функциональная зависимость между двумя переменными величинами  х и у если задан закон y=f(x), согласно которому каждому х∈Х соответствует значение y∈Y. х-аргумент

 y=kx+b – линейная ф-ия

 y=ax²+bx+c – квадратичная ф-ия

Обратная  ф-ия – ф-ия x=φ(y) наз. обратной ф-ией к прямой ф-ии y=f(x) если x=φ(f(x)) для всех х∈Х

 Графики  взаимно обратных ф-ий симметричны  относительно прямой у=х.

y=Xª  и y=LOGxA – примеры

14 Число  B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ(ε)>0 что для всех х не равных х0 и удовлетворяющих  условию | x-x0 |<δ выполняется нерав-во | f(x)-B | < ε

                    lim f(x)=B

                    x→x0

Смысл состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0, значения ф-ии f(x) как угодно мало отличаются от числа В (по модулю)

15                lim f(x)=B

                    x→x0

Если  B=f(x0), то ф-ия f(x) – непрерывна в точке х0.

св-ва :

lim c=c

x→x0

 если f(x)=b, φ(x)=c то lim (f(x)±φ(x))=b±c

                                      x→x0

                                       lim (f(x)*φ(x))=b*c

                                      x→x0

                                        lim (f(x)/φ(x))=b/c (c≠0)

                                      x→x0

Если  f(x)≤φ(x)≤g(x) и lim f(x)=lim g(x) =b то lim φ(x)=b

                                       x→x0    x→x0              x→x0

  если при этом b=f(x0); c=φ(x0) то св-во 2 можно записать:

  (Если  f(x) или φ(х) непрерывны в т. х0 то в т.х0      

   непрерывны сумма, разность, произведение  и      

   частное(φ(х0))≠0 этих функций

Если  ф-ия непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на этом отрезке

16 Линейная  ф-ия непрерывна в любой точке  А∈(-∞;+∞)

y=kx+b=f(x)

f(A)=kA+b

k≠0 ⇒ | f(x)-f(a) |<ε      | kx-b-ka+b | <ε

              | k (x-f) | <ε

              | k |*| x-a | <ε

              | x-a | < ε/| k |=δ(ε)

y=ax²+bx+c  (-∞;+∞)

17 y=Bª  (B>0)

Докажем, что y=Bª непрерывна на (-∞;+∞)

lim Bª=1

a→0

| Bª-1 | <ε     1) B=1  

                     2) B>1

-ε < Bª-1 < ε      1-ε < Bª < ε+1

LOGb(1-ε)<a<LOGb(1+ε)

min {-LOGa(1-ε); LOGa(1+ε)}= δε

| x | < δε

LOGaB

18 y=cos x (-∞; +∞)

     | cos x – cos a | < ε

     | 2 sin (x-a)/2 + sin (x+a)/2 | < ε

     2 | sin (x-a)/2 | + | sin (x+a)/2 | < ε

     2 | sin (x-a)/2 | < ε

     | x-a | < ε =δ(ε)

y=sin x (-∞; +∞)

y=tg x=sin x/cos x кроме x=π/2+πk

y=ctg x=cos x/sin x кроме x=πk

19 Первым  замечательным пределом называется

  lim sin x/x=1