Производная

     

Тогда

     

     Пример. Для

первая производная имеет вид Тогда и вторая производная такова:

     V  Функция, заданная неявно

     Повторное дифференцирование такой функции  покажем на примере:

Тогда по определению:

     

.

Остается  подставить в последнее выражение  значение :

     

.

Полученное  выражение можно упростить, используя  само уравнение:

     

. 
 
 

 

     Тема    ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 

         Лекция  10

     §1. Необходимое условие экстремума

     Рассмотрим функцию , определенную на промежутке , и пусть точка – внутренняя точка промежутка: .

     Определение 1. Точка называется точкой (локального) максимума функции , если существует окрестность этой точки, в которой (при ) выполняется неравенство . Другими словами для малых приращений аргумента приращение функции .

     Определение 2. Точка называется точкой (локального) минимума функции , если существует окрестность этой точки, в которой (при ) выполняется неравенство . Другими словами при малых .

     Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Их можно характеризовать  следующим образом: приращение функции  в точке экстремума имеет постоянный знак, не зависящий от знака  (если достаточно мало).

     Теорема Ферма. Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

     Доказательство. Дифференцируемость означает существование конечного предела

     

.

     Для этого предела имеется три  возможности:  1) ;  2) ;

3) . Предположим, что . Тогда для  близких к нулю разностное отношение . Если же , то и (для малых ). В обоих случаях знак зависит от знака . Но по условию теоремы – это точка экстремума, значит, знак не зависит от знака . Это противоречие означает, что не может быть ни положительным, ни отрицательным. Остается последняя возможность: .

     Замечание 1. Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если в точке графика функции , которой соответствует экстремум функции, существует касательная к графику, то эта касательная параллельная оси Ox.

     Замечание 2. Сформулированное в теореме условие является необходимым, но не достаточным. Например, функция имеет производную , которая обращается в ноль в точке . Однако,

     

.

     Выражение в скобках всегда положительно, как  неполный квадрат суммы. Следовательно,    и в точке нет экстремума. 
 

     §2. Теорема о среднем значении

     Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям: 1) непре-    рывна на ; 2) дифференцируема на ; 3) . Тогда существует точка такая, что .

     Доказательство. В силу непрерывности функции на замкнутом промежутке существуют точки такие, что , и, поэтому .

     Для этих точек имеется 2 возможности: 1) они совпадают с концами промежутка; 2) хотя бы одна из них является внутренней точкой.

     В первом случае из следует, что , то есть . Поэтому, .

     Во  втором случае, точка  или , попавшая внутрь промежутка, является точкой экстремума функции и так как дифференцируема в этой точке, то по теореме Ферма .

     Обе возможности приводят к тому, что  внутри существует точка c, в которой .

     Замечание 1. На геометрическом языке теорема Ролля означает следующее: если крайние ординаты кривой равны, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси Ox. При этом требования непрерывности функции на и дифференцируемости на существенны и не могут быть ослаблены.

     Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на . Тогда существует точка такая, что справедлива формула:

     

.  (1)

     Доказательство. Введем вспомогательную функцию , определив её на равенством:

     

.

     Эта функция, так же как и , удовлетворяет первым двум условиям теоремы Ролля. Подберем l так, чтобы (третье условие теоремы Ролля):

     

.

     Теперь  к функции  можно применить теорему Ролля:   и : , т.е.

     

.

     Теорема доказана.

     Замечание 2. Теорему Лагранжа называют основной теоремой дифференциального исчисления, а формулу (1), записанную в виде

     

,  (2)

называют  формулой конечных приращений. Положим , а точку c, лежащую между x и запишем в виде , где . Тогда:

     

.

     Эта формула даёт точное значение для  приращения функции при любых  конечных приращениях аргумента. Этим она отличается от формулы бесконечно малых приращений (§4, тема “Производная”)

     

,

из которой  получается лишь приближенное равенство

     

,

справедливое  для достаточно малых  .

     Замечание 3. Пусть . Тогда правая часть формулы (1) есть угловой коэффициент секущей AB. Геометрически теорема Лагранжа означает следующее: на графике функции между точками А и В найдется точка , касательная в которой параллельная секущей AB.

     Несмотря  на то, что в формуле конечных приращений фигурирует неизвестное  число с (или ), эта формула имеет многочисленные приложения.

     Пример 1. Доказать оценку

     

.

     Для доказательства рассмотрим функцию  . Тогда

     

, .

Значит, , где . Оценим производную функции 

 в точке с:

      .

Умножая все части этого двойного неравенства  на  0.2,  получим:

      .

     Пример 2. Формула (1) позволяет доказывать некоторые полезные неравенства. Например,

     

, ,

так как . Или

, если только  : для . 
 

         Лекция  11

     §3.  Обобщение формулы  конечных приращений

     Теорема Коши. Пусть функции и удовлетворяют условиям:    1) непрерывны на ; 2) дифференцируемы на ; 3) на . Тогда существует точка такая, что справедлива формула:

     

.  (1)

     Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию . Она непрерывна на и дифференцируема на . Подберем l так, чтобы :

     

.  (2)

     С таким l эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля, следовательно : . Но , значит и

     

.

     Сравнивая эту формулу с (2), получим (1).

     Замечание 1. Знаменатель левой части формулы (1) отличен от нуля. В противном случае к функции можно было бы применить теорему Ролля и внутри получить точку, в которой , что противоречит условию теоремы Коши.

     Замечание 2. Может показаться, что теорема Коши не содержит ничего нового: ведь к каждой из функций и можно применить формулу конечных приращений (2) из §2. Однако, теорема Лагранжа не гарантирует, что точка одна и та же для различных функций. 
 

     §4. Раскрытие неопределенностей.

     Правило Бернулли-Лопиталя

     I  Понятие неопределенного выражения

     Пусть и – бесконечно малые, а и – бесконечно большие функции при .

     Неопределенными выражениями (или неопределенностями) при  называют следующие выражения:

     1) – неопределенность вида ;

     2) – неопределенность вида ;

     3) – неопределенность вида ;

     4) – неопределенность вида ;

     5) – неопределенность вида ;

     6) – неопределенность вида ;

     7) – неопределенность вида .

     Раскрыть  неопределенность означает вычислить  предел (соответствующего выражения) при  .

     II  Неопределенности вида  ,  .          

     Теорема Бернулли–Лопиталя. Пусть функции и удовлетво-                     ряют условиям:  1) определены и дифференцируемы на   ;  2) ;     3)выражение являются при неопределенностью вида или . Тогда, если существует предел (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

     

.

     Другими словами предел отношения двух б.м. или б.б. функций можно заменить пределом отношения их производных, если последний существует – это  и есть правило Бернулли-Лопиталя.

     Доказательство. Докажем теорему лишь для случая . Доопределим функции и в точке , положив их равными нулю: . Теперь эти функции непрерывны во всем замкнутом промежутке  : их значение в точке а совпадают с пределами (ведь и при ), в других же точках непрерывность вытекает из дифференцируемости. К этой паре функций можем применить теорему Коши из §3:

     

,