Производная

     III–V. Если функции и дифференцируемы в точке x, то их сумма, разность, произведение и частное (если ) также дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:

     III.

     IV.

     V. 

     Докажем, например, формулу дифференцирования частного. Пусть . Тогда:

.

Добавим и вычтем в числителе член , сгруппируем и вынесем за скобки общие множители. Будем иметь:

     

.

Составим  разностное отношение, т.е. отношение  приращения функции к приращению аргумента:

     

.

Теперь  перейдем к пределу при . Так как и - дифференцируемы (а, следовательно, непрерывны), то существуют пределы

     

,  ,  ,

а и от не зависят и выносятся за знаки пределов. Значит, существует предел разностного отношения, т.е.

     

.

     VI. Пусть функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , причем . Тогда и сложная функция дифференцируема в точке и имеет место формула

     

.

     Другие  формы записи этой формулы:

     

,   .

     Для доказательства придаем аргументу x функции приращение . Оно вызовет приращение этой функции, которое в свою очередь вызовет приращение функции . В силу теоремы 1 §4 из диффе-ренцируемости функций и имеем:

     

               

Подставляя  первую формулу во вторую, получим  для приращения сложной функции:

     

Сразу отметим, что в силу непрерывности  функции  (следует из её дифференцируемости) ее приращение стремится к нулю при . Составляем разностное отношение и переходим к пределу

     

.

Первое  слагаемое под знаком предела  в правой части – это постоянная. Второе – произведение постоянной на бесконечно малую, ибо по определению символа . Третье слагаемое представим в виде

     

.

Здесь первый множитель есть бесконечно малая  при  , а второй имеет конечный предел . Итак, второе и третье слагаемое – это бесконечно малые при . Отсюда и получаем формулу дифференцирования сложной функции.

     Замечание 1. Остальные правила дифференцирования приведем позже. 
 

     §6.  Производные основных элементарных функций

     I  Степенная функция y=x^a

     Находим приращение функции и составляем разностное отношение:

Вычислим  предел этого разностного отношения, используя эквивалентность для  степенной функции ~ ma   при  :

      Итак, имеем 

     

   (1)

     Замечание 1. Вывод последней формулы предполагает, что . Вычис-лим (считаем, что , следовательно, ):

      .

Величина  этого предела зависит от : для , для и для . Но этот же результат можно получить из формулы (1) с помощью теоремы 2 §3. Аналогичный результат можно получить и для , если a таково, что степенная функция определена для .

     Замечание 2. Ряд частных случаев формулы (1) лучше запомнить как самостоятельные формулы дифференцирования:

     

,  ,   .

     II  Показательная функция   y=a^x

      .

Итак,

.

     Частный случай этой формулы: .

     III  Логарифмическая  функция 

Итак,

                                                       .

     Для логарифмической функции с произвольным основанием используем формулу перехода:

                                                       .

     Отсюда  .

     Можно предложить и другой способ вычисления с использованием основного логарифмического тождества . Продифференцировав почленно это тождество, получим:

     

.

     Отсюда  и получим  .

     IV Тригонометрические функции

     1. y=sinx

.

(на последнем шаге мы воспользовались непрерывностью косинуса).

     Итак,

     

.

     Производные остальных тригонометрических функций  можно вычислить, используя определение  производной, но проще использовать известные правила дифференцирования  и формулы, связывающие тригонометрические функции друг с другом.

     2. y=cosx

.

Итак,

.

     3. y=tgx

.

Итак,

     

.

     4. y=сtgx.

Аналогично  предыдущему можно получить

     (ctg

.

 

      V  Обратные тригонометрические функции

     Производные этих функций проще всего получить при помощи основного тождества, связывающего пару взаимно обратных функций, а именно: .

     1. y=arcsinx

     Дифференцируем  почленно тождество :

(напомним, что  , поэтому ).

Итак,

.

     2. y=arccosx

     Известное соотношение  и предыдущая формула для , позволяют получить

     

.

     3. y=arctgx

Итак,

.

     4. y=arcctgx

     Из  соотношения  , получим

     

.

     Замечание 3. Покажем на примере как можно получать производные аркфункций, исходя из определения производной. Приращение арктангенса стремится к 0 при (в силу непрерывности функции). Отсюда получаем эквивалентность: при Теперь можно легко найти предел разностного отношения:

      .

     Замечание 4. Производные аркфункций можно получить также, используя общее правило дифференцирования обратной функции, которое будет приведено ниже. 

     VI Гиперболические и обратные гиперболические функции

     Эти функции элементарным образом выражаются через показательную и логарифмическую  функции. Поэтому проще всего  находить их производные, используя  известные правила дифференцирования.

     Например:

     Производные других функций этой группы студентам  предлагается получить самостоятельно. 

     VII Сводка формул для производных

     1.  ,   ,  ,   .

     2. ,  .

     3. ,   .

     4. .   5. .

     6. (tg .   7. (ctg .

     8. .  9. .

     10. .   11. .

     12. .   13. .

     14. .   15. .

     16. .

     17. .

     18. . 
 

     §5 (продолжение). Основные правила дифференцирования

     VII  Логарифмическая производная

     Пусть функция  положительна и дифференцируема. Тогда и функция – дифференцируема, причем

     

.

     Это выражение и называется логарифмической  производной функции  . Отсюда легко получить производную самой функции :

     

.

     Используя эту формулу можно получить правило  дифференцирования сложной степенно-показательной  функции:

      .

Окончательно  имеем формулу:

     

.

     Замечание 2. Вообще говоря, всегда лучше помнить не лишнюю формулу, а приём, который приводит к этой формуле. Для степенно-показательной функции можно предложить прием, использующий основное логарифмическое тождество:

     

.

      Примеры.