Производная

     2.

     VIII Дифференцирование обратной функции

     Пусть функция  в некоторой окрестности точки – непрерывная и строго монотонная, а кроме того, дифференцируема в точке , причем . Тогда в некоторой окрестности точки существует обратная функция , также непрерывная, строго монотонная и дифференцируемая в точке , причем

     

. (1)

     Строгое доказательство приводить не будем, но дадим геометрическую иллюстрацию. При этом используем тот факт, что у графики взаимно-обратных функций и совпадают, а производная – это угловой коэффициент касательной.

     

      ,

       

     Формулу (1) записывают еще в виде или .

     Применим  последнюю формулу для вычисления производной, например, арксинуса:

      ,

       

     IX  Дифференцирование функции, заданной параметрически

     Пусть имеется система параметрических  уравнений  , , причем функции и дифференцируемы и сохраняет знак. Тогда на области значений функции существует дифференцируемая функция , причем

     

     Действительно, из условия  (или ) следует монотонность функции ; следовательно, у неё существует обратная . Тогда – некоторая функция от x. Её производную можно найти, если применить правила дифференцирования сложной и обратной функций:

              

     Пример. 3. Составим уравнение касательной к эллипсу в точке , соответствующей значению параметра .

     Координаты  точки касания:  , .  Угло-   

вой коэффициент  касательной

     

.

Искомое уравнение имеет вид:    .

     Замечание 3. Вообще говоря, производная функции, заданной параметрически, есть функция, заданная параметрически. Методически более правильным было бы писать такую производную в виде системы параметрических уравнений:

     

     X Дифференцирование функции, заданной неявно

     При некоторых условиях, которые будут  сформулированы в теме “Функции нескольких переменных”, уравнение с двумя переменными вида определяет y как функцию от x: . Другими словами, существует функция , обращающая уравнение в тождество. Производную этой функции можно найти (в неявном же виде), не находя самой функции. Точные формулы будут даны позже, а сейчас сформулируем правило:

     тождество дифференцируем по x, не забывая, что y – это функция от x; затем из полученного равенства находим .

     Примеры. 4. Дано: . Дифференцируем по x обе части:

  . .

     5. Выведем уравнение касательной  к эллипсу  , проходящей через его точку . Найдем угловой коэффициент касательной. Для этого уравнение эллипса дифференцируем по x, не забывая, что :

      .

В общее  уравнение касательной подставим  найденный коэффициент и преобразуем  уравнение:

 

      .

     Так как точка  принадлежит эллипсу, то правая часть полученного уравнения равна 1. Следовательно, искомая касательная имеет уравнение

     

. 
 

     §7.  Дифференциал функции

     I  Определение и геометрический смысл

     Известно, что приращение дифференцируемой в  точке  функции можно записать в виде суммы

     

двух  слагаемых, каждое из которых стремится  к нулю при  . Однако, второе слагаемое имеет порядок малости более высокий, чем первое (“быстрее” стремится к нулю). То есть в этой сумме главную роль играет первое слагаемое.

     Определение. Главная часть приращения функции , линейная относительно  приращения аргумента x, называется дифференциалом функ-ции и обозначается символом   dy.

     Итак,

     

.

     Геометрический  смысл виден из рисунка: дифференциал функции – это приращение ординаты касательной к графику функции, соответствующее приращению аргумента  . 
 
 
 
 

     Дифференциалом  независимой переменной x, принято называть ее приращение и обозначать dx: . Тогда формула для дифференциала функции приобретает симметричный вид 

     

  или  . 

     II  Инвариантность формы первого дифференциала

     Правило дифференцирования сложной функции  приводит к одному очень важному  свойству дифференциала. Вычислим dy  для функции в двух случаях:

     1) x – независимая переменная, тогда  ;

     2) x – некоторая функция  , тогда

     Сравнивая результаты, получаем т.н. свойство инвариантности формы первого дифференциала:

     форма 1^го дифференциала функции

не зависит от того, является

ли переменная  x независимой или функцией другой переменной.

     III Таблица дифференциалов

     Так как дифференциал dy лишь множителем dx отличается от производной , то по таблице производных легко составить таблицу дифференциалов.

     1.  ,  ,   .

     2. ,     .

     3. ,   .

     4. .   5. .

     6. .   7. .

     8. .  9. .

     10.  .  11. .

     Также легко получить формулы для дифференциалов суммы, разности, произведения и частного функций:

     а)

     б)

     в)

     Отметим, что в таблице дифференциалов переменная x может быть как независимой, так и некоторой функцией. В таблице же производных (§6) x – это только независимая переменная.

     Замечание. Формула для дифференциала функции , а именно:

     

,

позволяет написать формулу, выражающую производную  функции через дифференциалы  dx и dy:

     

.

     При этом такая формула сохраняет  силу, по какой бы независимой переменной ни были вычислены dx и dy. Эта формула позволяет легко запоминать (но не доказывать!) некоторые правила дифференцирования:

     для сложной функции 

     

;

     для обратной функции

     

; 

     для функции, заданной параметрически

     

. 
 

     §8. Производные высших порядков

     I  Определение и обозначения

     Если  функция  дифференцируема на некотором промежутке, то её производная сама является функцией, определенной на этом промежутке. Следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Если она существует, то её называют второй производной (или производной 2^го порядка), и обозначают одним из символов

     

.

     Аналогично, если существует производная от второй производной, то её называют третьей  производной и обозначают, например, .

     Вообще, производной  n-го порядка называют производную от производной (n–1)-го порядка и обозначают . Итак, по определению

     

.

     II  Производные некоторых функций

     1. y=sinx, y=cosx

     Первые производные этих функций и формулы приведения позволяют методом математической индукции получить выражения для производных n-го порядка:

     

.

     2. y=x^a

     Если  , то, последовательно дифференцируя, получим , , и вообще:

     

.

     Если  же показатель степени натуральный, то:

           3. y=a^x

, в частности, , .

     4. y=lnx

,

.

     III  Некоторые правила

     Очевидно, что   и . Для производной

n-го порядка от произведения функций имеется т.н. формула Лейбница. Приведем ее без доказательства:

     

, где .

     Заметим, что под производной нулевого порядка принято понимать саму

функцию: .

     IV  Функция, заданная параметрически

     Пусть функция задана параметрическими уравнениями

     

Её первая производная – это также функция, заданная параметрически: