Решение: 

       Обозначим стоимость перевоза груза на расстояние 1 км по железной дороге за руб., тогда стоимость перевоза по шоссе будет руб. За км обозначим расстояние от В до С (Смотри рисунок). 

     

 

     Из  треугольника ACD длина шоссе AD = км.

     Длина железной дороги DB =, км.

     Отсюда  стоимость перевозки груза с завода А в город В

     равна . Находим производную и приравниваем ее к нулю,  .  Исследуем функцию на экстремум при по знаку второй производной: ,

     Следовательно, функция имеет минимум и, чтобы  доставка груза была наиболее дешевой, то шоссе следует проводить под  к углом. 

 

     

     Задача 10. 

       Два самолета летят с одинаковой скоростью км/ч, в одной плоскости, прямолинейно и под углом  60° друг к другу. В некоторый момент один самолет пришел в точку пересечения линий движения, а второй не дошел до нее на км. Через сколько времени расстояние между самолетами будет наименьшим и чему оно равно? 

     

 

     Решение:

      

     По  условию, когда один самолет был  в точке, другой был в точке В, отсюда АВ = а (смотри рисунок). За время   самолеты пройдут путь, соответственно: . Отсюда . Пусть расстояние между самолетами, тогда по теореме косинусов получим   или .

     Найдем  производную   и приравняем

     ее   к   нулю:      .   Вторая   производная при больше нуля, следовательно, функция имеет минимум.

     Наименьшее  расстояние между самолетами через  будет равно  

 

     

     Задача 11:  

     Стоимость топлива для судна пропорциональна  кубу его скорости. При какой скорости судна общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей, если при скорости 20 км/ч расходы на топливо составляют 40 руб.в час, а остальные расходы 270 руб. в час? 

     Решение: 

     Обозначим стоимость топлива через, тогда, где — коэффициент пропорциональности найдем из условия , .

     Общая стоимость плавания судна в течение  часа в рублях

     находится по формуле, где руб. остальные расходы. Затраты на 1км пути выразятся в виде функции

     Для нахождения общей наименьшей суммы  расходов на 1км

     пути  вычисляем производную  и приравниваем ее к

     нулю. Подставляя числовые значения, получим км/ч. Вторая производная ,

     следовательно, при скорости судна км/ч общая стоимость расходов на 1 км пути будет наименьшей и составит рублей.

 

Заключение

 

     При написании своей курсовой работы я вновь удостоверился в том, что математический анализ, как и  любая другая наука, упрощает нашу жизнь, делает ее лучше с каждым новым  открытием, с каждым новым доказательством. И развитие дифференциального исчисления не исключение.

     В наше время, в связь с научно-техническим  прогрессом, в частности с быстрой  эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более  актуальными в решении как  простых, так и сверхсложных задач. Применение производной довольно глубоко вписалось в нашу жизнь, и его сложно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть некоторые моменты.

     В процесс работы, по решению мной поставленной задачи, я рассмотрел ряд задач из различных областей науки и техники, подтверждающие широкое применение производной в таких науках как физика, алгебра, геометрия и экономика. Изучил историю развития производной и дифференциального исчисления в целом. И считаю что ,цель поставленная мною в начале работы достигнута, а именно, я показал значимость понятия производной к решению таких распространенных типов задач, как задачи на максимум и минимум.

 

Список  литературы.

 
     

1. Уваренков И. М. , Курс математического анализа, том 1. М.: «Просвещение», 1966 г.
2. Виленкин Н. Я. Задачник но курсу математического анализа, ч. 2. М.: «Просвещение», 1971 г.
3. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 1.— СПб.: «Политехника», 2003 г.
4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. т.2. М.: «Наука», 1968 г.
5. Запорожец Г.И Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: «Высшая школа»,1966 г.