Производная в задачах на максимум и минимум

     Точка не может быть внутренней точкой сегмента , так как иначе в этой точке также был бы экстремум (максимум), противоречило бы условию. Значит, либо, либо Остановимся лишь на случае: (случай разбирается аналогично). 

           Функция , непрерывная на сегменте , должна иметь на нем наименьшее значение m; пусть оно принимается ею в некоторой точке с этого сегмента. Поскольку имеет на экстремум лишь в одной точке , то с совпадает с одним из концов сегмента , либо с = а, либо с = х₀.

          В первом  случае т. е. , отсюда следует, что = const на , а это противоречит тому, что имеет экстремум лишь в одной точке.

            Во втором случае  , с одной стороны,  , и, значит, для всех точек х из с другой стороны, поскольку в точке х₀ функция имеет максимум на , можно подыскать такую окрестность , что для всех х из этой окрестности и, в частности,  для , имеем: так что для всех х из , , а это снова противоречит тому, что имеет экстремум лишь в единственной точке сегмента

          Итак, наибольшее значение функции не может быть принято ею ни в какой  отличной от точке сегмента , а тогда, во-первых  –наибольшее значение функции и, во-вторых, не может  повторить это значение ни в какой другой точке сегмента . Теорема доказана. Она остается в силе и для интервала (или полусегментов .

              Рассматриваемая задача также легко решается тогда, когда функция оказывается монотонной на . Монотонно возрастающая (убывающая) на сегменте   функция будет при иметь наименьшее (наибольшее) значение, а при – наибольшее (наименьшее).

4. Использование производных высших порядков

     В случае, когда  экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.

     Теорема: Если функция  имеет в некоторой окрестности данной точки последовательные производные до -го порядка включительно, а хотя бы в самой этой точке имеет еще и производную -ого порядка, причем , тогда как , то при четном имеет в точке экстремум: минимум, если , максимум, если , а при нечетном вовсе не имеет в этой точке экстремума.

 

3.   Применение производной к решению задач.

 

     Во  многих задачах по физике, алгебре, геометрии и экономики бывает нужно найти значение величины, при котором зависимая от неё другая физическая величина принимает максимальное или минимальное значение. И именно в такого рода задачах производная функции нашла свое широкое применение, оказавшись при этом очень серьезным и эффективным средством решения. Благодаря теоремам, которые я привел выше в теоретической части своей работы, решение поставленных задач не составляет особого труда.

     Для решения подобных задач с большим  успехом можно использовать стандартный  алгоритм исследования непрерывной  функции на максимум или минимум. Напомним его.

     Первый  этап этого алгоритма – составление  математической модели, т.е., с помощью физических, математических, геометрических составить уравнение, выражающее зависимость одной величины от другой.

     Второй  этап – определение критических  значений независимой переменной. Для  этого надо найти производную  полученной функции и приравнять её нулю.

     Как правило, в задачах по физике на области  определения имеется всего одна критическая точка и заранее  известно, какое значение – максимальное или минимальное – будет иметь  функция в этой точке. Если это  не очевидно, то необходимо определить знак производной слева и справа от критической точки.

     В своей курсовой работе я постарался рассмотреть задачи, приведенные ниже, из перечисленных мной областей, чтобы доказать что производная действительно реализуется в различных областях науки.

     Задача 1.

     Объем цилиндра V. Найти радиус основания, про котором цилиндр имеет наименьшую полную поверхность.

     Решение:

     Полную  поверхность цилиндра принимаем  за функцию , где H – высота цилиндра, R – радиус основания.

     Объем цилиндра , отсюда , исключая H из выражения полной поверхности цилиндра, получим . Вычисляем производную по R: . Затем приравниваем ее к нулю . Решая это уравнение получаем что минимум наименьшей полной поверхности будет при радиусе .

 

     

     Задача 2.

     В данный шар вписать конус с  наибольшим объемом.

     Решение:

     Объем конуса вписанного в шар, равен  , где H – высота конуса, r – радиус основания.

     

 

     Обозначим за R – радиус шара, тогда из треугольника имеем:

     , Далее подставляем в выражение для объема получаем . Принимаем объем конуса за функцию, наибольшую его величину находим, исследуя эту функцию на экстремум: При , функция естественно, не может иметь наибольшего объема. При , производная меняет знак с плюса на минус, то есть функция имеет максимум. Следовательно наибольший объем конуса, вписанного в шар, при высоте конуса  , где радиус шара .

 

     

     Задача 3.

     Число 64 разложить на два таких сомножителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

     Решение:

     Обозначим множители за и , тогда . Сумму квадратов обозначим за , . Найдем минимум функции: , , .  Производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку

     

       функция имеет минимум. В итоге  получаем что при  сумма квадратов наименьшая.

 

     

     Задача 4.

     Из  углов квадратного листа железа со стороной нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям, получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезанного квадрата?

     

     Решение:

     Если  обозначить сторону вырезаемого  квадрата через , то сторона основания коробки будет равна , а высота – . Объем коробки выразится функцией , причем Находим максимум этой функции: .

     Разложим  на множители , приравняем к нулю Производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку . Следовательно, наибольшая вместимость коробки будет при стороне вырезаемых квадратов равных  .

 

     

     Задача 5. 

       Кусок угля массы т, лежащий на горизонтальной конвейерной ленте, должен быть сдвинут приложенной к нему силой (смотри рисунок). Под каким углом к горизонту следует приложить эту силу, чтобы величина ее была бы наименьшей, если коэффициент трения угля по резине = О,6 ? 

     

 

     Решение: 

     Разложим  силу на горизонтальную и вертикальную составляющие: и. – сдвигающая сила. Прижимающую силу находим, как разность силы веса куска и вертикальной составляющей , где - ускорение свободного падения. Согласно закону Кулона сдвигающая сила равна прижимающей, умноженной на коэффициент трения, т.е.  ). Откуда имеем:

     Наименьшее  значение силы будет при наибольшем значении знаменателя . Для отыскания наибольшего   значения     приравниваем     к   нулю,  получим , при Поскольку , при , то знаменатель принимает наибольшее значение, а соответственно, сила – наименьшее, т. е. прилагать силу под углом наиболее выгодно. Угол - называется углом трения и в нашем случае равен .

 

     

     Задача 6.

     Сопротивление балки прямоугольного поперечного  сечения на изгиб пропорционально  произведению ширины этого сечения  на квадрат его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром , чтобы ее сопротивление на изгиб было наибольшим?

     Решение:

     Обозначим высоту балки через, ширину через (Смотри рисунок).

     

     Сопротивление на изгиб определяется функцией. Так как , то . Исследуем эту функцию на экстремум:. Найдем вторую производную,   при Поскольку , то сопротивление балки на изгиб при будет наибольшим, высота балки при этом будет.

 

     

     Задача 7.

     Тело  движется по закону. Найти его максимальную скорость. 

     Решение.

     Обозначим скорость за функцию, которую

     необходимо  исследовать, получим:  .

     Исследуем функцию: , при производная . Так как для любого , то при функция имеет максимум, т. е. ед.скорости.

 

     

     Задача 8. 

       Два источника света расположены друг от друга на расстоянии 25м. На прямой, соединяющей эти точки, найти наименее освещенную точку, если силы света источников относятся, как 27:8. 

     Решение. 

     Пусть источники находятся в точках А и B, причем в точке А находится наиболее сильный источник. Считаем, что точка С наименее освещена и отстоит от точки А на расстоянии х (Смотри рисунок), тогда СВ =. Если силу света более сильного источника принять за , то сила света другого источника будет .

     

 
 
 

     Поскольку освещенность точки прямо пропорциональна  силе света и обратно пропорциональна  квадрату расстояния от точки до источника  света, то, учитывая, что выбранная  точка освещается обоими источниками  света, функция освещенности в зависимости  от расстояния примет вид .

     Находим производную  и приравниваем ее к нулю, откуда или.

     Таким образом, наименее освещенная точка  отстоит от источника А на расстоянии = 15м.

     Докажем это. Возьмем вторую производную  от освещенности . Нетрудно заметить, что при, следовательно, точка С есть точка минимума функции.

 

     

     Задача 8. 

       Электрическая лампа висит над центром круглого стола радиуса . На какой высоте над столом должна находится лампа, чтобы книга, лежащая у края стола, была лучше всего освещена? 

     Решение: 

     Обозначим высоту через (Смотри рисунок). 

     

 
 

       Зная, что освещенность  прямо пропорциональна косинусу угла падения и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света, составим функцию: , где   Из треугольника SAO находим:,  . Тогда .

     Находим производную  и приравниваем ее к нулю. Затем получаем , откуда . Чтобы выяснить, имеет ли функция при данном значении   максимум, находим знак второй

     производной при : ,   - следовательно, функция имеет максимум и при высоте лампочки

     книга лучше всего освещена.

 

     

     Задача 9. 

     Завод А отстоит от железной дороги, проходящей через город В, считая по кратчайшему расстоянию, на км. Под каким углом к железной дороге надо провести шоссе с завода А, чтобы доставка грузов из А в В была наиболее дешевой, если стоимость перевозок по шоссе в два раза дороже, чем по железной дороге?