МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СМОЛЕНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 
 
 
 

Курсовая  работа

Студента

физико-математического

факультета  специальности

«Математика и информатика»

Группы 32МиИ

Наумова А. А. 

Производная в задачах на максимум и минимум 
 
 

Научный руководитель:

доцент  Полухин А.А. 
 
 
 

Смоленск, 2010

Оглавление

 

Оглавление 2

Введение 3

1. Историческая справка. 4

2. Теоретические сведения. 6

2.1. Необходимое условие. 6

2.2. Достаточное условие. Первый признак. 7

2.3. Достаточное условие. Второй признак. 8

2.4. Использование производных высших порядков 11

3. Применение производной к решению задач. 13

Заключение 31

Список литературы. 32

 

Введение

     В мире не происходит ничего, в чем  бы не был виден

     Смысл какого-нибудь максимума или минимума.

     Л.Эйлер. 

     В математике изучение задач на нахождение максимума и минимума началось очень  давно. Но только лишь в эпоху формирования математического анализа были созданы  первые методы решения и исследования задач на экстремум.

     Потребности практической жизни, особенно в области  экономики и техники, в последнее  время выдвинули такие новые  задачи, которые старыми методами решить не удавалось. Надо было идти дальше.

     Цель  данной курсовой работы – показать значимость понятия производной к решению таких распространенных типов задач, как задачи на максимум и минимум.

     Для достижения этой цели, я поставил пред собой следующую задачу: рассмотреть  несколько задач данного типа из различных областей науки и техники и показать как применение производной к ним упрощает их решение.

 

     

1. Историческая  справка.

     В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее  возможное (иногда говорят - оптимальное) решение. Огромное число подобных проблем  возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.

     В математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно  – двадцать пять веков назад. Долгое время к задачам на отыскание  экстремумов не было сколько-нибудь единых подходов. Но примерно триста лет  назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие методы решения  и исследования задач на экстремум.

     Накопление  методов дифференциального исчисления приняло наиболее явную форму  у Ферма. В 1638 году он сообщил в  письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции. Ферма составлял уравнение и после преобразований в левой части полагал , вопреки мнению позднейших исследователей, которые видели в этой идеи исчисления бесконечно малых. В действительности, Ферма нашел это условие и аналогичное при ещё алгебраическими путями.

     К сожалению, Ферма не стремился публиковать  свои работы, кроме того, пользовался  труднодоступными для усвоения алгебраическими  средствами  Виета с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциального  исчисления.

     Правила определения экстремумов функции  одной переменной  были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос для функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функции многих переменных.

     В XVIII веке возникло исчисление вариаций. В трудах Эйлера и Лагранжа оно приобрело вид логически стройной математической теории. Главной задачей, решаемой средствами этого исчисления, являются отыскание экстремумов функционалов.

 

     

2. Теоретические сведения.

1. Необходимое условие.

     Пусть функция , определенная и непрерывная в промежутке , не является в нем монотонной.

     Говорят, что функция  имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью , содержащейся в промежутке , где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.

       (или )

     Иными словами, точка  доставляет функции максимум (минимум), если значение оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки .

     Заметим, что для обозначения максимума  или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.

     Понятия максимум () и минимум () являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке . Понятия наибольшего () и наименьшего () значений относятся к конечному отрезку и являются глобальными свойствами функции на отрезке.

     Поставим  задачу о разыскании всех значений аргумента,  доставляющих функции  экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.

     Предположим сначала, что для функция  в промежутке существует конечная производная. Если в точке функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку , о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что ^в этом состоит необходимое условие экстремума.

     Сформулируем  его.

     Если  функция , заданная на некотором промежутке, имеет экстремум в какой-либо внутренней точке этого промежутка, то производная ^при равна нулю (если она существует в рассматриваемой точке).

     Не  следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная  равна нулю, доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие не является достаточным.

2. Достаточное условие. Первый признак.

     Напомним, что точки, где производная равна  нулю, называются стационарными; а точки, где производная не существует называются критическими.

     Итак, если точка  есть стационарная точка для функции , или если в этой точке не существует для неё производной, то точка представляется, так сказать лишь «подозрительной» по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию.

     Это испытание состоит а проверке достаточных условий для существования  экстремума, которые мы сейчас установим.

     Предположим, что в некоторой окрестности  точки (по крайней мере, для ) существует конечная производная и как слева от , так и справа от (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

     1) при и при , т. е. производная при переходе через точку меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке функция возрастает, a в промежутке   убывает, так что значение будет наибольшим в промежутке , т. е. в точке функция имеет собственный максимум.

     2) при и при , т. е. производная при переходе через точку меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке функция имеет собственный минимум.

     3) Функция при переходе через , не меняет знака. Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой близости от с одной стороны найдутся точки в которых , а с другой – точки , в которых так что в точке никакого экстремума нет.

3. Достаточное условие. Второй признак.

     Нередко более удобным на практике оказывается  другой признак существования экстремума, основанный на выяснении знака второй производной в стационарной точке.

     Справедлива следующая теорема.

     Если  х₀ есть стационарная точка функции и , то в точке функция имеет максимум, а если , то функция имеет в точке минимум.

     Доказательство:  По определению второй производной 

     По  условию теоремы . Поэтому 

     Допустим, что . Тогда по теореме о пределах функции найдётся такой интервал , в котором переменная величина сохраняет знак своего предела, т. е. выполняется неравенство

       ()

     Отсюда  следует, что  , если , или, и , если , или . На оснавании первого достаточного признака существования экстремума заключаем, что в точке функция имеет максимум. Аналогично показывается, что условие обеспечивает минимум функции

     Что и требовалось доказать.

     Следует заметить что, если ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать , а может и не существовать. (Например, как для функции , так и для функции , вторая производная обращается в нуль в точке , но первая из них не имеет экстремумов в точке , а вторая имеет в ней минимум).

     В этом пункте рассмотрим еще одну теорему, которая полезна для решения  задач. Часто на практике известно, что функция на рассматриваемом сегменте имеет единственную точку экстремума. Поэтому рассмотрим следующую теорему следующую теорему.

     Если  непрерывная на данном сегменте функция имеет экстремум в единственной точке х₀ интервала , а именно максимум (минимум), то этот максимум (минимум) является и наибольшим (наименьшим) значением функции на данном сегменте, причем это значение принимается ею лишь однажды на этом  сегменте.

     Доказательство:

     Докажем теорему, например, для случая максимума. Непрерывная на сегменте   функция принимает на нем наибольшее значение М. Докажем, что принимает это наибольшее значение как раз в данной точке .

     Предположим, от противного, что оно принимается функцией в некоторой точке из .