Поверхностные интегралы. Теорема Остроградского

Пусть V - некоторая z-цилиндрическая область с основаниями и , заданными уравнениями (25) и боковой поверхностью . Соединение этих трех поверхностей, т. е. всю границу области V, обозначим . При этом мы будем рассматривать внешнюю сторону поверхности . Возьмем функцию

⁽⁷⁾ М. В. Остроградский опубликовал эту формулу в 1828 г. в работе «Заметка о теории тепла». Часто ее называют также формулой Гаусса, однако Гауссом эта формула была получена значительно позже, в 1841 г.

⁽⁸⁾ Боковая поверхность 2 может отсутствовать. Например, шар мы считаем z-цилиндрической областью, основания которой суть - нижняя полусфера и -верхняя полусфера, а боковая поверхность выродилась в экватор (шар является также и областью, цилиндрической вдоль осей х и у).

, определенную  и непрерывную вместе со своей  частной производной в области V (включая ее границу), и рассмотрим очевидное равенство 

Проинтегрируем  это равенство по области D, представляющей собой проекцию V на плоскость (х, у), заменяя повторный интеграл тройным: 

     Первый из стоящих справа интегралов можно записать (см. формулу (21)) в виде поверхностного интеграла от функции , взятого по верхней стороне поверхности 

    Аналогично второй из этих  интегралов можно рассматривать как поверхностный интеграл от той же функции , взятый по верхней стороне поверхности , или как интеграл по нижней стороне той же поверхности , взятый с обратным знаком. Таким образом, мы получим 

где первый из стоящих справа интегралов берется по верхней стороне поверхности , а второй — по нижней стороне поверхности Прибавив к правой части формулы (27) интеграл 

(равный, очевидно, нулю), взятый по внешней стороне боковой поверхности , мы получим справа поверхностный интеграл, взятый по внешней стороне всей поверхности , ограничивающей область V. Таким образом, мы получаем следующее равенство: 
 

Равенство (28) справедливо и для любой области V, которую можно разбить на конечное число z-цилиндрических частей. Действительно, разобьем V на такие части , напишем для каждой из них равенство вида (28) и просуммируем эти равенства. Слева мы получим тройной интеграл, взятый по всей области V, а справа - сумму поверхностных интегралов, взятых по частям поверхности , ограничивающей V, и по тем поверхностям, с помощью которых V разбивается на части , причем по каждой из этих последних интеграл берется дважды, один раз по одной ее стороне, а второй

раз - по другой. Поэтому в результате суммирования все интегралы, взятые по разделяющим поверхностям, взаимно уничтожаются, и мы получаем 

     Пусть теперь V—область, цилиндрическая вдоль оси х, т. е. ограниченная кусочно-гладкими поверхностями-основаниями 

     

и боковой  цилиндрической поверхностью, а - функция, непрерывная вместе со своей производной в области V (включая ее границу). Рассуждения, аналогичные проведенным выше, приводят к равенству 

которое остается в силе и тогда, когда  V состоит из конечного числа х-цилиндрических частей. Аналогично получается и равенство 

справедливое  для всякой области V, которую можно разбить на конечное число у-цилиндрических областей.

   Пусть, наконец, V - некоторая простая область и пусть функции вместе со своими производными  , ,   непрерывны в этой области всюду, включая ее границу (т. е. непрерывны в замкнутой области). Тогда справедливы все три равенства: (29), (30) и (31). Сложив их, получаем 
 
 

или, в  других обозначениях, 
 

Это и  есть формула Остроградского. 

Замечание. Можно доказать справедливость формулы Остроградского при

следующих более общих условиях:

1. V - ограниченная область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей.

2. Функции  , и непрерывны, а следовательно, не ограничены в замкнутой области V.

3. Производные  , , существуют и непрерывны внутри области V (без границы) и интеграл 

существует (быть может, как несобственный интеграл). 

2. Вычисление поверхностных  интегралов с помощью  формулы Остроградского. Представление объема пространственной области в виде поверхностного интеграла. Выше мы показали (формула (10)), как поверхностный интеграл второго рода свести к двойному. Однако для фактического вычисления поверхностного интеграла этот путь не всегда самый удобный. В частности, интеграл по замкнутой поверхности иногда удобнее сводить к тройному по формуле Остроградского. 

Пример 1. Вычислить интеграл 

взятый  пo сфере .

Решение: Воспользовавшись формулой Остроградского, будем иметь 

откуда, введя сферические координаты, получаем 

Пример 2. Вычислить интеграл 

взятый  по некоторой замкнутой поверхности  .  

Решение: По формуле Остроградского рассматриваемый интеграл сводится к тройному, под знаком которого стоит тождественный нуль. Следовательно, , какова бы ни была замкнутая поверхность .

    Известная нам формула Грина  выражает площадь области через  криволинейный интеграл по её  границе. Точно так же и из формулы Остроградского легко получить выражение для объема области в виде поверхностного интеграла по замкнутой поверхности - границе этой

области. Действительно, подберем функции  и так, чтобы 

Тогда получим 

где - объем, ограниченный поверхностью . Интеграл здесь берется по внешней стороне . В частности, положив 

мы получим  для вычисления объема удобную формулу 
 
 

§ 4. Формула Стокса. 

1. Вывод формулы  Стокса. В этом параграфе мы выведем так называемую формулу Стокса, связывающую поверхностные интегралы с криволинейными. Формула Стокса обобщает формулу Грина и переходит в нее, если рассматриваемая поверхность сводится к плоской области, лежащей в плоскости . Подобно формулам Грина и Остроградского, формула Стокса широко применяется как в самом анализе, так и в его приложениях.

     Пусть дана гладкая  ориентированная поверхность , ограниченная ориентированным контуром (ориентации и согласованы), и пусть в некоторой трехмерной области, содержащей внутри себя поверхность , определена векторная функция , такая, что и непрерывны в этой области вместе со своими частными производными первого порядка.                            Рис.18

Постараемся преобразовать, криволинейный интеграл  

взятый  по контуру , в интеграл по поверхности .

    Рассмотрим сначала случай, когда поверхность задана уравнением

,

в декартовых координатах. Обозначим  проекцию поверхности на плоскость , и пусть - граница области , т. е. проекция контура (рис.18). Преобразование криволинейного интеграла (34) в поверхностный мы проведем по следующей схеме: 

т. е. криволинейный  интеграл по пространственному контуру  преобразуем сперва в криволинейный интеграл по плоскому контуру L,  затем (с помощью формулы Грина) переведем его в двойной интеграл по области D и, наконец, этот последний преобразуем в поверхностный интеграл по .

   Проведем теперь соответствующие выкладки, Рассмотрим сначала интеграл вида 

Заметим прежде всего, что 

поскольку контур лежит на поверхности , заданной уравнением . Далее, применив формулу Грина, получаем 

(здесь  - сложная функция от и , и мы учли это при вычислении производной от по ).

   Воспользовавшись выражениями для направляющих косинусов нормали (35), получаем, что 

Поэтому 

Теперь, воспользовавшись формулой (21), мы можем этот двойной интеграл преобразовать в поверхностный. Получаем 
 

Итак, 

Мы предполагали, что поверхность  задана уравнением . Тот же результат можно было получить, предположив, что задана уравнением Для этого нужно было бы рассмотреть проекцию на плоскость (вместо ) и провести рассуждения, аналогичные изложенным выше. Далее, если - часть плоскости, перпендикулярной оси (тогда нельзя однозначно спроектировать ни на плоскость , ни на плоскость ), то равенство (36) верно тривиальным образом: и правая и левая его части будут равны нулю. Наконец, стандартные рассуждения показывают, что если поверхность состоит из конечного числа частей, для каждой из которых верно равенство (36), то оно верно и для всей поверхности . Таким образом, равенство (36) установлено для поверхности, состоящей из конечного числа кусков перечисленных выше типов. В точности так же получаются два аналогичных равенства:  
 
 

Складывая все эти три равенства, получаем 
 
 

Это и есть формула Стокcа. Ее можно переписать в следующем виде: 
 

Формулу Стокса легко запомнить, заметив, что первое слагаемое в правой ее части - это то же самое выражение, которое стоит под знаком двойного интеграла в формуле Грина, а второе и третье получаются из него циклической перестановкой координат и функций

    Если поверхность  сводится к плоской области, лежащей в плоскости , то интегралы по и обращаются в нуль и формула Стокса переходит в формулу Грина.

    Замечание 1. При выводе формулы Стокса мы пользовались декартовой системой координат. Но ни криволинейный, ни поверхностный интегралы, входящие в эту формулу, не зависят от способа задания поверхности и ее границы . Поэтому формула Стокса остается в силе и при любом другом способе задания поверхности, например с помощью параметрического уравнения 

Замечание 2. Формула Стокса остается в силе и в том случае, когда граница поверхности состоит из нескольких отдельных контуров. В этом случае под 
 
следует понимать сумму интегралов, взятых по этим контурам, причем ориентация каждого из этих контуров опять-таки должна быть согласована с выбором стороны поверхности . Например, если представляет собой боковую поверхность цилиндра с вырезанным в ней отверстием (рис.19) и мы рассматриваем внешнюю сторону этой поверхности, то формула Стокса связывает интеграл по с криволинейным интегралом, взятым по трем контурам, образующим ее границу и ориентированным так, как это показано стрелками на рис.19  
 
 
 

           Рис.19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Список  использованной литературы 

1. Ильин В.А. , Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ,1989г.
2. Виноградова И.А. , Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250 летию МГУ 2005г.
3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд.Лань. 2002г.-880стр.
4. Лунгу К.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005г.
5. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва. «Наука» 1965г.