Поверхностные интегралы. Теорема Остроградского

нормали совпадает с направлением от ног к голове, обходит контур L, оставляя поверхность  все время слева от себя (рис.10). Противоположное направление мы считаем отрицательным. Если L - произвольный замкнутый контур, ограничивающий какую-либо часть ориентированной поверхности , то направлением обхода этого контура, согласованным с ориентацией поверхности , мы считаем опять-таки то, при котором ограниченная этим контуром часть поверхности (на рис.11 она заштрихована) остается слева⁽⁴⁾.

                        Рис.10                              Если в качестве поверхности взята  ориентированная плоскость, то это определение согласованности ориентации контура и поверхности сводится к уже хорошо знакомому нам правилу, по которому контур считается ориентированным положительно, если его обход совершается против часовой стрелки, и ориентированным отрицательно в противоположном случае.

Замечание 3. Правило согласования ориентации поверхности и ограничивающего ее контура L можно сформулировать еще следующим образом: пусть - единичный вектор нормали к поверхности в некоторой точке М, принадлежащей L, и пусть – вектор, нормальный к L и к и направленный в ту сторону, с которой расположена поверхность . Тогда положительное направление обхода контура L указывается вектором ⁽⁵⁾ (рис.12).

⁽³⁾ Эта связь существенно зависит от того, к какой координатной системе, правой или левой, отнесено все трехмерное пространство. Мы будем иметь в виду правую систему.

⁽⁴⁾ Если в пространстве взята левая система координат, то положительно то направление обхода контура L, при котором поверхность остается справа.

                       

Рис.11                                                       Рис.12

2. Определение поверхностного  интеграла второго рода. Рассмотрим сначала одну из задач, приводящих к понятию поверхностного интеграла второго рода, а именно, задачу о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность. Пусть пространство заполнено движущейся жидкостью, скорость которой в точке задается вектором с компонентами , , . Вычислим количество П жидкости, протекающей за единицу времени через некоторую ориентированную поверхность .

   Рассмотрим бесконечно малый элемент поверхности . Количество жидкости, протекающее через за единицу времени, равно, очевидно, , где -проекция скорости V на направление нормали к (рис.13). Записав как скалярное произведение вектора V на

                                                                                       Рис.13

единичный вектор нормали  к , имеем                            
 

Это - элемент потока жидкости. Чтобы получить количество жидкости, протекающее через всю поверхность , нужно просуммировать выражения (14) по всем элементам , т. е. взять интеграл                 

  ⁽⁵⁾ Это правило остается справедливым, независимо от того, к какой системе координат, правой или левой, отнесено все пространство. Направление вектора не зависит от системы координат, направление также не зависит. При смене правой системы на левую векторное произведение меняет свое направление на противоположное.    

    Этот интеграл представляет собой не что иное, как поверхностный интеграл первого рода (в том смысле, как мы определили его в § 1) от выражения  
 
 

Важно, однако, то, что само это выражение зависит не только от вектор-функции (Р, Q, R), заданной на поверхности , но и от направления нормали в каждой точке этой поверхности.

    Перейдем теперь к общему определению. Пусть - гладкая двусторонняя поверхность. Фиксируем какую-либо определенную сторону этой поверхности (поле нормалей ) и рассмотрим некоторую векторную функцию А = (Р, Q, R), заданную на . Обозначим проекцию вектора А на направление нормали к в данной точке. Эту проекцию можно записать в виде  
 

где cos(n, х), cos(n, у) и cos(n, z) - косинусы углов между направлением нормали к поверхности и направлениями координатных осей, т. е. компоненты единичного вектора нормали .

     Интеграл  
 

мы назовем  поверхностным интегралом второго  рода от вектор-функции по поверхности (точнее говоря, по выбранной стороне поверхности ) и будем обозначать  

Таким образом, по определению  

    При переходе к другой стороне поверхности компоненты единичного вектора нормали, а следовательно, и сам интеграл (15), меняют свой знак на противоположный. Для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится.

    Для того чтобы понятие поверхностного интеграла приобрело общность, необходимую для приложений, приходится рассматривать интегралы и по таким поверхностям, которые имеют самопересечения.

Замечание 1. Если - бесконечно малый элемент площади поверхности, то выражения 
 

представляют  собой проекции элемента на плоскости , и (рис.14), поэтому мы и обозначаем их и соответственно.

Замечание 2. Мы определили поверхностный интеграл второго рода, опираясь на понятие поверхностного интеграла первого рода. 

                       

                           Рис.14                                                            Рис.15

   Однако интеграл второго рода можно определить и непосредственно, с помощью соответствующих интегральных сумм, а именно, следующим образом:

   Будем для сокращения записи рассматривать только одну компоненту вектора (Р, Q, R), скажем R. Возьмем некоторую гладкую ориентированную поверхность и рассмотрим разбиение этой поверхности на части . Взяв в каждой их этих частей произвольную точку , составим интегральную сумму  

где проекция на плоскость . При этом величину мы будем считать положительной, если в точках, принадлежащих , нормаль к поверхности образует с положительным направлением оси z острый угол, и отрицательной, если в каждой точке элемента этот угол тупой ⁽⁶⁾. Нетрудно проверить, что для непрерывной функции R(x, у, z) и гладкой поверхности предел интегральных сумм (17)  при неограниченном измельчении разбиения поверхности существует и равен 

    Аналогичным образом можно определить через интегральные суммы и интегралы 

а следовательно, и интеграл общего вида 

- сумму  интегралов этих трех типов. 

Замечание 3. Отличие поверхностного интеграла второго рода от интеграла первого рода состоит, по существу, в том, что в интеграле второго рода элемент площади рассматривается не как скалярная величина, а как вектор , направленный по нормали к поверхности и имеющий компоненты: 

В соответствии с этим поверхностный интеграл второго  рода от векторной функции А = (Р, Q, R) часто записывают в виде 

⁽⁶⁾ В разбиение поверхности могут входить еще и «неправильные» элементы, т. е. такие, что в некоторых их точках угол острый, а в некоторых - тупой (рис.15). Можно или избегать разбиений, содержащих такие элементы, или приписывать таким элементам произвольный знак. Это

не влияет на результат, поскольку сумма площадей проекций таких элементов мала. 

что равносильно  записи 
 

Замечание 4. Наряду с интегралами вида (19) в некоторых задачах приходится рассматривать интегралы вида 
 

Значение  такого интеграла представляет собой уже не скаляр, а вектор. Его вычисление сводится, очевидно, к покомпонентному интегрированию вектора . Так как здесь подынтегральное выражение зависит и от нормали к поверхности , то интеграл (20) естественно рассматривать как поверхностный интеграл второго рода  (но только «векторный», в отличие от «скалярного» интеграла (19)).

3. Сведение поверхностного  интеграла второго  рода к двойному  интегралу. Из определения поверхностного интеграла второго рода и теоремы 1 сразу вытекает следующий результат:

   Пусть гладкая (или кусочно-гладкая) поверхность задана уравнением 

(причем берется верхняя сторона этой поверхности) и R(x, у, z) - некоторая ограниченная функция на . Тогда  

где D-проекция поверхности на плоскости входящий в это равенство поверхностный интеграл существует, если существует стоящий справа двойной интеграл.

   Действительно, рассматриваемый  поверхностный интеграл можно  переписать в виде: 

Применив  к нему формулу (9), немедленно получаем требуемое равенство. Таким образом, для того чтобы поверхностный интеграл 
 
взятый по верхней стороне поверхности , определенной уравнением z=z(x,y), преобразовать в двойной, следует в подынтегральную функцию вместо z подставить соответствующую функцию z(x, у), а интегрирование по поверхности заменить интегрированием по ее проекции D на плоскость .

   Если же интеграл берется по нижней стороне поверхности , то 

Аналогично  получаются формулы 

и 

где в  первом случае под  понимается поверхность, заданная уравнением , а во втором - поверхность, заданная уравнением . Знак плюс берется в том случае, когда нормаль к поверхности образует с осью (соответственно с осью у) острый угол, а знак минус, когда этот угол тупой. и - проекции поверхности на плоскости и соответственно.

     Формулой типа (21) можно воспользоваться для сведения поверхностного интеграла к двойному и в том случае, когда ориентированная поверхность состоит из нескольких кусков, каждый из которых определяется уравнением вида . В этом случае рассматриваемый интеграл следует представить как сумму интегралов, отвечающих этим кускам, и затем к каждому из этих слагаемых применить формулу (21).

Пример 1. Вычислить 
 
по верхней стороне части плоскости , лежащей в IV четверти.

Решение:  На рис.16 изображена заданная часть плоскости. Нормаль , соответствующая укачанной стороне поверхности, образует с осью тупой угол, а с осями и — острые. В этом можно убедиться, найдя направляющие косинусы нормального вектора = (2; —3; 1) плоскости:

.

Поэтому перед двойными интегралами в формулах (21) и (23) следует брать знак «плюс», а в формуле (24) — знак «минус».

   Следовательно, 

             Рис.16  
 

§ 3. Формула Остроградского

1. Вывод формулы  Остроградского.  Установим формулу, связывающую тройной интеграл по пространственной области с поверхностным интегралом, взятым по внешней стороне поверхности, ограничивающей эту область. Эта формула называется формулой Остроградского ⁽⁷⁾.

   Введем для удобства следующие термины. Пространственную область , ограниченную двумя кусочно-гладкими поверхностями и , заданными уравнениями

  и  

и боковой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , мы назовем областью, цилиндрической вдоль оси или, короче, «z-цилиндрической». Поверхности и назовем ее криволинейными основаниями, нижним и верхним⁽⁸⁾ (рис.17). Аналогично область, ограниченную кусочно-гладкими поверхностями

  и

и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , назовем «x-цилиндрической». Так же определяются и «у-цилиндрические» области. Назовем, наконец, область V простой, если ее можно разбить как на конечное число z-цилиндрических областей, так и на конечное число областей каждого из двух

остальных типов.

                   Рис. 17