Поверхностные интегралы. Теорема Остроградского

Содержание 

Введение…………………………………………………………………………...3

§ 1. Поверхностные интегралы первого рода………………………………...…4

1. Определение поверхностного интеграла от скалярной функции……...4
2. Сведение поверхностного интеграла к двойному………………………5
3. Некоторые применения поверхностных интегралов I рода…………..11
4. Поверхностные интегралы от векторных функций…………………...14

§ 2. Поверхностные  интегралы второго рода………………………………….16

1. Сторона поверхности……………………………………………………16
2. Определение поверхностного интеграла второго рода……………….20
3. Сведение поверхностного интеграла второго рода к двойному интегралу…………………………………………………………………24

§ 3. Формула Остроградского…………………………………………………..27 

1. Вывод формулы  Остроградского…………………………………….....27
2. Вычисление поверхностных интегралов с помощью формулы Остроградского. Представление объема пространственной области в виде поверхностного интеграла………………………………………...30

 

§ 4. Формула Стокса……………………………….…………………………….32 

1. Вывод формулы  Стокса…………………………………………………32

 

Заключение………………………………………………………………………36

Список использованной литературы…………………………………………...37 
 
 
 
 

Введение

     В разных физических вопросах часто встречаются функции, заданные на той или иной поверхности. Примерами таких функций могут служить плотность распределения зарядов на поверхности проводника, освещенность поверхности, скорость жидкости, протекающей через некоторую поверхность, и т. д. Моя курсовая работа посвящена изучению интегралов от функций на поверхности, так называемых поверхностных интегралов, и некоторым их применениям.

  Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. В частности, мы и здесь будем различать интегралы первого и второго рода.

   Вводя определение поверхностного интеграла, мы будем опираться на некоторые сведения о поверхностях, и в первую очередь на понятие площади кривой поверхности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§ 1. Поверхностные интегралы  первого рода 

1. Определение поверхностного  интеграла от скалярной  функции. Пусть в точках кусочно-гладкой поверхности с кусочно-гладкой границей⁽¹⁾ L определена некоторая ограниченная функция . Разобьем поверхность кусочно-гладкими кривыми на части (рис. 1). Площадь каждой из них обозначим . Выбрав в каждой из этих частей произвольную точку , и составим сумму

                                      
 

которую мы будем называть интегральной суммой, отвечающей функции (при данном разбиении поверхности и данном выборе точек ).

     Введем следующее

Определение. Если при стремлении наибольшего из диаметров частей поверхности к нулю интегральные суммы Т стремятся к некоторому конечному пределу, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначается символом

 
 

     Точку М поверхности можно

задать  декартовыми координатами

х, у, z. Поэтому функцию , определенную на , мы будем обозначать также , а соответствующий

                  Рис. 1                             поверхностный интеграл – символом 

При этом, однако, необходимо помнить, что переменные х, у и z не независимы, а связаны условием: точка (х, у, z) лежит на поверхности .

⁽¹⁾  Поверхность может быть, в частности, замкнутой. 

2. Сведение поверхностного  интеграла к двойному. Мы сформулировали определение поверхностного интеграла первого рода, теперь возникает вопрос об условиях его существования и о способах его фактического вычисления.

   Оба эти вопроса решаются легко, путем сведения поверхностного интеграла к двойному.

   Рассмотрим сначала простейший случай, когда поверхность задана уравнением в декартовых координатах.

Теорема 1. Пусть - гладкая поверхность, заданная уравнением , где - замкнутая ограниченная область, a- некоторая ограниченная функция, определенная на поверхности . Тогда справедливо равенство 
 

При этом поверхностный интеграл, стоящий слева, существует, если существует двойной интеграл, стоящий в правой части равенства (3). 

Доказательство. Разобьем поверхность кусочно-гладкими кривыми на частей . Спроектировав это разбиение на плоскость , мы получим разбиение области на квадрируемые части (рис .2). При этом диаметр каждого из элементов будет не больше, чем диаметр соответствующего элемента поверхности . Рассмотрим теперь интегральную сумму 

отвечающую поверхностному интегралу 
 
Площадь элемента можно                                                  Рис. 2             представить в виде  

где , и затем, воспользовавшись теоремой о среднем для двойного интеграла от непрерывной функции⁽²⁾, в виде 

где - некоторая точка, принадлежащая области , a - площадь этой области. Следовательно, интегральную сумму (4) можно переписать так:

  

Сравним её с  интегральной суммой 
 
 

отвечающей  двойному интегралу, стоящему в равенстве (3) справа (при том разбиении области D, которое отвечает данному разбиению поверхности 
).

   Суммы (4') и (5) отличаются друг от друга только тем, что в (5) значения как функции , так и выражения , берутся в одной и той же точке , произвольно выбираемой внутри внутри элемента , а в (4’) значения берутся в точке , диктуемой нам теоремой о среднем и, хотя и принадлежащей тому же элементу но, вообще говоря, не совпадающей с точкой .

   Функция  непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна в замкнутой ограниченной области D, поэтому для каждого найдется такое , что 
 

как только максимум диаметров областей станет меньше, чем . Функция по условию ограничена, т.е. 

⁽²⁾ Поверхность мы считаем гладкой, следовательно, - непрерывная функция.

, поэтому из (6) следует оценка:  

где - площадь области .

   Теперь мы уже легко закончим  доказательство теоремы. Если  интеграл, стоящий в (3) справа, существует, то для всякого найдется такое , что для всякой суммы , отвечающей такому разбиению области , диаметры элементов которого меньше , выполнено неравенство 
 
 

   Пусть теперь , а - такое разбиение поверхности , что диаметры всех меньше, чем , и пусть - отвечающее ему разбиение области . Тогда диаметр каждого из меньше, чем , и, следовательно, выполнены неравенства (7) и (8). Из этих неравенств получаем, что 
 

для всякого  достаточно мелкого разбиения поверхности  . Но это и означает, что предел интегральных сумм Т существует и равен интегралу, стоящему в (3) справа. Теорема доказана.

Следствие. Если поверхность —гладкая, а функция f(x, у, z) непрерывна на ней, то интеграл  
 

существует.

   Действительно, в этом случае в равенстве (3) справа стоит интеграл от непрерывной функции. Он существует, а следовательно, существует и стоящий слева поверхностный интеграл. 

Замечание 1.  Так как 
 

то равенство (3) можно переписать так 

Переменив роли координат x,y и z можно в случае поверхности, заданной уравнением

,

получить равенство 

(где -проекция поверхности на плоскость yz), а в случае

поверхности 

-равенство 

(где -проекция поверхности на плоскость zx). 

Замечание 2. Если поверхность состоит из нескольких частей, каждая из которых может быть представлена уравнением вида

х=х(у, z), y = y(z, х) или z = z(x, у),

то для  сведения поверхностного интеграла, взятого  по такой поверхности, к двойному можно воспользоваться тем, что  поверхностный интеграл по равен сумме интегралов, взятых по составляющим эту поверхность частям, и затем применить формулы (9) к каждому из этих частичных интегралов в отдельности.

   Если поверхность задана параметрическим  уравнением, то рассуждения, не  отличающиеся сколько-нибудь существенно  от приведенных выше, приводят  к следующей теореме.

Теорема 2. Пусть — гладкая поверхность, заданная уравнением

r = r (u, v),

и f (x, у, z) - ограниченная функция, определенная на этой поверхности. Тогда справедливо равенство 

причем  поверхностный интеграл, стоящий  слева, существует,  если только существует двойной интеграл в правой части  равенства.

     Здесь D — область изменения параметров u и v, a , и - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности. Выражение представляет собой элемент площади поверхности, записанный в криволинейных координатах. Таким образом, формула (10) означает следующее: для того чтобы записать поверхностный интеграл 

в виде двойного, нужно подставить в него вместо декартовых координат х, у, z точек поверхности их выражения через криволинейные координаты u и v, а элемент площади тоже заменить его выражением через криволинейные координаты.

   Формула (3) и формулы (9), (9’) и (9’’) являются, очевидно, частными случаями общей формулы (10). Легко проверить, что все эти формулы остаются в силе, когда поверхность не гладкая, а кусочно-гладкая.

Пример 1. Вычислить 
 
где S - часть плоскости , расположенной в первой четверти (см. рис.3).

Решение: Запишем уравнение плоскости в виде . Находим . По формуле (9) имеем:

 

 

                                    Рис.3                                           Рис.4 

Пример 2. Вычислить 
 
где S-часть цилиндрической поверхности , отсеченной плоскостями z=0, z=2 (см. рис. 4).

Решение: Воспользуемся формулой (9’).  Поскольку 
, то 
 
где -прямоугольник . 

3. Некоторые применения  поверхностных интегралов  I рода. Поверхностные интегралы первого рода часто встречаются в физических задачах. С такими интегралами приходится иметь дело при изучении распределения масс по поверхности, например при нахождении координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей и т. п.

   

Площадь поверхности

Если  поверхность  задана уравнением а ее проекция на плоскость есть область в которой и - непрерывные функции, то ее площадь вычисляется по формуле