Особые точки дифференциальных систем второго порядка

Для того чтобы выяснить дальнейшую структуру  точек и  другого типа ,докажем несколько  общих предложений.

Теорема 1. В достаточно  малой окрестности изолированной особой точки не может содержаться замкнутых траекторий, не заключающих внутри себя эту особую точку.

Теорема 1 позволяет провести анализ возможного поведения интегральных кривых в окрестности устойчивой особой точки.

Пусть О – устойчивая особая точка  и пусть S(О,r) – столь малый круг, описанный около особой точки, что внутри него и на границе нет других особых точек.

Рассмотрим какой-либо радиус этого круга. Обозначим через М верхнюю границу множества таких точек на этом радиусе, через которые проходят замкнутые интегральные кривые, содержащиеся целиком внутри или на границе круга S(O,r).Через точку М, как это непосредственно вытекает из теоремы о непрерывной зависимости от начальных условий, проходит тоже замкнутая кривая L,содержащая О.Будем рассматривать только интегральные кривые, лежащие внутри кривой L. Отметим на радиусе совокупность точек, лежащих внутри L или на ней самой, через которые проходят замкнутые кривые, очевидно, окружающие точку О. Множество точек этих кривых, если добавить к нему точку О, будет замкнутым множеством, которое мы обозначим через F. Допустим, что существует точка (), лежащая внутри L и не содержащая в F. Движение x=x (t,), y=y (t,), оставаясь все время в кольцеобразной области между двумя замкнутыми кривыми, окружающими точку О, имеем все свои предельные точки как при t,так и при t, на ограничивающих эту область замкнутых кривых и, следовательно, представляет  собой спираль, навивающуюся на эти кривые назовем центром-фокусом (рис..9). Следует выделить особо тот случай, когда внутри L заключаются только замкнутые кривые; подобное расположение, как уже упоминалось, Пуанкаре назвал центром.

Переходим к изучению окрестности неустойчивой точки.

Теорема 2. Если изолированная особая точка неустойчива, то всегда существует полутраектория, имеющая эту особую точку единственной своей предельной точкой.

Теорема 3. Около неустойчивой особой точки всегда можно найти столь малую окрестность, что каждая полутраектория будет либо входить в особую точку, либо покидать окрестность через промежуток времени.

     Итак, все траектории, которые могут наблюдаться в  достаточно малой окрестности  неустойчивой особой точки, могут  быть разделены на три класса:

1. Параболические –одним концом входящие в особую точку, другим –выходящие за границу окрестности.
2. Гиперболические или седловые –в обе стороны выходящие за границу окрестности.
3. Эллиптические –обоими концами входящие в особую точку.

    Соответственно, эти же названия мы присвоим  областям, за полненным траекториями  того или иного сорта.

Теорема 4. Точки из достаточно малой окрестности изолированной особой точки, лежащие на эллиптических и гиперболических траекториях, если таковые имеются, заполняют множества, содержащие внутренние точки, причем лежащие на гиперболических заполняют области.

Итак, пусть дана особая точка  О; опишем около нее малую окрестность  S(O,r), удовлетворят условиям теоремы 3.

Рассмотрим точки границы  этой области. Выделим сначала множество таких точек, через которые проходят интегральные кривые, хотя бы одним концом входящие в особую точку. Множество этих точек на основании теоремы 4 замкнутое. В этом замкнутом множестве содержится замкнутое множество Ф, состоящие из точек, через которые проходят траектории, обоими своими концами входящие в особую точку. Наконец, через точки смежных интервалов проходят гиперболические кривые. Они заполняют некоторую счетную совокупность областей, расположенных внутри рассматриваемой окрестности. Среди этих областей будут области двух типов: истинные гиперболические области, т.е. такие, которые на своей границе имеют особую точку, и ложные гиперболические области; легко видеть, что истинных гиперболических областей может быть лишь конечное число и что все ложные гиперболические области находятся от особой точки на расстоянии . Топологическая структура гиперболической области весьма проста, именно интегральные кривые, заполняющие эти области, могут быть топологически отображены на семейство отрезков, расположенных на системе параллельных прямых.

Множество Ф состоит из точек, определяющих эллиптические  области. Но следует отметить, что, во-первых, не все эллиптические области  определяются этими точками, во-вторых, топологическая структура эллиптической  области может быть весьма сложной, и эллиптические области могут  принадлежать к бесчисленному множеству  различных топологических типов(рис.10). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 .Исключительные направления. Поведение интегральных кривых в нормальной области.

Для проведения дальнейшего  анализа окрестности особой точки  введем понятие исключительного  направления. Для простоты будем  предполагать, что исследуемая особая точка находится в начале координат.

Определение . Направление, определяемое полярным углом , назавем исключительным направлением, если существует последовательность точек такая, что и сверх того, если и направлением поля в точке , то .

Если некоторая интегральная кривая входит при  или при в особую точку с определенными направлением касательной, то это направление является исключительным. Следовательно, если мы сумеем определить все исключительные направления, то мы сможем найти все направления, по которым интегральные кривые могут входить в начало координат.

Теорема 1.Если на числовой оси нет интервалов, целиком заполненных исключительными направлениями, то каждая полутраектория, содержащаяся в некоторой: достаточно малой окрестности особой точки, либо входит в него с определенной касательной, либо представляет собой спираль, неограниченно приближающуюся к особой точке.

Теорема 2.Пусть есть угол, не заключающий исключительного направления. Тогда можно найти столь малое , что на всякой интегральной кривой, начинающейся в секторе , , переменная меняется монотонно вместе с t и интегральная кривая выходит из этого сектора.

Введем теперь определение  нормальной области.

Определение. Некоторый достаточно малый сектор с центром в особой точке и радиуса R называется нормальной областью, если:

1.он заключает одно  и только одно исключительное  направление;

2.внутри и на границе  направление поля не ортогонально  к направлению радиуса-вектора,  проведенного в эту точку.

Обозначим радиусы, ограничивающие сектор, через .

Будем рассматривать интегральные кривые, пересекающие

     В точках пересечения рассмотрим касательные к этим кривым и отметим на них направления, по которым кривые входят в рассматриваемый сектор. Тогда есть три типа нормальной области:

1-й тип. На  касательные к интегральным кривым направлены «к центру» (рис.11а).

2-й тип. На  касательные к интегральным кривым направлены «от центру» (рис.11b).

3-й тип. На одном из радиусов касательные направлены «к центру», а на другом «от центра» (рис.11c).

Изучим возможные поведение  интегральных кривых в каждом из этих случаев.

Радиусы будем называть боковыми сторонами нормальных областей, а дугу окружности ее задней стенкой.

Теорема 3.Если интегральная кривая при возрастании или убывании t входит в нормальную область первого типа, то она при дальнейшем n продолжении войдет в начало координат.

Теорема 4. Если интегральная кривая входит в нормальную область второго типа через боковую сторону, то она при дальнейшем продолжении выходит из этой области; однако на задней стенке существует точка или целая дуга, состоящая из точек, через которые проходят интегральные кривые, входящие в начало координат при  или при

Итак, второй тип приводит к возможности существования  двух случаев, которые мы назовем  случай единственности и не единственности.

Теорема 5. Если нормальная область принадлежит третьему типу (например, на входящие кривые направлены от центра, а на к центру), то либо все интегральные кривые, входящие в область, из нее выходят, либо на отрезке можно будет найти отрезок OS, через все точки которого проходят интегральные кривые, входящие в начало координат.

Итак, третий тип области  тоже приводит к двум случаям, которые  называть будем случаем отсутствия входящей кривой и случаем не единственности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                   4. Пример

Пусть дано уравнение

                    (4.1)

и пусть особая точка, является изолированной, т.е начало координат  О(0,0).

Представим

 

Данное уравнение решим  с помощью полярных координат :

x=rcos

y=rsin

Перейдем к полярным координатам  r и .

Получаем

 

 

                     

имеем

r                        (4.2)

Характеристическое уравнение

 

 

 

Исключительные направления  находятся из tg

Отсюда имеем три корня: .

Для простого корня уравнения =0 и причем имеем . Следует

Теорема: Если в (4.2)

 то существует единственная кривая системы (4.1), касающаяся в точке О луча .

Значит , луч  можно заключить в нормальную область второго типа, из нашей теоремы вытекает существование единственной кривой, касающейся в начале координат луча . Аналогично образом доказывается существование единственной кривой, касающейся в точке О луча  ,

Для обозначим угол через t: откуда

и с помощью  тригонометрических преобразований получим:

 

найдем теперь               

 

Подставляя в наше получим

(Аsint+Bcost)(Acost-Bsint)(3Asint+3Bcost-2Acost+2Bsint)=

=(*

*((3A+2B)sint+(3B-2A)cost=

=(3A+2B)cost+AB(3A+2B)tsint+…+(3B-2A) tsint=

=6

Посчитав получим 6

                                            108+24-54≠0

Отсюда  АВ(2А+2В)≠0 (находится в первой четверти).

Аналогично для . Подставив и посчитав получим

-108-24+54≠0 следовательно  АВ(2А+2В)≠0 (находится в третей четверти ).

Фазовый портрет системы (4.1) в окрестности особой точки  О имеет вид седла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Особая точка дифференциального  уравнения - точка, в которой одновременно обращаются в нуль и числитель  и знаменатель правой части дифференциального уравнения

 

где Р и Q - непрерывно дифференцируемые функции.

Предполагая, что особая точка расположенна в начале координат и используя Тейлора формулу, можно представить уравнение выше в виде:

 
где P(x, у) и Q(x, у)- бесконечно малые по отношению к .Характер поведения интегральных кривых около особой точки зависит от корней l₁ и l₂ характеристического уравнения.

В окрестности особой точки  система может обладать очень  сложной динамикой. В зависимости  от собственных значений матрицы, различают  четыре типа невырожденных особых точек  линейных систем: узел, седло, фокус, центр. Кроме основных типов появляются так называемые сложные: седло-узел, центро-фокус и т.д. Они образуются как результат слияния точек покоя основных типов.

Мы имеем классы устойчивых и неустойчивых точек. Ясно, что наличие  исключительных направлений, заключается  в одну из областей 1 или 2, исключает  возможность устойчивой особой точки. Но вообще наличие исключительного направления не препятствует устойчивости точки, даже наличию центра. Отсутствие исключительных направлений приводит, вообще говоря, к двум возможным случаям: или особая точка есть фокус, либо устойчивая особая точка. Если же исключительные направления имеются в конечном числе, тогда легко видеть, когда могут возникать в окрестности начала координат эллиптические, гиперболические и параболические области.

 Параболическая возникает  при областях: типа1,2,3.(рис. а, б, в)

Гиперболическая – в том  случае, если, рассматривая два средних  исключительных направления, мы убеждаемся, что оба они могут быть заключены  в область типа 3 (или 3)(рис.г).

Эллиптические получаются в  том случае, если два соседних исключительных направления могут быть заключены  в область типа 1(рис. д).

Наконец, если правая часть  характеристического уравнения  тождественно обращается в 0, то только по конечному числу направлений  в особую точку могут входить  интегральные кривые.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература