Особые точки дифференциальных систем второго порядка

             ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
                                                          ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ 
                                ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

 

 

 

 

Особые точки  дифференциальных систем второго порядка

 

 

 

                                                                                            Выполнила студентка

                                                                                      2 курса,1группы

 Беленик Татьяна Васильевна

 

 

 

                        

               

                          Гродно,2012

                                               Содержание

Введение                                                                                                                  3                                                                          

1. Особые точки                                                                                                      4

2. Геометрическая классификация  особых точек                                              13  

3.Исключительные направления. Поведение интегральных кривых в нормальной области                                                                                             16                    

4. Пример                                                                                                               19

Заключение                                                                                                            22

Литература                                                                                                             24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                               ВВЕДЕНИЕ

Математический анализ –ветвь математики, оформившаяся в 18 столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. В моей работе будем  рассматривать часть дифференциальную.

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке

Исследование особых точек  систем дифференциальных уравнений  на плоскости представляет актуальную и важную задачу качественной теории дифференциальных уравнений и их приложений в физике, технике, химической кинетики, биологии, медицине, экологии и других областях. Основополагающие результаты о приведении траекторий в окрестности о собой точки были получены А.Пуанкаре, А.И.Ляпуновым, И.Бендиксоном. И.Бендиксоном для аналитических систем был разработан метод расщепления сложной особой точки, позволяющий конечным числом шагов определить топологический тип расположения траекторий (с точностью до различения центра  и фокуса).

Изучение особой точки дифференциальных уравнений, т. е. по существу изучение поведения семейств интегральных кривых в окрестности особой точки, составляет один из разделов качественной теории дифференциальных уравнений и играет важную роль в приложениях, в частности в вопросах устойчивости движения .

В моей курсовой характеризуются  возможные топологические типы поведения  кривых в окрестности изолированной  особой точки. Изложение методов  расщепления особенностей основывается на использовании нормальных областей. Расскажем о исключительных направлениях, а так же  рассмотрим пример решив  его с помощью методом полярных координат.

 

 

 

 

 

 

1. Особые точки

 Пусть дана система уравнений

                                    =X(x,y), =Y(x,y),

тогда x=,y= -ее особая точка, т.е.

X(,)=0,    Y()=0               (1)

Предположим, что эта особенность  не исчезает при рассмотрении вместо системы одного уравнения

=,

Далее мы будем предполагать, что точка(,) –изолированная особая точка, т.е. вокруг (,) можно описать столь малую окрестность, что внутри нее нет других особых точек.

   Поставим следующее проблемы:

   1.Характеризовать  возможные топологические типы  поведения интегральных кривых в окрестности изолированной особой точки.

  2.Дать аналитические критерии, которые позволили бы, исходя из функций X(x,y) и Y(x,y), конечным или счетным числом операций определить, какой тип расположения интегральных кривых имеет место для данного уравнения, причем при решении этой задачи, в некоторых случаях, мы будем определять тип расположения интегральных кривых с точностью до инвариантов линейного преобразования.

   Для решения этих проблем нам потребуется наложить ряд ограничений на функции X(x,y) и Y(x,y). Именно, считая для простоты x=, y=, предположим, что уравнение (1) имеет вид

= ,

где (x,y) и (x,y) - однородные полиномы степени n и m, а функции (x,y) и (x,y) соответственно суть o и о (), где, , т.е., иными словами, мы требуем, чтобы x=,y= было нулем не ниже первого порядка, а также Y(x,y) и X(x,y) были достаточное число раз дифференцируемыми в окрестности изучаемой особой точки.

     Основной для  классификации встречающихся случаев служит классификация, предложенная Пуанкаре для случая системы однородных линейных уравнений

                                       =Cx+Dy,

=Ax+By;

или одного уравнения

= ,                                 (2)

где

                                       ≠0.

Приведем эту классификацию.

Замена z= приводит нас к уравнению

.                      ()

Рассмотрим квадратное уравнение

                                      A+(B-C)z-=0.                      (3)

Могут быть четыре случая:

1. Корни этого уравнения действительны и различны.

2. Уравнение имеет кратный  корень.

3. D=0, т.е уравнение линейное.

4. Корни комплексны.

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

1-й случай. Корни этого уравнения действительны и различны. Тогда они дают два решения дифференциального уравнения ():

                                     z=

или соответствующие два  решения уравнения (2):

                                     y=.

Перепишем уравнение () в виде

.

Разделяя переменные и  интегрируя, получим:

.

:

 ;

тогда имеем

 

или  

 

Так как - то окончательно:

 

Здесь могут представиться  два подслучая:

1. имеют различные знаки;
2. имеют одинаковые знаки.

Введем на плоскости x,y косоугольные координаты:

 

И рассмотрим семейство интегральных кривых в новой системе координат. Мы имеем:

 

Или, обозначив  через , получим:

                                           

Если а), то показатель отрицателен, и в семействе интегральных кривых будет только две кривые, проходящие через начало: Каждая из остальных остается внутри координатных углов.

В этом случае особая точка (0,0) называется седло (рис.1)

 

 

 

Если б), то показатель , и каждая кривая семейства при любом проходит через начало координат. Причем ,если , то все интегральные кривые, кроме прямой , кроме , касаются оси . На плоскости (x,y) это же явление будет наблюдаться не по отношению к осям координат, а по отношению к прямым . Такое расположение интегральных кривых называется узлом (рис.2).

2-ой случай. Уравнение  (3) имеет кратный корень . Тогда дифференциальное уравнение () примет вид  

x

И общий интеграл получит  выражение:

.

Все кривые этого семейства  входят в начало координат и там  касаются прямой  (вырожденный узел)  (рис.3).

 

3-й случай. D=0.

Этот случай распадается  на ряд подслучаев.

А) Общий подслучай: С≠0 и В-С≠0.

Исследуемое решение имеет  вид

x=P+Qz,

где

P=,   Q=.

Отсюда  получаем:

x=,

или

.

Из последнего вида общего интеграла имеем:

.

Если Q>0, то при x, т.е. имеем узел. Все интегральные кривые , кроме интегральной кривой х=0, касаются прямой y=-.

Пусть теперь Q<0. Этот случай разбивается на три:

) -1<Q<0;     ) Q=-1;     ) Q<-1.

)Все интегральные кривые входят в начало; , т.е все интегральные кривые касаются оси у в начале координат (вырожденный узел).

) Q=-1; -+Px. Интегральные прямые параллельны прямой y=+Px. Особая точка – исчезающая (вырожденное седло). (рис.4).

 ) Q<-1; y=. Единственными интегральными кривыми, входящими в начало, будут: x=0 и y= Все остальные кривые – типа гипербол, т.е имеем седло.

Б) Первый особый случай;

Исследуемое уравнение принимает  вид:

x.

Если А≠0, то z=, где Р; отсюда y=.

Все кривые этого семейства  проходят через начало и касаются в нем оси y;

Поэтому в рассматриваемом  случае имеем узел (вырожденный).

Если А=0, то уравнение  превращается в x=0. Отсюда х=0 и z=С, т.е y=Cx. Интегральные кривые входят в начало по всем направлениям (дикритический узел) (рис. 5).

С) Второй особый случай: С=0,В≠0. Из условий С=0, D=0 вытекает, что рассматриваемая система превращается в систему

                                (4)

 Или

                                                        ,

Т.е. x=const. Все интегральные кривые параллельны оси y. Однако, чтобы выяснить «динамическую » картину, т.е зависимость решения от параметра t, будем интегрировать систему (4), не сводя ее к одному уравнению.

Прежде всего заметим, что прямая Ax+Bx=0 есть особая линия, т.е она сплошь состоит из особых точек.

Приступаем к интеграции системы (4). Пусть x=x(0),y= при t=0, причем A+B≠0, т.е. точка () не является особой.

Имеем:

  x= при любом t, и .

Отсюда 

=.

Следовательно, при tкоордината y, монотонно изменяясь, приближается к - ,т.е. точка () приближается к точке, лежащей на «особой прямой».

На (рис.6) изображен примерно ход интегральных кривых.

4-й случай. Рассмотрим теперь случай, когда уравнение (3) имеет комплексные корни:

Дифференциальное уравнение () можно записать в этом случае так:

                           x                                 (2̎ )

Разделяя переменные и  интегрируя, получим общий интеграл:

 

или

 

Преобразуем плоскость (x,y), положив

 

и введем на плоскости () полярные координаты:

 

тогда общий интеграл  (2̎ ) примет очень простой вид:

, где k=.

Интегральные кривые уравнения (2̎ ) после преобразования плоскости (x,y) превратились в семейство логарифмических спиралей. Если k>0,то при ,т.е. при неограниченном возрастании числа оборотов по направлению часовой стрелки кривая асимптотически приближается к точке (0,0). Если k<0, то мы имеем то же самое при , т.е. при вращении против часовой стрелки. Если k=0, то решения суть концентрические окружности.

При переходе обратно к  плоскости (x,y) картина меняется лишь незначительно: логарифмические спирали остаются кривыми, которые закручиваются вокруг особой  точки, асимптотически к ней приближаясь. Особая точка этого рода называется фокусом (рис.7).

Окружности также  остаются замкнутыми кривыми, превращаясь в  эллипсы. В этом случае особая точка называется центра (рис.8).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п.2.Геаметрическая классификация особых точек.

Пусть точка О - изолированная  особая точка. Различаем прежде всего  два класса особых точек: устойчивые и неустойчивые.

Особую точку называем устойчивой по Биркгофу, если существуют замкнутые интегральные кривые произвольно  малого диаметра, окружающие особую точку, во всех остальных случаях точку  называем неустойчивой.